Сборник заданий для подготовки учащихся 11 классов к олимпиадам

Сборник заданий

для подготовки учащихся 11 классов к олимпиадам

Вариант 1

1. Решите систему уравнений:

2. Дан прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а и a и боковым ребром а. Постройте его сечение плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей основания и перпендикулярной одной из них, и вычислите его площадь.

3. Решить уравнение:

4. Известно, что f(x) = ; g(f(x)) = x. найти g(x).

5. Найти значения a, при которых вершины парабол

y = x² - 2(a + 1)  x + 1 и y = ax² - x + a лежат по разные стороны от прямой y = x - 2.

6. На бесконечной шахматной доске с клетками размером 1 1 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная, проходящая по сторонам клеток. Внутри ломаной оказалось k черных клеток. Какую наибольшую площадь может иметь фигура, ограниченная этой ломаной?

Вариант 2

1. Найти двугранные углы трехгранного угла, плоские углы которого α, β и γ.

2. Доказать неравенство:

(x + y)  (x + y + 2 cos x) + 2  2sin² x.

При каких значениях х и у достигается равенство?

3. Найти четырехзначное число, кратное 7 и представляющее собой сумму куба и квадрата одного и того же целого числа.

4. Авиалинию, связывающую пункты А и В, обслуживают самолеты трех типов. Каждый самолет первого, второго и третьего типов может принять на борт соответственно 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолеты, используемые на линии, могут принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88 контейнеров. Найдите количество используемых на линии самолетов каждого типа, если их общее число не превосходит 8.

5. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых существует решение уравнения x² + (2ax² + 3)² = 4.

Вариант 3

1. Найдите наибольшее значение функции:

y = (a > 0; b > 0; c > 0).

2. Вычислить tg(arccos - arcsin).

3. Решите уравнение:

4. На даче на берегу моря отдыхает семья: дедушка, бабушка, их дочь, зять и внучка. До завтрака они часто купаются в море. При этом известно, что если дед идет купаться, то с ним обязательно идет бабушка и зять; если зять идет купаться, то обязательно берет с собой жену; внучка купается только с бабушкой. Каждое утро по меньшей мере один из стариков непременно купается. Известно, что в то утро купалась или внучка, или ее мама. Спрашивается, кто из членов семьи купался в то утро?

5. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведите сечение через вершину А, середину ребра ВС и центр грани DCC₁D₁. Вычислите площадь сечения, если ребро куба равно a.

Вариант 4

1. Решите уравнение:

.

2. Найдите объем общей части двух кубов, если один из них получен при повороте на 90° другого куба вокруг оси, проходящей через среднюю линию одной из его граней.

3. Графики линейных функций y = x + 6; y = -0,5x + 6 и y = 0,25x + 1,5, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Найдите его площадь.

4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение a  (4^x + 1) = 3  (2^x + 1)² - 8 имеет единственное решение.

5. Найти высоту пирамиды, если плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны 75º, 90º и 105º, а высоты всех боковых граней, проведенные из этой вершины, равны 1.

Вариант 5

1. При каких натуральных n число 3²ⁿ⁺¹ - 2²ⁿ⁺¹ - 6ⁿ является составным?

2. В начальный момент лечения пациенту была произведена первая инъекция - 6 единиц некоторого лекарства, а во время каждой последующей инъекции ему вводится 4 единицы того же лекарства. За время между инъекциями количество лекарства в организме уменьшается в 5 раз. Какое количество лекарства будет содержаться в организме сразу после 30-й инъекции?

3. Представьте числа от 1 до 10 с помощью числа π, используя скобки, знаки сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения квадратного корня, а также символ функции [х] ([х] - целая часть числа х).

Например: 11 = [( π · π + )].

4. Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения, и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найти отрезок ее, ограниченный продолжениями диагоналей, если основания равны a и b.

5. Докажите, что 2a +  3 при 0 < a < 1.

Вариант 6

1. Найдите все пары чисел (x; y), удовлетворяющие уравнению

12sin x - 5cos x + 2y² - 4y + 15.

2. При каких значениях а четыре корня уравнения

x⁴ + (a -5)x² + (a + 2)² = 0 являются последовательными членами арифметической прогрессии?

3. Имеется линейка без делений длиной 13 см. Сколько промежуточных делений и каких нужно нанести на линейку, чтобы ею можно было измерить расстояния: 1 см; 2 см; …13 см? Число делений должно быть наименьшим.

4. Основанием наклонной призмы АВСА₁В₁С₁ служит прямоугольный треугольник АВС (C = 90°). Вершина В₁ проектируется в точку С. Боковое ребро равно и составляет с плоскостью основания угол . Двугранный угол с ребром BB₁ равен a. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

5. Найдите все пары значений х и у, удовлетворяющие уравнению:

x² + 6x  sin(x  y) + 9 = 0.

6. Двое играют в такую игру: выбирают финишное двузначное число. Затем один называет однозначное число (то есть целое число от 1 до 9 включительно), второй прибавляет к нему еще какое-нибудь однозначное число и называет сумму, к этой сумме первый прибавляет еще какое-нибудь однозначное число и опять называет сумму и т. д. Выигрывает тот, кто первым назовет финишное число. Как нужно играть в эту игру, чтобы выиграть? Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?

Вариант 7

1. Доказать, что любой треугольник можно разрезать на несколько равнобедренных треугольников.

2. Вычислить:

A = .

3. Решите уравнение: .

4. Какое наименьшее число круглых фишек диаметром можно расставить на доске 7  7 клеток единичной длины, чтобы внутри каждой клетки имелась часть, накрытая одной из фишек?

5. На координатной плоскости рассматривается такая фигура F, которая состоит из всех точек, координаты (a; b) которых таковы, что система неравенств не имеет решений. Найдите площадь фигуры F:

x² + (3 - a² - b²)x - 3  (a² + b²)  0

2x² + (2a + 2b - 25)x - 25  (a + b)  0

Вариант 8

1. Сколько касательных можно провести через точку А (2;7) к графику функции y = x³ + x²?

2. Найдите значение выражения:

…

3. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством: x² + y²  10x+4y.

4. Автобус проходит путь АЕ, состоящий из отрезков AB, BC, CD, DE длиной 10 км, 5 км, 5 км, 6 км соответственно. При этом согласно расписанию, выезжая из А в 9 ч, он проходит В в ч, С в ч, D в ч. С какой скоростью υ должен двигаться автобус, чтобы сумма абсолютных величин отклонений от расписания прохождения пунктов B, C, D и времени движения автобуса от A до E при скорости υ не превосходила 51,7 мин?

5. Сфера радиуса 2 касается плоскости в точке А. В этой же плоскости лежит основание конуса. Прямая, проходящая через центр основания конуса (точку С) и точку сферы, диаметрально противоположную точке А, проходит через точку М. Точка М является точкой касания сферы и конуса (их единственная общая точка). Найдите высоту конуса, если АС = 1.

Вариант 9

1. Решить систему уравнений:

7  3^x+1 - 2  3^y+z-x+1 = 9

2  3^x+1 + 3^y+z-x = 27

lg(x + y + z) - 31gx = lgzy + lg 2.

2. Решить уравнение:

.

3. Найти периметр фигуры, заданной системой неравенств:

2x + 3arcsin 3 + x

x - 2y + 4  0.

4. Группа студентов сдавала экзамен. Оказалось, что процент студентов, сдавших экзамен, находится в интервале 96,7 % до 97,1 % (включительно) от числа студентов в группе. Определить минимально возможное число студентов в данной группе.

5. В основании пирамиды SABC лежит равносторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна 4. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найти величину угла между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая - через точку С и середину ребра AB.

Вариант 10

1. Упростить:

.

2. Найти а, при которых вершины двух парабол

y₁ = x₂ + (a + 6)x - a + 7 и y₂ = 2ax² + 4x + 3a лежат по одну сторону от прямой y = - 2x - 1.

3. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости соотношением

2  (2 - x) y - x²+y + x².

4. Мне в данный момент вдвое больше лет, чем моему брату было тогда, когда мне было столько лет, сколько ему теперь; когда моему брату будет столько лет, сколько мне теперь, тогда сумма наших возрастов будет равна 63 годам. Сколько лет каждому из нас в данный момент?

5. Найти все значения параметра k, при каждом из которых уравнение + 2k - 1 = 0 не имеет решений.