ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУЗИОНИСТСКОГО ПОДХОДА В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ КАК СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Лицей № 1 Красноармейского района Волгограда».

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУЗИОНИСТСКОГО ПОДХОДА В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ КАК СРЕДСТВА

ФОРМИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ.

Автор:

учитель математики

высшей квалификационной категории

Шмадченко Евгения Александровна

Волгоград 2015

Оглавление с. I. Информационно-справочные сведения………………………………..........3

II. Технологические сведения ………………………………………………….3

III Сведения о перспективах использования в массовой практике……….20

Список литературы……………………………………………………………..21

Приложение №1 Задачи с плоскими фигурами как элементами пространственных объектов……………………………………………………22

Приложение №2 Плоскостные и пространственные задачи, взаимосвязанные по содержанию ………………………………………………………………….23

Приложение №3 Плоскостные и пространственные задачи, взаимосвязанные по содержанию по теме «Признаки равенства треугольников» ……………..25

Приложение №4 Задачный материал, связанный с многогранниками

( 7 класс).

4.1 Основные свойства простейших геометрических фигур. ……………….27

4.2Смежные, вертикальные углы. Биссектриса угла………………………….28

4.3Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник. Высота, биссектриса и медиана треугольника………………………………29

4.4 Сумма углов треугольника. Прямоугольный треугольник……………..29

4.5 Геометрические построения………………………..……………………..30

Приложение №5. Задачи про многогранники в курсе геометрии 8класса.

5.1 Четырехугольники. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника ….32

5.2 Теорема Пифагора. Соотношения между углами и сторонами

в прямоугольном треугольнике.……………………………………………….32

5.3 Площади фигур……………………………………………………………..34

5.4 Подобие треугольников……………………………………………………..35

5.5 Векторы………………………………………………………………………36

Приложение №6. Практическая работа «Куб и метод трех проекций»…....39

Приложение №7. Практическая работа «Сечения куба»…………………. 41

Приложение №8 Самостоятельные работы на сопоставление свойств пространственных фигуры ( 7-9класс)…………………………………………43

I.Информационно-справочные сведения .

1.Тема опыта.

Использование фузионистского подхода в обучении геометрии в основной школе как средства формирования пространственных представлений.

2.Автор опыта.

Шмадченко Евгения Александровна, учитель математики, высшая квалификационная категория

3.Место функционирования опыта .

400096,г.Волгоград,96,ул.Брестская,15, муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №1 Красноармейского района Волгограда»,т.67-31-55.

4. Новизна опыта .

Рационализаторский. Частично-новаторский опыт

5. Длительность функционирования опыта .

С 2009года.

II. Технологические сведения .

Актуальность опыта .

Как показывает практика работы, среди всех предметов математического цикла именно геометрия обладает самым большим развивающим потенциалом. Основными объектами геометрии являются модели реальных объектов, для которых определяется геометрическая форма, размеры, взаимное расположение с другими объектами на плоскости и в пространстве, т.е., в отличие от алгебры, её содержание менее абстрактно, более образно, поэтому есть возможность продемонстрировать связь математической теории и практических задач, с которыми учащиеся встречались. Да и возрастание значимости геометрии на всех ступенях образовательной лестницы, в самых разных областях науки, техники, искусства - заметная тенденция сегодняшнего времени. Однако следует признать, что за последние годы уровень геометрической подготовки учащихся снижается.

В настоящее время систематическое изучение стереометрии происходит в 10-11х классах. В начальной школе и затем в 5-6-х классах есть пропедевтический курс по изучению пространственных тел, таких как куб, прямоугольный параллелепипед, шар ,что создаёт предпосылки для их дальнейшего изучения. Однако с 7-го класса начинается систематическое изучение планиметрии и лишь в конце 9-го класса снова появляются пространственные объекты. Но, как показывает школьная практика, когда учащиеся приступают к изучению систематического курса планиметрии, то у них все же более развиты трехмерные представления, нежели двумерные, и это требует от учителя постоянного обращения к пространственным образам и акцентирования внимания учащихся на то, что планиметрические фигуры есть частный случай стереометрических.

При таком построении курса геометрии нарушается преемственность обучения. Другой недостаток состоит в том, что школьников окружают пространственные объекты, форму, размеры и свойства которых как раз и должна изучать геометрия, а не плоские фигуры. Происходит разрыв, приостановка развития пространственного воображения .Так как этот процесс связан с развитием логического мышления и речи учащихся, то происходит нарушение гармоничности функционирования их мышления.

Изучая проблемы формирования пространственных представлений у

школьников, В.А. Далингер говорит о том, что пространственные представления школьников являются первичными, а плоские фигуры являются частями пространственных фигур. Поэтому, при изучении планиметрии, следует искать и устанавливать связи между плоскими и пространственными фигурами, а так же с предметами окружающей действительности [4].

Параллельное обучение планиметрии и стереометрии, когда плоские и пространственные фигуры изучаются совместно, дополняя и развивая каждую составляющую часть геометрии, называется фузионистским подходом к обучению геометрии. В настоящее время активным образом поднимается вопрос об изменении методологических установок на курс геометрии в школе, в том числе и реализации идей фузионизма в преподавании геометрии.

Можно выделить два направления фузионистского подхода к осуществлению изучения элементов стереометрии в основной школе:

1) непосредственное включение элементов стереометрии в курс планиметрии.

Тогда весь курс геометрии предстал бы перед учащимся более сложным, чем при отдельном изучении планиметрии и стереометрии; пришлось бы рассеивать их внимание по двум направлениям - фактам на плоскости и в пространстве, что вряд ли будет способствовать чёткому уяснению изучаемого материала, скорее всего приведет к путанице в представлениях учащихся, особенно на первых порах обучения, в результате которой положение может оказаться хуже, чем сейчас: учащиеся не усвоят достаточно прочно ни планиметрию, ни стереометрию.

2) косвенное изучение стереометрических объектов через включение в систему упражнений действующих учебных пособий стереометрического материала (частично-фузионистский) [4].

Реализовать на практике именно эту концепцию и решить проблему ликвидации разрыва в процессе формировании пространственного воображения помогло следующее соображение. Дело в том, что многие задачи планиметрии, такие как задачи на равенство и подобие фигур, на площади, многие метрические задачи, задачи на векторы могут быть поставлены и сформулированы на пространственных телах. Методический замысел состоит в том, что рассматривать такие задачи и примеры нужно не отдельно, а вместо соответствующих чисто планиметрических задач и примеров. Поэтому больших дополнительных затрат времени не потребуется, как не потребуется и принципиальная перестройка существующего курса геометрии.

Актуальность данного опыта характеризуется следующими моментами:

1) на основании «Закона об образовании Российской Федерации» обязательным является только девятилетнее образование и, в следствии этого, в рамках основной школы стал отсутствовать базовый компонент математического образования; возникла необходимость в частично-фузионистском подходе в обучении геометрии, чтобы учащиеся к концу 9-го класса получили необходимый объем знаний, умений и навыков, отвечающий требованиям, предъявляемым к нынешним выпускникам общеобразовательной школы;

2) необходимо учитывать достижения ученых в области физиологии; исследования ученых показали, что именно в младшем возрасте дети имеют тенденцию наиболее интенсивного развития правого (образного) полушария головного мозга, нежели левого (словесного) полушария, а так как наша система раннего обучения письму и счету способствует развитию словесного (левого) полушария головного мозга, то налицо тенденция подавления образного начала мышления- словесным; таким образом встает задача гармоничного развития личности с точки зрения физиологических особенностей развития головного мозга, и геометрии в плане решения этой задачи отводится важная роль, ибо именно геометрии в пространстве принадлежит огромная роль в развитии образного мышления;

Диагностические работы в восьмых классах свидетельствует о том, что у учащихся недостаточно сформирован навык обозначения и классификации пространственных геометрических фигур и умение применять геометрическую лексику.

Результаты выполнения диагностических работ учащимися в 8-х классах по теме «Пространственные фигуры», 2009 год.

Класс

Знание

пространственных

геометрических фигур

Умение

обозначать и

классифицировать их

Навыки

владения

математической лексикой

8

39%

34%

34%

С целью подтверждения актуальности данного опыта было проведено анкетирование учителей математики МОУ №1. Результаты анкетирования подтвердили, что наибольшие трудности при обучении школьников геометрии учителя связывают со стереометрией и отмечают в ряду основных причин трудностей у учащихся недостаточно развитые пространственные представления геометрических фигур, умение применять теоретический материал при решении задач и недостаточное владение приемами решения геометрических задач.

В данном опыте решаются следующие проблемы:

• Обучение геометрии учащихся 7-9 классов при изучении планиметрии на фузионистской основе, включающее комплекс задач, в которых плоские геометрические фигуры, рассматриваются как элементы пространственных объектов.

• Разработка комплекса задач планиметрии в стереометрической среде, направленного на развитие пространственного мышления, обеспечивающий связь теоретических знаний и практических умений учащихся.

• Внедрение в учебный процесс данного комплекса задач, удовлетворяющего возрастным особенностям подростков, и разработка методики включения его в учебный процесс.

• Применение данного комплекса задач на различных этапах урока позволяет индивидуализировать процесс обучения.

2. Постановка цели.

Определить и обосновать методику обучения геометрии в основной школе с использованием фузионистского подхода, содержательным компонентом которой является специально разработанный комплекс задач, направленный на развитие пространственного мышлении и повышение качества математического образования

3. Задачи, решаемые в опыте .

Процесс обучения геометрии в основной школе будет более эффективен, если будет осуществляться на основе фузионистского подхода, посредством внедрения в учебный процесс специально разработанного комплекса задач, направленного на развитие пространственного мышления, так как при решении данных задач у учащихся формируются образы пространственных фигур и начальные умения оперирования этими образами, позволяя осознать связь свойств реальных, окружающих нас объектов со свойствами фигур планиметрии.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих задач:

1. Разработать комплекс задач, направленный на развитие пространственного мышления для внедрения в учебный процесс на уроках геометрии в 7 - 9 классах.

2. Разработать методику реализации фузионистского подхода в процессе обучения геометрии в основной школе, содержательным компонентом которой является разработанный комплекс задач.

Использовать данный комплекс задач как средства уровневой дифференциации и индивидуализации обучения. Повысить уровень развития мотивационного, содержательно - операционного и эмоционально - волевого компонентов личности школьников.

Создать такой комплекс задач различной степени сложности, который способствовал бы развитию познавательной самостоятельности учащихся.

Максимально использовать потенциальные возможности, заложенные в различных типах задач при формировании учебных умений и навыков обучающихся.

Разработать технологию, содержащую комплекс методических средств обучения для решения плоскостных и пространственных задач .

4. Педагогические средства, используемые в опыте .

• Программа общеобразовательных учреждений. Геометрия7-11класс.

• Формы учебных занятий : комбинированный урок, лекция, практикум, семинар, урок-зачет, комбинированный урок.

• Формы внеучебных занятий: индивидуальные и групповые консультации, факультативы, курсы по выбору, элективные курсы, математические конкурсы, предметный кружок.

• Формы организации учебной деятельности учащихся: групповая, индивидуальная, парная, фронтальная.

• Приемы организации деятельности: поисковые познавательные задачи, обучающие тренировочные задачи, поисковые задачи , проблемная ситуация.

• Приемы стимулирования деятельности учащихся: стимуляция познавательного интереса при помощи содержания учебного материала, организации учебной деятельности школьника и отношения между участниками учебного процесса использование личностно-значимых ситуаций.

• Приемы контроля деятельности: тесты, самопроверка, взаимопроверка, экспертный контроль учителя.

5.Технология опыта.

Данный опыт предполагает реализацию частичного фузионизма, когда предполагается косвенное включение стереометрического материала в систему обучения планиметрии через систему задач. При таком подходе не требуется больших дополнительных затрат учебного времени и его можно использовать при обучении геометрии в 7-9 классов по действующим школьным программам и учебникам геометрии. Процесс обучения геометрии в основной школе будет более эффективен, если будет осуществляться на основе фузионистского подхода, посредством внедрения в учебный процесс специально разработанного комплекса задач, направленного на развитие пространственного мышления, так как при решении данных задач у учащихся формируются образы пространственных фигур и начальные умения оперирования этими образами, позволяя осознать связь свойств реальных, окружающих нас объектов со свойствами фигур планиметрии.

При этом основная часть должна приходиться все же на развитие пространственных представлений. Поэтому стереометрическая составляющая в курсе геометрии 7 - 9 должна содержать по возможности меньше теоретического материала, а ее элементы целесообразно вводить через задачи. Эти задачи, с одной стороны, направлены на изучение планиметрии, с другой стороны, они способствуют развитию пространственных представлений, подготавливают учащихся к успешному усвоению систематического курса стереометрии.

Опыт показывает, что целесообразно с этой целью использовать следующие виды задач: диагностические, конструктивные, графические, интегрирующие.

Диагностические задачи - задачи на актуализацию представлений учащихся об объектах, ранее им известных (из жизненного опыта, из смежных дисциплин или рассматриваемых ранее на уроках математики). Цель - выявить уровень сформированности у учащихся пространственных представлений с тем, чтобы своевременно уточнить и исправить ошибочные представления.

Конструктивные задачи - задачи, в процессе решения которых перед учащимися раскрываются предметно-материальные условия происхождения геометрических фигур. Цель - выделить существенные признаки формируемых представлений через предметно-материальные условия их происхождения.

Графические задачи - задачи на изображение геометрических фигур рисунками, чертежами, эскизами, а также задачи на построение фигур по их характеристическим свойствам и построение чертежей в системе прямоугольных проекций. Цель - выявить ошибочные пространственные представления, причины их возникновения, а также отделить существенные признаки от несущественных.

Интегрирующие задачи - задачи, которые учат школьников выделять те свойства объектов, которые позволяют отыскивать их среди множества других, позволяют уточнить уже имеющиеся представления о пространственных фигурах. Основной вопрос интегрирующих задач: «Принадлежит ли данная модель объему указанного понятия?» Цель - выявить уровень сформированности пространственных представлений, их полноту, осознанность, действенность и правильность.

С учетом принципов дидактики, задачный материал внутри каждой темы подобран таким образом, чтобы его решение способствовало уяснению учащимися данной темы и новых математических идей, заложенных в ней. Правильная постановка задач и подбор упражнений в обучении математике во многом определяет методику преподавания, так как решение задач служит различным конкретным целям обучения.

Таким образом, в учебном процессе необходимо тесно переплетать элементы стереометрии с материалом планиметрии, являющимся основным. Эти задачи позволяют сформировать необходимый минимум умений, влияющий на успешность оперирования пространственными образами. При этом формируются следующие умения :

• мысленно строить образы геометрических фигур и представлять их положение на плоскости;

• распознавать фигуры или элементы фигур по их указанным признакам или свойствам;

• изображать простейшие пространственные фигуры на плоскости;

• обладать элементарными навыками работы с проекционным чертежом;

• конструировать модели различных фигур; работать с развертками простейших пространственных фигур;

• владеть глазомером для оценки геометрических фигур, их положений на плоскости и в пространстве;

• выполнять основные геометрические построения с помощью чертежных инструментов.

Целесообразно рассматривать задачи, в которых плоские фигуры являются элементами пространственных объектов (Приложение №1).

Остановимся еще на одном факте, который был апробирован на практике. При изучении учащимися стереометрии целесообразно предлагать им две взаимосвязанные по содержанию задачи, причем условие каждой из них формулируется одновременно. Но практика показывает, что значительно полезнее предлагать школьникам самостоятельно формулировать, а затем решать для плоскостных фактов их пространственные аналоги (Приложения №2 и №3).

Сущность этого опыта состоит в параллельном (совместном и взаимосвязанном) изучении свойств двумерных и трехмерных объектов. Плоские фигуры рассматриваются расположенными различным образом в пространстве; систематическое привлечение пространственных образов при решении задач; одновременное рассмотрение аналогичных геометрических мест точек плоскости и пространства; систематическое изготовление плоских и пространственных фигур; параллельное рассмотрение геометрических преобразований плоскости и трехмерного пространства ( Приложения №4 и № 5).

Учащимся предлагаются различные виды конструирования: изготовление моделей пространственных тел с помощью разверток или из пластилина, из мягкой проволоки. Понятно, что ни конструирование, ни графическая деятельность не состоятся без деятельности по измерению, чему также уделяется большое внимание в данном курсе. Не последнее место в структуре процесса изучения геометрических объектов занимает воображение, характеризуемое как создание новых образов на основе заданного наглядного материала и оперирование образами. Умение мыслить образами осуществляется через представление объекта на основе заданного рисунка, проекционного чертежа, развертки или по вербальному описанию, через мысленное перемещение объекта или смену точки наблюдения, через представление проекции геометрического тела или его сечений. На уроках формируются умения строить чертёж к геометрической задаче, которые учитывают особенности построения чертежа к геометрической задаче, сформулированной только для плоскости, только для пространства и к задаче, сформулированной для плоскости и для пространства одинаково.

Использование моделирования в процессе обучения создает благоприятные условия для формирования таких приемов умственной деятельности как абстрагирование, классификация, анализ, синтез, обобщение, что, в свою очередь, способствует повышению уровня знаний, умений и навыков школьников.

Использование ИКТ на уроках помогает учителю сделать уроки геометрии интересными, динамичными, высокоэффективными, и ставит на качественно новую ступень практическую деятельность учащихся на уроке. Более эффективно применение на уроках интерактивных моделей из курса «Открытая Математика 2.5. Стереометрия». Роль средств наглядности возрастает в связи с трехмерностью изучаемых в стереометрии объектов, которая порождает условность их изображения на чертежах. Интерактивные модели, с одной стороны, обеспечивают предъявление учащимся объемных моделей, с другой стороны могут демонстрировать соответствующие им плоские чертежи. Установление соответствия между элементами объемных и плоских моделей позволяют выполнять модели и трехмерные чертежи курса.

Применяются в педагогической деятельности следующие методы обучения: деятельностный, поисковый, практический, наглядный, метод моделирования и конструирования, обучение в сотрудничестве.

Выявление промежуточных и конечных результатов учащихся происходит через:

• практическую деятельность;

• самостоятельные работы;

• изготовление наглядных пособий;

• диагностику развития логического мышления, воображения, гибкости ума, пространственного представления (тесты, решение задач на сообразительность, рассмотрение различных ситуаций);

• зачетные работы.

Для большей простоты целесообразно отдельные темы изучать сперва только планиметрически , имея дело с натуральными (неискаженными) фигурами и их свойствами, но в дальнейшем показать их в применении к стереометрическим задачам, показать их роль в образовании стереометрических фигур . Например, полезно рассматривать свойства многоугольников как граней многогранников, свойства окружностей как сечений шара и других тел вращения и т. п.

При этом существенной значение имеет то обстоятельство, что мы видим и изображаем на чертеже плоские фигуры в этом случае искаженными, т. е. имеющими иную форму, отличную от их действительной формы. Нельзя пройти мимо этого обстоятельства. Наоборот, по многим причинам следует уделить такому «преобразованию» фигур должное внимание. Учащимся надо объяснить, как получается проективный чертёж пространственной фигуры.

Используя знания о правильных многоугольниках, учащиеся строят развертки правильных многогранников. Конструируют некоторые из них. Например: тетраэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Знакомятся с различными видами многогранников (тела Платона, тела Архимеда, тела Федорова, тела Пуансо). Учащиеся подробно знакомятся с одним из представителей этого семейства - кубом. Получив модель куба , они изучают его элементы: грани - квадраты, ребра - отрезки, вершины - точки. Работают с терминологией. Учатся изображать куб, причем разными способами. Выявляют свойства куба. Работают с разверткой куба. Выясняют, что может быть одиннадцать различных разверток куба. Вычисляют объем куба и площадь поверхности, предварительно познакомившись с данным понятием. Учащиеся знакомятся с методом трех проекций. Определяют объект по его проекциям и наоборот, строят проекции объекта (Приложение №6). Работая с пластилиновым кубом, узнают, что в сечении могут получаться разные геометрические фигуры. (Приложение №7). Систематизируются знания о геометрических фигурах и объемных телах. Закрепляются навыки вычисления объема параллелепипеда, куба. Экспериментально выводят формулу для вычисления объема цилиндра. Определяют зависимость между объемом цилиндра и конуса. Знакомятся с законом Архимеда. Кроме этого изучение этого раздела дает возможность для эмоционального и духовного развития ребенка. Учащиеся учатся видеть знакомые им геометрические тела в реальной жизни.

Для того чтобы начать изучать особенности чертежей пространственных фигур, учащиеся должны хорошо осознать, что существенными геометрическими характеристиками самих этих фигур являются: взаимное расположение вершин, ребер, граней; значения длин ребер и величин углов граней ; форма граней и т. п. Поэтому изучение планиметрических понятий и зависимостей на стереометрических моделях в 7, а затем и в 8 классах приводит к тому, что учащиеся без всякой перегрузки хорошо усваивают и многие важнейшие геометрические характеристики этих моделей и соответствующих пространственных фигур.

Изучение чертежей учащимися будет эффективным, если можно организовать самостоятельную работу каждого из них по сопоставлению свойств пространственной фигуры и особенностей ее чертежа. Для этой цели оказываются удобными дидактические печатные материалы с заданными чертежами, вопросами к ним и наборами возможных ответов . Такая форма обеспечивает интенсивную самостоятельную работу учащихся на уроках и быстрое коллективное обсуждение правильности полученных ответов

( Приложение №8).

В результате данный опыт позволил выявить темы, при изучении которых применим фузионистский подход и объекты стереометрии, которые следует при этом использовать:

7класс. Геометрические тела. Типы линий. Плоскость. Углы (двугранные и плоские). Окружность и круг. Сфера и шар. Развертки по­верхностей тел. Многогранные углы и многоугольники. Симметрия (в пространстве и на плоскости). Проекции и их виды.

8 класс. Равенство треугольников и тетраэдров. Параллелизм плоскос­тей и прямых. Четырехугольники, приз­мы, пирамиды. Окружность и сфера. Простейшие геометрические места то­чек в пространстве и на плоскости.Векторы.

9 класс. Вписанные и описанные многоугольники и многогранни­ки. Площади фигур и поверхностей. Объем многогранников. Тела вращения и вычисление их поверхностей и объемов .

Фузионистские средства и методы обучения при органичном сочетании с дифференцированным обучением позволяют обеспечить достижение государственного образовательного стандарта всем учащимся, одновременно существенно развить трехмерное пространственное мышление учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике . Исходя из рассмотренных и представленных особенностей слитного преподавания планиметрии и стереометрии, можно сделать вывод о том, что метод фузионизма также будет весьма полезен и эффективен при проведении заключительного этапа изучения школьного курса геометрии - повторении основного пройденного материала.

Главной идеей данного опыта, отличающей его от массовой практики, является обучение геометрии учащихся 7-9 классов на основе фузионистского подхода посредством внедрения в учебный процесс специального комплекса задач, направленного на развитие пространственного мышления и удовлетворяющего возрастным особенностям подростков и разработана методика включения его в учебный процесс.

6.Результативность.

На констатирующем этапе важно было решить следующие задачи:

- установить, какими учебными действиями владеют учащиеся 7-х классов;

- изучить возможности развития пространственного мышления учащихся основной школы;

- разработать критерии и показатели уровней развития пространственного мышления школьников;

- выявить уровни развития пространственного мышления учащихся на начало эксперимента.

Для выявления уровня развития пространственного мышления проведена самостоятельная работа , в качестве которой учащимся был предложен тест, состоящий из 15 заданий. Задания теста направлены на проверку не только способности учащихся к деятельности по созданию пространственного образа, но и на элементы оперирования пространственными образами, что позволяет говорить о проверке уровня развития пространственного мышления. Задания в этом тесте подобраны таким образом, чтобы они опирались на знания, полученные учащимися на предыдущем этапе обучения, то есть в 1 - 6-х классах.

Распределение учащихся контрольных и экспериментальных классов по уровням развития пространственного мышления в начале опыта:

В ходе формирующего этапа работы в процессе обучения геометрии в использовались:

- разработанный комплекс задач стереометрического характера, расположенных в соответствующих темах планиметрии, на основе выработанных критериев отбора задач,

- разработанная методика включения задач стереометрического содержания в учебный процесс,

- различные наглядные средства (модели, развертки, рисунки и т. п.). Комплекс задач, наглядных средств и соответствующая методика изучения геометрии на основе фузионистского подхода были предназначены, с одной стороны, для оптимального усвоения школьниками курса планиметрии, а с другой стороны, для формирования и развития пространственных представлений и пространственного воображения учащихся 7 - 9 классов.

Контрольный этап проводился в конце первой четверти 10-го класса, так как к этому времени учащиеся изучили достаточное количество стереометрического материала для написания контрольной работы. Ими изучены аксиомы и основные положения геометрии, тема «Параллельность прямых и плоскостей» и они познакомились с основными видами многогранников, таких как призма и пирамида и с их изображениями. Чтобы оценить, повысился ли уровень развития пространственного мышления учащихся , благодаря включению разработанного комплекса задач.

Для этого учащимся была предложена контрольная работа. Для решения задач контрольной работы учащимся потребовались как навыки деятельности по созданию пространственного образа , так и деятельности по простейшим преобразованиям образа. Поэтому выполнение данной контрольной работы учащимися позволяет оценить уровни развития у них пространственного мышления.

Итоговое распределение учащихся контрольных и экспериментальных классов по уровням развития пространственного мышления :

Таким образом , получили следующее распределе50мышления включения его в учебный процесс45454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545454545ние учащихся 7 и10 классов по уровням стереометрических знаний (в %):

Это означает, что применение методики обучения геометрии на основе фузионистского подхода повлияло на уровень развития пространственного мышления учащихся.

Рост уровней развития пространственного мышления учащихся позволяют сделать вывод об эффективности предложенной опыта обучения геометрии в основной школе на основе фузионистского подхода.

Таким образом, целенаправленная деятельность по развитию пространственного мышления через включение задач стереометрического характера в систематический курс планиметрии создает благоприятные условия для успешного усвоения курса планиметрии, а в дальнейшем и курса стереометрии, а также содействует формированию приемов мыслительной деятельности, позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся при обучении.

III Сведения о перспективах использования в массовой практике.

1.Условия функционирования опыта.

Опыт используется в классах с углубленным и базовым уровнем изучения математики ( 7-9 классы МОУ лицея №1 г.Волгограда)

2.Теоретико-практические основы опыта.

Теоретико-методологическим обоснованием данного опыта явились исследования по проблеме развития пространственного мышления и фузионистского подхода в процессе изучения школьной геометрии, теории и методики обучения математике в школе ( Глейзер Г.Д., Гусев В.А ,

Далингер В.А.) [2,3,4].

Опыт основан на результатах исследования математика-методиста Г.Д. Глейзера. Он описывает уровни развития пространственных представлений, которые дают возможность представить этапы этого процесса. «Так, «элементарный» уровень должен быть достигнут учащимися в начальной школе, «фрагментарный»- в 5-6 классах, «статически-динамический»- в 7-8, «динамический»- в 9-10, «творческий»- в 11 классе. Отдельные учащиеся, однако, могут продвигаться значительно быстрее. Рассматривая качественную характеристику каждого уровня с точки зрения представлений конкретных геометрических фигур, можно сделать вывод, что в 7-8 классах, когда учащиеся достигают «статическо-динамического» уровня, речь идет о представлениях планиметрических фигур, в то время как уровень развития представлений стереометрических фигур остается «фрагментарным». В десятый класс, когда начинается изучение стереометрии, учащиеся приходят с этим «фрагментарным» уровнем развития представлений стереометрических фигур, который ослабляется в результате оперирования плоскостными объектами в 7-9 классах» [2].

Опыт опирается на исследования психолога И.С. Якиманской по формированию пространственного мышления. В её работах раскрывается природа восприятия пространства, в частности, процессы ощущений, восприятий и представлений рассматриваются в неразрывном единстве[7].

3.Перспективы и возможности использования опыта в массовой школе.

Данный опыт может быть использован учителями математики для классов с углубленным и базовым изучением математики и факультативных занятий в классах базового уровня.

Литература

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.,Кадомцев С.Б, Геометрия 7-9кл.., - М. Просвещение, 2012

2.Глейзер Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при изучении геометрии. - М.: Педагогика, 1972

3.Гусев В.А. Методика обучения геометрии /В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др. - М.: Издательский центр .Академия., 2004

4.Далингер В.А. Методика формирования пространственных представлений у учащихся при обучении геометрии: учебное пособие. - Омск: Изд-во ОГПИ, 1992

5. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. - М.: Просвещение, 1977

6. Стратегия модернизации содержания общего образования : материалы для разработки документов по обновлению общего образования. - М.: Минобразования, 2001

7. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. - М.: Педагогика, 1980.

Приложение №1

Задачи с плоскими фигурами ка элементами пространственных объектов.

Задача 1. Прямая а пересекает плоскость α в точке Р. Точка L лежит в плоскости α и не совпадает с точкой Р. Докажите, что точка L не лежит на прямой а и постройте линию пересечения плоскости α с плоскостью, проходящей через прямую а и точку L.

Задача 2. Изобразите в тетради четырехугольную пирамиду SАВСD с основанием АВСD. Точки К, L, М - середины ребер SА, SВ, SD. Точка О - точка пересечения отрезков АС и ВD. Точка Р - произвольная точка на ребре АВ. Соедините отрезками все эти точки.

Задача 3. Основанием треугольной пирамиды АВСD является равнобедренный треугольник АВС, у которого высота АК, проведенная к основанию, равна 12 см, ∠АВС = 45 º. Найдите длину окружности и площадь круга, описанных около треугольника DАВ, если известно, что отрезок DА перпендикулярен отрезку АВ и DА = 6 см.

Задача 4. На каркасной модели пирамиды укажите треугольники, у которых:

а) три стороны равны;

б) только две стороны равны;

в) нет равных сторон;

г) три угла равны;

д) только два угла равны;

е) нет равных углов.

Есть ли среди указанных треугольников равные?

Задача 5. Определите «на глаз» расстояние между вершинами моделей: куба, параллелепипеда, пирамиды. Проверьте результаты измерением.

Задача 6. Определите «на глаз», какие из плоских углов на моделях куба, параллелепипеда, пирамиды меньше 90º, больше 90º. Измерьте эти углы.

Приложение №2.

Плоскостные и пространственные задачи, взаимосвязанные по содержанию .

Задача 1.

а) Серединные перпендикуляры сторон треугольника АВС пересекаются в точке О. К чему будет стремиться расстояние от точки О до прямой АС, если:

а) ∠В → 180º;

б) ∠В → 90º;

в) ∠В → 0º?

б) Серединные перпендикуляры образующих конуса пересекаются в точке О. К чему будет стремиться расстояние от этой точки до основания конуса, если угол, под которым виден диаметр основания данного конуса, стремится к:

а) 180º, б) 90º, в) 0º?

Задача 2.

а) Через точку М, взятую внутри прямого угла, проведена прямая АС, пересекающая стороны этого угла. При каком условии прямоугольный треугольник, образованный секущей прямой и сторонами угла, будет иметь наибольшую площадь?

б) Через точку М, взятую внутри прямого трехгранного угла, проведена плоскость ВСD, пересекающая ребра этого угла. При каком условии прямоугольный тетраэдр, образованный секущей плоскостью и ребрами трехгранного угла, будет иметь наибольший объем?

Задача 3.

а) Докажите, что площадь круга равна площади треугольника, основание которого имеет ту же длину, что и окружность, а высота которого равна радиусу окружности.

б) Докажите, что объем шара равен объему пирамиды, площадь основания которой равна площади поверхности шара, а высота пирамиды равна радиусу шара.

Задача 4.

а) Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

б) Докажите, что если трехгранный угол одного тетраэдра равен трехгранному углу другого тетраэдра, то объемы этих тетраэдров относятся как произведения ребер этих тетраэдров, выходящих из вершин этих трехгранных углов.

Задача 5.

а) Даны равносторонний треугольник, квадрат, круг. Периметр каждой фигуры равен а. Найдите их площади. На основании полученных данных продолжите следующие предложения:

• из рассмотренных плоскостных фигур наименьшую площадь имеет...;

• из рассмотренных плоскостных фигур наибольшую площадь имеет...;

• если треугольник, квадрат и круг имеют одинаковую площадь, то наибольший периметр имеет...;

• из всех плоскостных фигур, имеющих одинаковую площадь, наименьший периметр имеет....

б) Даны правильный тетраэдр, куб и шар. Данные фигуры имеют одинаковые объемы, равные в. Найдите площади поверхностей данных тел. Сделайте выводы, аналогичные выводам предыдущей задачи.

Приложение №3

Плоскостные и пространственные задачи, взаимосвязанные по содержанию по теме «Признаки равенства треугольников» (7 класс).

Задача 1. Доказать равенство треугольников, изображенных на рисунке 1. Какие стороны и углы этих треугольников будут соответственно равными?

После обсуждения решения задачи 1 предложить решить самостоятельно задачу 2, которую тоже следует сформулировать по готовому чертежу.

Задача 2. В треугольной пирамиде DABC (рисунок 2) ADB = DBC, AD = BC. Какие ещё рёбра и углы граней пирамиды будут равными?

Для лучшего усвоения и закрепления изученной теоремы полезно устно решить задачи по готовым чертежам (рисунки 3 и 4).Д

омашнее задание тоже следует дать комбинированное, состоящие из «плоских» и «пространственных» задач.

З

адача3. В треугольниках PRT и PQS PR = PQ и PT = PS (рисунок 5). Докажите, что а) PRT = PQS; б) RSQ = QTR.

Задача 4. В треугольной пирамиде DABC (рисунок 6) DBC = BDA и ABD = BDC. Докажите, что AD = BC и AB = DC.

Приложение №4 Задачный материал, связанный с многогранниками

(7 класс).

4.1 Основные свойства простейших геометрических фигур.

1. На верхней грани куба изображена (заштрихована) фигура f, содержащая точки A, B, C, D и M. Является ли эта фигура плоской? Является ли плоской фигура, составленная из двух треугольников DD₁P и DD₁Q , лежащих в передней и боковой гранях куба?

3. По предыдущему рисунку укажите, какие прямые, проходящие через две вершины параллелепипеда, содержатся в плоскости α .

4. Изобразите куб, обозначьте его буквами. Обозначьте через плоскость его передней грани. Какие вершины куба принадлежат плоскости α, какие не принадлежат? Запишите знаками.

5. Сделайте чертеж прямоугольного параллелепипеда, обозначьте его буквами. Укажите, какие вершины принадлежат плоскости α, содержащей нижнюю грань параллелепипеда.

6. Куб имеет длину ребра a. Каждая грань куба представляет собой квадрат с периметром 4a. Всего у куба шесть таких граней. Следует ли отсюда, что сумма длин ребер равна 24a?

7. У куба шесть граней и на каждой грани четыре прямых угла. Таким образом, на поверхности куба имеется 24 прямых угла, образованных ребрами. Как еще можно подсчитать число прямых углов на поверхности куба?

8. Назовите треугольники, образующие поверхность треугольной пирамиды ( см.рис ).

9. Можно ли с помощью шести спичек составить фигуру, состоящую из четырех одинаковых треугольников?

10. Запишите, какие ребра куба параллельны .

11. Сделайте чертеж параллелепипеда и обозначьте вершины буквами. Приведите примеры пересекающихся прямых, а также примеры непересекающихся прямых.

12. Точки P и Q расположены внутри грани A₁B₁C₁D₁ куба. Сделайте чертеж и постройте на нем точки пересечения прямой PQ с ребрами куба или с их продолжениями.

13. Пересекаются ли в пространстве прямые DD₁ и A₁B₁ (см. рис. 2)? Ответьте на тот же вопрос относительно прямых BB₁ и DC.

4.2 Смежные и вертикальные углы.
Перпендикулярные прямые. Биссектриса угла

1. Запишите, какие ребра куба перпендикулярны

( см.рис).

2. Боковой гранью треугольной пирамиды SABC является треугольник ASB с углом SAB, равным 80°. В боковой грани проведена биссектриса AM. Чему равен угол между биссектрисой и стороной AB основания пирамиды?

Примечание. Задача 1 рассматривается при изучении перпендикулярных прямых, задача 2 - при изучении биссектрисы угла.

4.3 Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник. Высота, биссектриса и медиана треугольника

1. Точки M и N - середины ребер куба Докажите, что треугольник ADM равен треугольнику CDN. Укажите равные стороны и равные углы в этих треугольниках.

2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см, а сумма периметров боковых граней 48 см. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

3. Найдите площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, длина каждого ребра которой равна a, и вычислите ее значение при a=3,8 см.

4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды больше бокового ребра на 3 см, а периметр боковой грани равен 27 см. Найдите сторону основания и боковое ребро пирамиды.

5. Боковой гранью правильной треугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом при вершине, содержащим 52°. Найдите величину угла x между высотой боковой грани и боковым ребром пирамиды

4.4 Сумма углов треугольника. Прямоугольный треугольник

1. Боковой гранью правильной треугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом при вершине, содержащим 64°. Найдите углы при основании в этой грани.

2. Боковой гранью правильной треугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник. Угол между высотой боковой грани, проведенной к основанию, и боковым ребром пирамиды равен 34°. Найдите углы боковой грани.

3. Боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом при основании, содержащим 35°. Найдите величину угла между медианой боковой грани, проведенной к основанию, и боковым ребром пирамиды.

4. Дана треугольная пирамида SABC ( см. рис ). Боковая грань SAB является прямоугольным треугольником с прямым углом SAB.

Угол ASB в два раза меньше угла ABS. Найдите острые углы грани SAB.

5. На рисунке изображен куб, в верхней грани которого проведена диагональ A₁C₁. Является ли треугольник A₁C₁B₁, расположенный в верхней грани, равнобедренным? Является ли он на чертеже равнобедренным?

Какие стороны этого треугольника, расположенного на поверхности куба, равны? Какие углы равны?

6. Дан куб (см.рис). На поверхности куба изображен (заштрихован) треугольник BCC₁. Назовите в этом треугольнике гипотенузу и катеты и найдите углы C₁BC и BC₁C.

4.5 Геометрические построения

1. Дана четырехугольная пирамида SABCD . Разделите AB и BC на две равные части.

2. Разделите ребро SA четырехугольной пирамиды SABCD на четыре равные части.

3. В грани ASB треугольной пирамиды SABC постройте медианы.

4. Точка K - середина бокового ребра SC треугольной пирамиды SABC Треугольник AKB является сечением пирамиды. Постройте медианы треугольника AKB.

5. В правильной треугольной пирамиде SABC постройте медиану AM треугольника ABC к стороне BC и медиану SM треугольника BSC к стороне BC. Сколько перпендикулярных прямых проходит через точку M к стороне BC?

Приложение №5 Задачи про многогранники в курсе геометрии 8класса

5.1 Четырехугольники. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

1. Нарисуйте развертку прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм.

2. Нарисуйте развертку прямой призмы, в основании которой лежит: а) ромб; б) прямоугольник; в) квадрат.

3. Нарисуйте развертку куба. Если это возможно, то нарисуйте различные варианты развертки куба.

4. Через середины боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение, параллельное основанию. Найдите длины сторон сечения, если в основании пирамиды лежит квадрат, длина стороны которого 6 см (см.рис).

5. Через середины боковых ребер правильной треугольной пирамиды проведено сечение, параллельное основанию. Найдите периметр сечения, если длина стороны основания равна 10 см.

6. Нарисуйте развертку прямой призмы, в основании которой лежит трапеция.

7. Нарисуйте развертку наклонной призмы, в основании которой лежит: а) параллелограмм; б) ромб; в) прямоугольник; г) квадрат; д) трапеция.

5.2 Теорема Пифагора. Перпендикуляр и наклонная. Соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
1. Вычислите периметр диагонального сечения куба, ребро которого равно 5 см .

.2. Вычислите площадь диагонального сечения куба, ребро которого равно 6 см.

3. Вычислите диагональ куба, ребро которого равно 4 см

4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите биссектрису боковой грани, проведенную из вершины пирамиды.

5. Вычислите длины граней прямоугольного параллелепипеда (бруска) с размерами 3x5x8 (см).

6. На рисунке 31 изображен куб, в верхней грани которого проведены отрезки B₁M и B₁N. Какой из отрезков B₁N, B₁M или B₁A₁ имеет наименьшую и какой имеет наибольшую длину: а) на кубе; б) на чертеже.

7. Может ли высота пирамиды быть больше длины бокового ребра SB

8. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды 12 см, а высота пирамиды 26 см. Вычислите длину бокового ребра пирамиды.

9. В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция с основаниями 5 м и 17 м (рис3). Диагональ боковой грани AA₁D₁D равна 10 см. Найдите расстояние между ребрами D₁C₁ и AB призмы.

10. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды 13 см. Вычислите величину угла наклона бокового ребра пирамиды к диагонали основания.

11. В основании треугольной пирамиды SABC лежит равносторонний треугольник со стороной 9 см. Боковой гранью SAB является прямоугольный треугольник с прямым углом A. Ребро SA равно 40 см. Найдите неизвестную сторону и острые углы этой грани.

12. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит квадрат со стороной 8 см. Боковая грань SBC является прямоугольным треугольником с прямым углом BSC. Угол наклона ребра SB к ребру BC основания равен 70°30'. Найдите неизвестные стороны и острый угол SBC.

5.3 Площади фигур

1. Чему равна площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого длины ребер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c?

2. Вычислите площадь диагонального сечения куба , ребро которого равно 4 см.

13. Сколько краски потребуется, чтобы окрасить куб с ребром 2,5 см, если на покраску одного квадратного метра требуется 200 г краски?

4. Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3 см, а высота 7 см.

5. На рисунке изображена развертка четырехугольной призмы. Выполните необходимые измерения и вычислите площадь полной поверхности призмы.

6. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковое ребро 20 см (основанием правильной пирамиды является квадрат, а все боковые ребра имеют одинаковую длину).

7. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, длина каждого ребра которой равна a, и вычислите ее значение при a = 3,8 см.

8. Вычислите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 8,3 см, а боковое ребро 12 см.

9. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, длина стороны основания которой равна a, а боковое ребро 2a, и вычислите ее значение при a=7,5 см. Вычислите также площадь полной поверхности этой пирамиды.

5.4 Подобие фигур

1. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием и подобный ему параллелепипед. Длины каких отрезков можно узнать, если известно, что AB=MN₁=5 см, NP = 3 см?

2. Через середины боковых ребер правильной пирамиды проведено сечение . Найдите длины сторон сечения, если в основании пирамиды лежит квадрат, длины сторон которого 6 см.

3. В правильной треугольной пирамиде со стороной основания 18 см и боковым ребром 27 см проведено сечение так, что оно отсекает от каждого бокового ребра пирамиды отрезок 9 см, считая от вершины пирамиды. Найдите длину основания сечения.

4. Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 8,5 см и боковым ребром 13,6 см пересечена плоскостью. Найдите длину стороны получившегося сечения, если каждый из отрезков AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ имеет длину 8,8 см.

5.5 Векторы

1. На рисунке изображен куб и показан вектор, изображаемый направленным отрезком, идущим от одной вершины куба к противоположной вершине. Сколькими способами можно представить вектор в виде суммы трех векторов, идущих по ребрам куба?

2. Вычислите длину диагонали AC₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если его ребра имеют длины 5 см, 4 см, 5 см.

3. Докажите, что в треугольной пирамиде длина отрезка, соединяющего середины двух противоположных ребер, меньше полусуммы длин двух других противоположных ребер.

4. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде боковое ребро AA₁ перпендикулярно каждой диагонали основания.

5. В прямоугольном параллелепипеде ( см.рис ) с длинами ребер AB=3 см, AD=5 см, AA₁=7 см вычислите угол между диагональю AC₁ и диагональю AC нижнего основания.

6. В пирамиде ABCD точки M и N - середины ребер AB и CD. Докажите, что если AC = AD = BC = BD, то прямые AB, CD и MN попарно перпендикулярны.

7. Ребра AB и CD пирамиды ABCD перпендикулярны. Докажите, что AC² -AD² = BC² -BD².

8. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, имеют длины a, b и c. Найдите длины ребер параллелепипеда.

9. В треугольной пирамиде SABC SD - медиана боковой грани SBC. Выразите через векторы , и указанные на рисунке, следующие векторы:

10. В прямоугольном параллелепипеде точки M, K, T - середины ребер. Выразите через векторы

следующие векторы:

11. В треугольной призме точки M, N и P - середины ребер A₁A, C₁C и B₁C₁ соответственно. Выразите через следующие векторы:

Приложение №6

Практическая работа « Куб и метод трех проекций»(7класс).

На поверхности стеклянного куба проходит ломаная линия, сделанная из толстой проволоки. Глядя на куб спереди, сверху и слева, видно, как располагается эта проволока, и можем изобразить три ее проекции.

Задания.

1.Задание по вариантам. Рассмотрите ломаные и кривые линии на рисунке и начертите в каждом случае три проекции (вид спереди, сверху, слева).

2.Проекции жирной линии спереди, слева и сверху образуют слово из трех букв. Прочитайте его, используя рисунки №1,2,3,4.

3.Обратное задание: даны проекции ломаных спереди, сверху и слева. Тонким карандашом нарисуйте куб, а на его поверхности проволоку, из которой сделаны эти ломаные.

4.Выполните тест.

На поверхности куба проведена жирная линия. Найдите три ее проекции.

Домашнее задание.

1. На рисунке показаны восемь кубов, разрезанных на две части. Первые части этих кубов представлены на позициях 1 - 8, вторые - на позициях А - З. Для каждой из частей 1 - 8 найдите ее пару среди А - З.

2. Рассмотрите ломаные и кривые линии на рисунке и начертите в каждом случае три проекции (вид спереди, сверху, слева).

Приложение №7

Практическая работа «Сечения куба.» (7класс)

Если пластилиновую модель разрезать ножом, можно увидеть какую форму имеет срез.

1. Разрежьте куб на две равные части так, чтобы сечение не проходило через ребра куба. Какая фигура получилась в сечении? Изобразите куб и сечения.

2. Разрежьте куб так, чтобы сечение проходило через пару ребер куба. Рассмотрите все возможные случаи. Изобразите куб и сечения. Какая фигура получилась в сечении?

3. Разрежьте куб так, чтобы в сечении получался прямоугольник, но сечение не проходило бы через два ребра куба. Изобразите куб и сечения.

4. Отметьте на ребрах куба такие точки, чтобы в сечении куба, проходящего через эти точки, получился треугольник. Сделайте разрез ножом и изобразите куб и сечение в тетради.

5. Разрежьте куб так, чтобы сечение проходило бы, через одну из вершин куба. Какая фигура получилась в сечении? Изобразите куб и сечение.

6. Разрежьте куб так, чтобы в сечении получился шестиугольник. Изобразите куб и сечение.

Домашнее задание.

1. Разрежьте куб так, чтобы в сечении получался прямоугольник, но сечение не проходило бы через два ребра куба. Сделайте сечения отличные от тех, что вы сделали в классе. Изобразите куб и сечения.

2. Ответь на вопрос: какие фигуры получаются в сечении куба плоскостью?

3. Изображен куб и отмечены точки на серединах его ребер. Изобразите сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки.

4. Какие из закрашенных на рисунке фигур с вершинами в вершинах куба или серединах его ребер являются сечениями куба плоскостью?

Приложение №8

Самостоятельные работы на сопоставление свойств пространственных фигуры

Работа № 1 (Рисунок H.4.1.7.1).

1. 

   Рисунок M.3.3.1Сколькими плоскостями ограничена данная фигура?
   1) Тремя плоскостями.2) Четырьмя плоскостями. 3) Шестью плоскостями. 4) Ни один из этих ответов не верен.

2. Какие две прямые не лежат на одной плоскости?
   1) AB и A₁D₁.2) AB и A₁С₁. 3) AB и BC.
   4) AB и D₁C₁.

3. Какие три прямые вместе с прямой AA₁ лежат на одной плоскости?
   1) AA₁, A₁D₁ и AB. 2) AA₁, AB и BC. 3) AA₁, A₁B и AB.
   4) Ни один из этих ответов не верен.

4. Какие утверждения относительно прямой AB являются ложными?
   1) Лежит на плоскости AA₁BB₁ 2) Лежит на плоскости BB₁CC₁
   3) Не лежит на плоскости BB₁CC₁. 4) Ни один из этих ответов не верен.

5. Определить четыре точки, не лежащие на одной плоскости.
   1) A₁, D₁, C₁ и B₁.2) A, A₁, B₁ и C₁.3) B, B₁, C и C₁. 4) A, A₁, C и C₁.

Работа № 2 (Рисунок H.4.1.7.2).

1. 

   Рисунок M.3.3.2Какие отрезки составляют ломаную?
   1) AD, A₁D₁, CC₁ .2) AD, DC и CC₁.3) A₁B₁, D₁C₁ и DC. 4) Ни один из этих ответов не является верным.

2. Определить замкнутую ломаную линию.
   1) DCBA.
   2) D₁C₁CDD₁.
   3) ADCC₁B₁.
   4) ABD₁DCBA. Подумайте, как лучше давать ответ на этот вопрос: с чертежом или без него.

3. Какая ломаная лежит на плоскости AA₁D₁D?
   1) ADC.
   2) ADD₁.
   3) DAB.
   4) Ни один из ответов не является верным.

4. Определить плоские и неплоские ломаные линии.
   1) Ломаная ABB₁C₁ является неплоской.2) Ломаная ABD₁D является плоской. 3) Ломаная ABCD- плоская.4) Ломаная ABD₁C₁ - неплоская.

Работа № 3 (Рисунок H.4.1.7.3. угол ABC - тупой).

1. 

   Рисунок M.3.3.3Какие прямые образуют угол?

1) AB и B₁C₁. 2) A₁B₁ и B₁C₁
3) AB и CC₁ 4) Ни один из ответов не верен.

2. Сколько углов сходится в вершине A?
   1) Один. 2) Два. 3) Три.
   4) Ни один из этих ответов не верен.

Какой угол лежит в плоскости?
1) угол BCC 2) угол BCA. 3) угол C. 4) Ни один из ответов не верен.

Работа № 4 (Рисунок H.4.1.7.2).

1. Укажите взаимно перпендикулярные прямые:
   1) AA₁ и A₁D₁ 2) AD и D₁C₁, 3) BC и AB. 4) AD и DC₁

2. Укажите неперпендикулярные друг другу прямые:
   1) DC и CC₁,2) AD и DD₁. 3) DC₁ и CC₁. 4) B₁C₁ и DC₁.

Кроме выборочной формы ответа, полезны также задания, в которых ученику приходится конструировать ответ самому. Эти задания рационально «привязывать» к имеющимся чертежам. Например, при рассмотрении предыдущего чертежа уместно на уроке дополнительно рассмотреть с учащимися следующие вопросы:

1. Приведите сами пример взаимно перпендикулярных прямых и не перпендикулярных друг к другу прямых.

2. Какие прямые на чертеже кажутся перпендикулярными, но не являются ими?