Иррациональные уравнения, методы решения.

Определение: Иррациональное уравнение - уравнение, в котором под знаком радикала содержится переменная.

I. Способы, используемые непосредственно при решении иррациональных уравнений.

1. При решений иррациональных уравнений часто возможен переход к равносильному уравнению, системе или совокупности. Если все сделанные преобразования равносильны, то последующая проверка корней не обязательна и может быть проведена только с целью контроля безошибочности решения.

Решить уравнение

Перейдём к равносильной системе:

Все сделанные преобразования равносильны.

Ответ:1.

К основным равносильным переходам относится: возведение в квадрат, если правая часть - число или уравнение содержит один радикал.

Если b<0, то это уравнение не имеет решений.

Уравнение

2.Уединение радикала и возведение в степень.

-1 удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

3.Переход к системе уравнений.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, в том и только том случае, если каждое слагаемое равно нулю.

Ответ: нет корней.

4. Выделение квадрата двучлена.

Верно для любого х из ОДЗ.

Ответ: [1;+∞).

5.Уравнения, содержащие кубические радикалы.

Ответ:4;-5.

6. Умножение на сопряженное.

Определение: Сопряженным множителем для выражения, содержащего радикалы, считается такое, отличное от нуля выражение, при умножении на которое первого получается выражение, не содержащее корни.

Решить уравнение:

Ответ:

7. Уравнения вида

Решить уравнение:

Заметим, что сумма выражений, стоящих под радикалами в левой части, равна выражению, стоящему под радикалом в правой части. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности систем:

Первая система не имеет решений, решив вторую, найдём: х=1.

Ответ: 1.

II. Использование общих способов решения уравнений при решении иррациональных уравнений.

1.Способ замены.

х=76.

Ответ: х=76.

2. Тригонометрическая замена переменной.

Решить уравнение

Левая часть имеет смысл при |x|≤1. Сделаем замену переменной. Пусть x=sin y. Уравнение примет вид

Полученное равенство возможно лишь при

Ответ:

3. Разложение на множители.

Ответ: 0;5

III. Использование свойств функций.

1. Использование ОДЗ.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений или найти решения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Система не имеет решений. Ни одно число не является решением уравнения.

Ответ: нет решений.

2. Использование ограниченности функции.

Определение: Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на промежутке J,который принадлежит области определения функции, если существует такое число М, что f(x) М, (f(x)М) для любого x, принадлежащего промежутку J.

Рассмотрим функцию . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, наибольшее значение принимает в вершине.

Наибольшее значение левая часть уравнения (2) достигает в х=-1, оно равно 4.

Наименьшее значение правой части уравнение (2) достигает при х= -1.

Рассмотрим функцию

При х-1 левая часть на своей области допустимых значений меньше правой, значит, х=-1.

Ответ:-1.

3. Монотонность функции.

Если f(x) и g(x)непрерывные на J и f(x) возрастает, а g(x) убывает на J, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.

Если f(x) непрерывная монотонная функция на промежутке J, то уравнение f(x) =С , где С - константа, имеет не более одного решения.

Решить уравнение

Функции непрерывны и убывают, следовательно,

непрерывна и убывает. Каждое своё значение принимает только в одной точке. Легко заметить, что h(2)=2, значит, х=2 - единственный корень.

Ответ:2.

Теорема о монотонных функциях.

Если y=f(x) монотонно возрастает, то уравнение f(f(x))=x равносильно уравнению f(x)=x.

Решите уравнение

Рассмотрим функцию

Функция монотонно возрастает на D(f)=[0;+∞). Исходное уравнение имеет вид . В силу возрастания функции оно равносильно уравнению f(x)=x, то есть

Ответ:4

4. Использование графиков функций.

Строятся эскизы графиков, что помогает выяснить, на какие промежутки надо разбить ось Х, чтобы на каждом из них решение уравнения было очевидным. График помогает найти решения, но ответ надо обосновать.

Решите уравнение

ОДЗ:=-2 х 2.

С

Х

У

0 1делаем эскизы графиков функций.

Проведём прямую у=2. График f(x) лежит выше прямой у=2. График g(x) лежит ниже прямой у=2. Эти графики касаются прямой у=2 в различных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это.

Для х[-2;2] .

f(x)=2 при x=-1, g(x)=2 при x=1.

Значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Комплексные уравнения.

Решите уравнения.

Проверка:

- посторонние корни, так как правая часть меньше 0.

обращает в отрицательное значение .

x=3 обращает уравнение в верное равенство.

Ответ:3

Ответ:.

Ответ: .

Задание для самоподготовки

I.Решите уравнения:

II.Решите системы уравнений:

1). 2). 3).

4). 5). 6).

7). 8).

Ответы:

I. 1)2; 2)-1; 1; 3)нет корней; 4)2; 5)-2; 6)4; 7)нет корней;8)1; 9) нет корней; 10)[3; +∞); 11)5; 12)нет корней; 13); 14)1; 15)76; 16)3; 17)7; 18); 19);20)-5;2; 21)нет корней; 22) (умножение на сопряженное);23)1 (графический); 24)0;3 (графический);25)2 (ограниченность функции);26)1 (монотонность функции); 27); 28)2(выделение квадрата двучлена); 29) -1;5(разложение на множители); 30)-1; 31)3; 32)33)-3;5; 34)-4;2; 35).

II. 1)3)(1;1); 4)(81;1),(1;81); 5)(0;0),(-3;1), (6;1), (3;2); 6);7)(-4;-0,6); 8)(2;-1).