Разработка темы Показательная и логарифмическая функция

Алгебра и начала анализа - 11

Разработка темы:

Показательная и логарифмическая функция

Должны знать:

- обозначение и основные свойства показательной и логарифмической функции;

- определение логарифма числа;

- формулировку теоремы об обратной функции;

- свойства логарифмов;

- вид простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Уметь:

- строить графики показательной и логарифмической функций;

- выполнять преобразования выражений;

- решать простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства и сводимые к ним.

Урок № 1.

Показательная функция. Её свойства и график.

Мы говорили о функциях, которые имели показатель постоянный, а основание менялось.

y = x⁵ , y = √x , y = x².

Сейчас: основание постоянно, а показатель меняется.

Во многих областях науки и техники при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвующими в данном процессе.

Пример 1.

С изменением высоты над уровнем моря атмосферное давление изменяется по закону Р = Р₀ ∙ а^h, где

Р₀ - давление на уровне моря;

а - постоянная;

h - высота.

Пример 2.

Рост древесины происходит по закону А = А₀ ∙ а^kt, где

А₀ - начальное количество древесины;

а - постоянная;

к - постоянная;

t - время изменения.

Пример 3.

Распад радия протекает по закону х = х₀ ∙ а^kt, где

х₀ - начальное количество радия;

а - постоянная;

к - постоянная;

t - время распада.

Пример 4.

Размножение бактерий в какой-либо культуре протекает по закону

у = у₀ ∙ а^kt, где

у₀ - начальное количество бактерий;

а - постоянная;

к - постоянная;

t -время.

Процесс органического роста можно описать функциями вида у = с ∙ а^kх

Мы будем говорить о функциях, где с = к = 1.

Это функция у = а^х , где а › 0, а ≠ 1.

Определение: функция, заданная формулой у = а^х , где а › 0, а ≠ 1, называется показательной функцией с основанием а.

Свойства функции.

Рассмотрим конкретную функцию (листок - пополам)

1) Д = R, E = R₊ 1) Д = R, E = R₊

2) непрерывна, следовательно 2) непрерывна, следовательно

дифференцируема в любой точке; дифференцируема в любой точке;

3) возрастающая функция; 3) убывающая функция;

4) (0; 1). 4) (0; 1).

Ученик работает у доски:

Построить в одной системе координат графики функций у = 3^х и у = (1/3)^х

Назвать общие и различные свойства (3 › 1, 0 ‹ 1/3 ‹ 1)

Как по графику определить основание показательной функции?

Будет ли показательной функция у = 1^х? (посмотреть график)

Имеют место следующие равенства:

а¹ = а, а^-х = 1/а^х, (а/в)^х = а^х/в^х а^х/а^у = а^х-у

а^х ∙ а^у = а^х+у, (а ∙ в)^х = а^хв^х, (а^х)^у = а^ху

Этими свойствами мы будем пользоваться при решении показательных уравнений.

Примеры:

а^х = в 2^х = 2√2 (1/3)^х = 1 (1/5)^х = 5

Сравнить (устно):

(0, 13)^0,5 и 1 (8/5)^-3 и (5/8)² (6/7)^0,8 и 1

Итог урока:

- общие и различные свойства;

- от чего зависит возрастание и убывание показательной функции.

Домашнее задание:

1. построить графики функций у = (1/5)^х и у = π^х и описать их свойства;

2. построить в одной системе координат графики функций

у = х² и у = √х на [0; ∞) и описать их свойства.

Урок №2.

Понятие об обратной функции.

Логарифмическая функция, её свойства и график.

I. Проверка домашнего задания:

1 ученик: построить график функции у = π^х и описать её свойства;

2 ученик: построить график функции у =(1/5)^х и описать её свойства;

3 ученик: второе задание разным мелом на доске.

II. Фронтальная работа.

1. Вычислить ((√2)^√2)^√2; (3^√3+1)²∙9^√3

2. Сравнить (1/2)^√3 и 2^-1,5 ; (π/3)^√3∙√5 и (π/3)^{√7 +1}

3. Решить уравнение

2^х = 4; (1/2)^х = 1; 3^{х - 1} = 1/9; 2^х = 3 - решить пока не можем

(только графически)

Запишем в общем виде а^х = в.

Корень показательного уравнения будем называть логарифмом.

x - логарифм (показатель)

log - обозначение

x = log _a b

Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число в.

a - основание

в - число

х - показатель

Устно:

1. Найти логарифмы чисел

log ₂ 32 , log ₁₀ 100 (log ₁₀ - десятичный логарифм, lg)

log ₅ 0,04.

Теперь мы можем решить уравнение 2^х = 3

х = log₂ 3

Рисунок на доске и в тетради

у = х² и у = √х на [0; ∞)

Как появились?

х ² = у

х = √у

у = √х обратные функции

Функции непрерывные, возрастающие, графики симметричны относительно прямой у = х.

Существует теорема об обратной функции:

Если функция возрастает (или убывает) на данном промежутке, то она обратима. Обратная к данной функция определена в области значений данной функции и тоже является возрастающей (убывающей).

Рассмотрим функцию у = а^х, а›0.Повторим её свойства. Значит по теореме об обратной функции будет существовать обратная функция, которая будет возрастающей и графики функций будут симметричны относительно прямой

у = х.

х =log _ay, a›1

y = log _ax - обратная функция

Свойства логарифмической функции.

1) D = R₊, E = R

2) непрерывна

3) возрастающая

4) (1; 0)

Рассмотрим функцию у = а ^х, 0 ‹ а ‹ 1

Свойства функции.

1) D = R₊, E = R

2)непрерывна

3)убывающая

4) (1; 0)

Основные свойства логарифмов.

1) а^log_a^b =b - основное логарифмическое тождество

2) log_a 1 = 0

3) log _a a = 1

4) log _a xy = log _ax + log _a y

5) log _a x\y = log _ax - log _a y

6) log _a x^p = p log _a x

Итог урока

В одной системе координат построить графики показательной и логарифмической функций; общие и различные свойства. От чего зависит возрастание или убывание функции?

Укажите неверное равенство

log ₂ 16 = 4, log ₃ 1\81 = 4, log _0,1 1 = 0, log ₁₀ 100 = 3

Домашнее задание: п.10, доказать свойства и формулу перехода к другому основанию.

Урок № 3.

Применение свойств показательной и логарифмической функций при решении уравнений и неравенств.

I. Проверка домашнего задания:

1 ученик: начертить схематично график функции у = а^х при а›1 и 0‹а‹1 и описать их свойства.

2 ученик: начертить схематично графики функций у = log _ax при а›1 и 0‹а‹1 .

3 ученик: доказать основные свойства логарифмической функции.

II. Фронтальная работа.

1. Перейти к основанию 10

log ₂ 20, log _0.5 6, log _√3 25

2. Запишите формулу перехода от произвольного основания к общему.

3. Не используя вычислительные инструменты, вычислите

log ₁₂ 4 + log ₁₂ 3 log ₃ 2 + log ₃ 4,5

lg 8 + lg 125 log ₂ 7 - log ₂ 7\16

4. Найдите область определения следующих функций

у = log ₂ (x-3), y = log _0,1(10 - 2x), y = log ₇ (2x + 3)

III. По теме:

а^f(x) = a ^g(x) log _a f(x) = log _a g(x)

Сравниваем показатели

f(x) = g(x) f(x) = g(x)

1) (1/5)^{х + 2х - 5} = 25 1) log _0,3(5+2x) = 1

Проверка обязательна!

В показательных уравнениях используем свойства функции: если в левой и правой частях стоят степени с одинаковым основанием, то сравниваем показатели. В логарифмических уравнениях если основания логарифмов равны, то сравниваем выражения, стоящие под знаком логарифма.

IV.Обучающая самостоятельная работа (без оценок)

1. 2^{7 - 3х} = (1/2)^{х - 4}

2. log _0,5 (2x - 3) - 1|2 log _0,5 (2x + 3) = 0

3. log _√3(x² - 5x - 3) = 2

4. 3^{x +x - 0,5} = 9√3

Проверить каждое уравнение подробно.

Какие свойства показательной и логарифмической функций использовали, решая эти уравнения?

Домашнее задание: № 522- №530, №573, № 567, № 568 - по вариантам.

Урок № 4.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

I. Проверка домашнего задания.

Самостоятельная работа на листочках (10 минут) для учета знаний.

1) 3^{х -17х+63,5} = 27√ 3 1)2^х-8х+19 = 16

2) log _x-1(x² - 7x + 41) = 2 2) log _2-x(x² - 5x + 2) = log _2-x (2 - x)²

3) 7^{x - 5x + 6} < 1 3) 3^{x - 3x + 5}< 27

II.Фронтальная работа.

1. Разложить на множители: 3^х-2; 9^х.

2. Представьте в виде произведения трёх множителей: 5^2х-2; 6^х+2; 10^х-1.

3. Какие уравнение или неравенство не имеют решений:

0,2^х - 5^х <0; 0,2^х + 5^х = 0; 0,2^х - 5^х =0; 0,2^х + 5^х >0.

III. Работа по теме.

a^2f(x) + a^f(x) + c = 0 log _a² f(x) +log _a f(x) + c = 0

а^f(x) = y log _a f(x) = y

3^2x+1 - 10∙3^x +3 = 0 log²₄ x + log ₄ √x - 1,5 = 0

3^x = y log ₄ √x = y

3y² -10y + 3 = 0 2y² +y - 1,5 = 0

y = 3, y = 1|3 y = 1, y = -3|2

x = 1, x = -1 x = 4, x = 1|8 - не удовл. усл.

Проверка. Проверка.

IV. Обучающая самостоятельная работа с обязательной проверкой на доске.

1. 25^х - 8∙5^х +15 = 0

2. lg² х² - lg x² = 6

3. 5^2(log ₅^{2 + x)} -2 = 5^{x + log} ₅²

4. √log₃ x⁹ - 4 log₃√3x = 1

V.Домашнее задание.

Урок № 5.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

1. Проверка домашнего задания.

2. Письменный опрос на листочках(10 минут)

1 вариант: 1)построить схематически график показательной функции при а

>1 и описать свойства;

2)построить схематически график логарифмической функции при 0< а< 1 и описать свойства.

2 вариант: 1)построить схематически график показательной функции при 0<а<1 и описать свойства; 2) построить схематически график логарифмической функции при а>1 и описать свойства.

3. Фронтальная работа.

1. Укажите приёмы решения следующего уравнения

Log ₃ x∙ log ₉ x∙log ₂₇ x∙ log ₈₁ x = 2/3

2. Укажите неверное равенство log ₃ 27 = 3; log ₅ 0,125 = -3; log _0,5 0,5 = 1;

Log₁₀ 10000 = 5.

3. Решите неравенство 2^х < ½; (3/7)^х< 1; 3^х<5.

4. Решить уравнение log ₃ x = 2; log _0,4 x = -1; 10^x = π.

5. Разложить на множители 3^х-3 ; 4^х ; 25^х+3

4. Решение уравнений. Указать способ решения.

1. 3^2х+1 - 3^2х + 3^2х+3 = 237

3^2х(1/3 - 1 + 27) = 237

3^2х = 9

х = 1

2) 5∙2^√х - 3∙2^{√х -1} = 56

2^√х(5 - 1,5) = 56

3)4^х + 2∙2^х - 80 = 0

2^х = у

у² +2у - 80 = 0

4)log ₃ x - log ₉ x + log ₈₁ x = ¾

5) lg(x² - 17) - lg (2x - 2) = 0

6) 3^x + 4∙3^x+1 = 13

7) 2^x+1 + 0,5^x-1 = 5

8) log _1/3 (x+2)² > 0

(x+2)²<1;

x+2 =0

9) 2^3-x : 16 < 1/8∙4^0,5+2x

10) log ₄(√59 - 10x -1 ) = 0,5 + log₄(x-4)

11) 5^x+1 = 8^x+1

Каждому ряду решить по 3 уравнения, остальные доделать дома.

V.Домашнее задание - решить все уравнения и неравенства.

Урок № 6.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

I.Проверка домашнего задания - вывесить решения всех примеров с прошлого урока.

II. Фронтальная работа.

1. Построить схематически графики следующих функций:

у = 3^х + 2, у = (1/2)^х - 1, у = 3∙(1/2)^х

2) Известно, что lg 2 = a, log ₂ 7 = b.Найти lg 56.

3) Укажите верное неравенство

log ₂ 1/5>log ₂ 1/3

log _0,1 5 < log _0,1 6

log _0,20,3< 1

log ₃ 2 > log ₃3

III.По теме.

Работа в группах(из группы по одному человеку на доске)

1. 5^х+1 - 5^х-1 = 24

2. 1+ log₂(x - 1) = log _{x - 1} 4

3. log ₂(9 - 2^x) = 10^lg(3-x)

4. 6^x + 6^{x +1} = 2^x + 2^x+1 + 2^x+2

5. log _0,5 (x + 3) < log _0,25 (x + 15)

Можно рядом написать ответы. Через 10 минут начинаем проверять. Тетради - выборочно.

5. Домашнее задание:

   1. Определить знак числа log_0,3 4; lg (3 - 1/3)

   2. Найти область определения функции

у = 1/log₁₂(x - 3 ) + √7 - x

3) Изобразить схематически график функции у = lg √x

Урок № 7.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

I.Фронтальная работа.

1) Определите знак числа : log₃ 5; log _1/3 0,9; log _√2 3 - 3.

2) Найдите значение числового выражения: log _√2 54 - log ₄ 9⁶.

3) Какое неравенство не имеет решения:

(2/3)^х > (3/2)^х; (3/2)^х > 0; (2/3)^х < (3/2)^х ; (2/3)^х < 0.

4)Вычислить без таблиц и инструментов:log ₃ 2 + log ₃ 4,5; lg 13 - lg 130.

5) Прологарифмировать по основанию 3: 9а⁴ √ в; в²/27а⁴.

II.Проверочная работа (в тетради под копирку) из учебника.

Дополнительное задание - на листочках.

1 - вариант.

1/(lg x - 6 ) + 5/(lg x + 2 ) = 1

2 - вариант

1/( lg x + 1 ) + 6/( lg x + 5 ) = 1

Домашнее задание - учебник.

Урок № 8.

Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений.

I.Фронтальная работа.

1. Что больше log _0,3 2 или log ₅ 3; log ₃10 или log ₈ 57.

2. Известно, что log₅ 2 = a , log ₅ 3 = b. Выразите через а и в :

log ₅ 12 , log ₅ 72 , log ₅ 30.

3. Найдите значение выражения (log ₃ 16)/(log ₃ 4); (lg 8 + lg 18 )/( 2lg 2 + lg 3)

II.По теме

Решить систему (сильный ученик на доске с объяснениями )

log ₂(x + y) = 3,

log ₁₅ x = 1 - log ₁₅ y.

Проверка обязательна.

III.Из четырёх систем выбрать две и решить(можно разделить по рядам).

1. х + у = 8,

log ₁₂ x + log ₁₂ y = 1.

2. 2^x + 3^y = 7,

2^2x + 3^2y = 25.

3. 2^x + (1/3)^y = 5,

2^2x + (1/3)^2y = 13.

4. log ₃ (y - x ) = 1

3^x+1∙2^y = 24.

Критерии оценок:

на «5» - все

на «4» - 3

на «3» - 2

Собрать тетради.

IV. Домашнее задание - дорешать что не решили, из учебника решать системы.

Урок № 9.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

I. Фронтальная работа.

1) Задайте формулой обратную функцию: у = 2 - 3х, у = 1/(х + 3), у = х³ + 1.

2) Решите неравенство: log _0,6 x > 2, log ₇x < 1, log _0,5 (2 - 3x)< 1.

3) Вычислить без таблиц и калькулятора : 2lg 5 + ½ lg 16; (lg 81 + lg 64)/(2lg3 + 3lg 2).

II.По теме

Вспомним свойства логарифмов и формулу перехода к новому основанию.

Решение уравнений и неравенств(на листочках).Выбирать любые задания.

Критерии оценок:

«5» - 8

«4» - 6

«3» - 4

1. log ₂ (x - 5)/(x + 5) + log₂(x² - 25) = 0

2. log₂ x + log ₄ x + log ₈ x = 11

3. 2^{x - 1} - 3^x = 3^{x - 1} - 2^{x + 2}

4. 7∙4^x - 9∙14^x + 2∙49^x = 0

5. 3^2x + 3^x∙2^x - 2∙2^2x = 0

6. x(lg 5 - 1 ) = lg ( 2^x + 1 ) - lg 6

7. log ₂ x + log ₄ y = 4,

log ₄ x + log₂ y = 5.

8. Найдите область определения функции log _0,7(5 - 7x ).

9. Вычислить √ 25^{1/log 5} + 49^{1|log 7}

10. log ₅√x - 9 - log ₅ 10 + log ₅√2x - 1 = 0

На следующем уроке на этих же листочках работа над ошибками.

III. Домашнее задание - дорешать все примеры.

Урок № 10.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

I. Листы раздать, обговорить способ решения каждого задания. Дома на этих же листах выполнить работу над ошибками.

II. Математический диктант.

Постройте в одной системе координат схематически графики функций

у = 4^х и у = (1/4)^х у = 6^х и у = (1/6)^х

Сравните:

log ₃ 5 и log ₃ 6 lg 7 и 3 lg 2

0,3^π и 0,3^-3 (1/2)^√5 и (1/2)^√3

Найдите область определения функции

у = log _0,2 (3x - 2) y = log ₂ (2 - 0,2x)

Листок соседу, сосед исправляет ошибки, потом сдают работы.

III. Проверочная работа под копирку (2 варианта)

1. Постройте график функции

у = 3^х у = (1/3)^х

2. Как изменится у при изменении х

от -2 до 4 от -3 до 2

3. Решите уравнение

2∙3^х+1 - 5∙3^х-1 = 117 3∙4^х+1 - 5∙4^х-1 = 172

log _0,2 (x² - 4x) = -1 log _0,25 (x² + 3x) = -1

4) Найдите область определения функции

у = log _0,3 (2 - 5x) y = log _0,7 (7,5 - 3x)

5) Решите неравенство

log ₃ (2x - 1) < 2 log ₄ (3 - 2x) < 2

IV. Домашнее задание - учебник.

Урок № 11.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Карточки по вариантам; решают все в тетради, сдают листок с ответами. Тетради собирать выборочно.

I вариант (сильный)

1) 5^{1+log (x - y)} = 25

log ₅ (x² - y²) - log ₅ (x + y) = 0

2) log ₂ (4^x + 4) = x + log ₂ (2^x+1 -3)

3) log ₅ x + log ₇ x = log ₅ 35

4) 5^{(log x + log y)} = 26

xy = 64

II вариант «4»

1. 9^{х - 1} + 3^{х + 2} = 90

2. 4^х - 2^{х + 1} - 8 < 0

3. log _1/3 (x + 2)² > 0

4. 3^x∙2^y = 576

log _√2 (y - x) = 4

III вариант «4»

1) lg (2x + 1) = 0,5lg(1 - 3x)

2) 2^x+1 + 0,5^{x -1} = 5

3) 3^x∙2^y = 972

log _√3 (x - y) = 2

4) 2^4/x < 8^1/x+1/9

5) log _2x 64 - log _2x 8 = 3

IV вариант «3»

1. lg² x² - lg x² = 6

2. lg (x - 1) = 0,5lg(1 + 1,5x)

3. 25^{1/2x + 1} < 125^-2/3

4. 3∙2^x+1 - 6∙2^{x - 1} = 12

5. log _x 2 + log ₂ x = 3 .1/3

V вариант «3»

1) 3^х + 4∙3^х+1 = 13

2) 3^{х -х - 3} ≥ 27

3) log _{x - 2} (x² - 6x + 10) = 1

4) log ₃ x + log _√3 x + log _1/3 x = 6

5) 3^4√x - 3∙3^2√x = 3^2√x - 3

VI вариант (для слабых или для фронтальной работы)

1. log _x 2 = lg 2

2. log _x 2 = log _x 3

3. log _x 2 = log _x 2

4. log _x 1 = lg 1

5. log ₂ x = log ₃ x

6. log _x 2 = log _x 2

7. lg²(x + 1) + lg x² + 1 = 0

8. lg²x/2 + lg (x/2)² + 1 = 0

Домашнее задание: подготовить вопросы по домашним работам, следующий урок - подготовка к контрольной работе.

Урок № 12.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Урок подготовки к контрольной работе. Решаем и разбираем примеры из домашней работы по данной теме, из самостоятельных и проверочных работ, вызвавших наибольшее затруднение.

Урок № 13.

Контрольная работа

Урок № 14.

Урок защиты рефератов.

Тема: свойства показательной и логарифмической функции

а) история введения показательной и логарифмической функций;

б) прикладные задачи;

в) интересные уравнения и неравенства, которые не решались раньше.

Задание даётся заранее, за неделю или две, кто о чём будет докладывать.

Задача Циолковского.

По закону, выведенному основателем космонавтики Циолковским, количество топлива, необходимое для того, чтобы ракета массой m без топлива получила скорость v₁ , выражено формулой

M = m(10^0,43v/v - 1), где

v₁ - cкорость истечения продуктов горения из ракетного двигателя;

v -скорость ракеты;

m -масса ракеты.

Какой скорости истечения продуктов горения надо достигнуть, чтобы ракете с массой 2,5 тонны с помощью 250 тонн топлива придать скорость 8 км/с?

250 = 2,5∙(10^{0,43 8/v} - 1 )

100 = 10^{0,43 8/v} - 1

101 = 10^{0,43 8/v}

lg 101 = 0,43 ∙8/v₁∙lg 10

v₁lg 101 = 0,43∙8

v₁ = (0,43∙8)/lg 101

v₁≈3,44/2≈1,7 м/сек

2) В ходе испытаний бывают аварии, и окружающей среде наносится ущерб.

Долгосрочные экологические последствия космических программ ещё не ясны. Учёные подсчитали, что две ракеты - носителя на твердом топливе , которые выводят космический корабль на орбиту, выбрасывают в верхние слои атмосферы около 300 тонн окиси алюминия.

В результате усиливается отражение солнечных лучей, что содействует общему подъёму температуры на планете, т. к. окись алюминия - белый порошок - вдвое увеличивает количество кристаллов льда в перистых облаках. Разовые полёты не так страшны, но если их будет в год 52 запуска, то в атмосфере Земли может накопиться около 1000 тысяч тонн окиси, что приведёт к аномалиям в климате.

Остров Бикини.

Американцы выселили всех людей с этого острова и создали там ядерный полигон. 37 лет - люди без Родины. С 1946 по1958 годы там было взорвано 23 ядерных бомбы. В 1968 году людям разрешили вернуться. Остров восстанавливали, но в 1978 году опять учёные обнаружили высокое содержание вредных веществ. Опять эвакуация всех жителей острова. Необходимо 60 - 90 лет, чтобы уровень радиации снизился до безопасного.