Урок по математике на тему Основные методы решения иррациональных уравнений (1 курс)

Разработала: Киреева Ольга Владимировна

Областное государственное автономное профессиональное образовательное учреждение "Белгородский педагогический колледж"

Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений

Дисциплина: математика

1 курс

Автор:

преподаватель математики

Киреева Ольга Владимировна

Белгород 2015

Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений

Цели:

Образовательная - создание условий для усвоения студентами основные методы решения иррациональных уравнений; способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, показать применение теоретического материала при решении иррациональных уравнений (выполнение практической работы по вариантам, выполнение самостоятельной работы).

Развивающая - способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления.

Воспитательная - способствовать развитию интереса к учебному предмету, воспитание культуры интеллектуального труда, чувства коллективизма, самоконтроля, ответственности.

Задачи урока:

1. Продемонстрировать основные методы решения иррациональных уравнений, формировать умение выбирать рациональные пути решения;

2. Освоение всеми студентами алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

3. Развитие у студентов логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

4. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между студентами и между студентами и преподавателем, воспитание навыков совместного решения задач.

Тип и вид учебного занятия: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности: комбинированное занятие.

Методы обучения:

информационно- иллюстративный; репродуктивный; проблемный диалог; частично-поисковый; исследовательский; системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

фронтальная, групповая, самопроверка, взаимопроверка, коллективные способы обучения.

Оборудование урока: мультимедийная установка, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность проведения занятия 90 минут.

Подготовительный этап

За неделю до мероприятия группа делится на подгруппы по 3-4 человека. Преподаватель предварительно выделяет основные направления поиска, студенты выбирают направление в зависимости от собственных возможностей. Студенты собирают и исследуют теоретический материал, подбирают практический материал (примеры с решениями). С помощью преподавателя или одного учащегося (выбранного группой) весь собранный материал оформляется в виде презентации.

В разработку проекта входит:

а) Подбор теоретического материала;

б) Подбор практического материала;

в) Оформление проектов.

План урока:

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

2. Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление изученного материала.

5. Подведение итогов и результатов урока.

6. Рефлексия.

7. Задание на дом.

Конспект урока

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация. Мотивация учебной деятельности

Приветствие, выявление отсутствующих, информирование о теме и целях занятия.

Мотивация учебной деятельности

В условиях экзамена наиболее высокие результаты показывают учащиеся, которые за отведенное время решают большее число задач. Многие задачи могут быть решены несколькими способами. Поэтому очень важно уметь для каждой задачи выбирать наиболее рациональный способ решения. Научиться этому можно только путем решения таких задач и последующего анализа проведенного решения.

2. Актуализация опорных знаний

Проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации.

Проверка домашнего задания

Определение иррационального уравнения

Уравнение, содержащее переменные (неизвестные) под знаком корня или дробной степени, принято называть иррациональным.

Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала.

Назовите иррациональные уравнения:

(да)

(нет)

(да)

(да)

(нет)

Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

3. Изучение нового материала

Основные методы решения иррациональных уравнений

Выступление 1 подгруппы

Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень

Теорема.

Если возвести обе части уравнения (1) в натуральную степень n, то уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство.

Если выполняется числовое равенство , то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если , равенство справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование .

В этом случае уравнение равносильно системе . В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени , так как оно было бы излишним в связи с равенством .

Для уравнения вида или

Пример 1.

Решение.

Ответ:

Пример 2.

Решение.

Решив квадратное уравнение получим

Ответ:

Пример 3.

Решение.

Проверка.

1=1 (корень)

2=-2 (посторонний корень)

Ответ: х=2

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида . При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 4.

Решение.

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ. ;

Выступление 2 подгруппы

Решение уравнений с использованием замены переменной

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 1.

, .

Решение.

Пусть , , тогда исходное уравнение примет вид:

Решим уравнение

Ответ: ;

Пример 2.

Решение.

Пусть , , тогда , а

не удовлетворяет условию

Проверка

2=2

2=2

Оба корня подходят.

Ответ. ;

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 3.

,

Решение.

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования:

Замена приводит уравнение к виду , корнями которого являются и .

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ. х=0

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 4.

Решение.

Пусть ,

Тогда, ,

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения

Имеем систему уравнений

Так как , то ,

Следовательно,

х=1

Ответ. х=1

Выступление 3 подгруппы

Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение

Теорема.

Уравнение определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений .

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 1.

Решение.

Ответ. ,

Пример 2.

Решение.

При уравнение принимает вид:

, которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ. ,

4. Закрепление изученного материала

Решение уравнений в подгруппах по 4 человека.

Студенты получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

Задания для работы в группах

Вариант 1

Решите уравнения, используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

а)

б)

в)

2. Выполни замену:

3. Разложи на множители:

4. Реши любым способом:

Вариант 2

Решите уравнения, используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

а)

б)

в)

2. Выполни замену:

3. Разложи на множители:

4. Реши любым способом:

После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по вариантам: 1, 3, 5 группа (1 вариант); 2, 4, 6 группа (2 вариант).

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки с занесением в оценочную таблицу. Преподаватель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия

Сообщения с презентациями, подготовленные студентами, были достаточны, грамотны, освещены типы, методы и особенности решения иррациональных уравнений, проведены теоретические обоснования к ним.

Решения уравнений различными способами, по мнению студентов, помогает восполнить пробелы, найти свой, понятный путь решения задачи, найти свою нишу для самовыражения.

Преподаватель предлагает ученикам высказать свое мнение, продолжив фразы:

- Сегодня на уроке ...

- Я повторил ...

- Теперь я знаю ...

- В результате исследовательской групповой работы я ...

Задание на дом:

Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Используемая литература:

П.В. Чулков Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2010. - 172 с.

А.Н. Колмогоров Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10-11 кл. - М., 2009. - 384 с.

«Алгебра и начала анализа» Учебник для 10-11 классов. Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др. 15-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 384 с.

Тест «Основные методы решения иррациональных уравнений»

Вариант 1

1. Найдите корни уравнения

1) 2 2) -6 3) 14 4) корней нет

2. Решите уравнение

1) -3 2) 4 3) 9 4) корней нет

3. Найдите корни уравнения

1) 0;10 2) 0;-9 3) 0 4) корней нет

4. Решите уравнение

1) -3 2) 3 3) 0;3 4) корней нет

5. Найдите корни уравнения

1) 5 2) -3;5 3) -5;3 4) корней нет

6. Решите уравнение

1) 0;-1 2) 0;-1 3) -1 4) корней нет

7. Найдите корни уравнения

1) 8 2) 3) 4) -8

8. Решите уравнение

1) -2 2) -2;-1 3) -1 4)

9. Найдите корни уравнения

1) -10; 2) -10;10 3) 4) -10;

10. Решите уравнение

1) -16;-2;0 2) -16 3) 0;-2 4) -16;-2

Вариант 2

1. Найдите корни уравнения

1) 5 2) 96 3) -6 4) корней нет

2. Решите уравнение

1) 1,5 2) 4 3) 2 4) корней нет

3. Найдите корни уравнения

1) 0 2) 0;9 3) 9 4) корней нет

4. Решите уравнение

1) -3 2) 3 3) 1 4) корней нет

5. Найдите корни уравнения

1) 5 2) -3;5 3) -5;3 4) корней нет

6. Решите уравнение

1) 0;3 2) 0;-3 3) корней нет 4) 3

7. Найдите корни уравнения

1) 15 2) 3) 4) корней нет

8. Решите уравнение

1) 36 2) 24; 36 3) 24 4)

9. Найдите корни уравнения

1) 11; 2) 11;-11 3) -11 4) -11;

10. Решите уравнение

1) -7 2) 0 3) -7;0 4) корней нет

Вариант 3

1. Найдите корни уравнения

1) 2) -5 3) 5 4) корней нет

2. Решите уравнение

1) 2) 3) 9 4) корней нет

3. Найдите корни уравнения

1) 0;-7 2) 0; -13 3) 0 4) корней нет

4. Решите уравнение

1) -3 2) 3 3) -3;3 4) корней нет

5. Найдите корни уравнения

1) 5 2) -3;5 3) -5;3 4) корней нет

6. Решите уравнение

1) 0,2 2) -0,2 3) -0,1 4) корней нет

7. Найдите корни уравнения

1) 19 2) 3) 4) -19

8. Решите уравнение

1) -10 2) -10;-9 3) -9 4)

9. Найдите корни уравнения

1) -12; 2) -12;12 3) 4) -12;

10. Решите уравнение

1) -15;-2;0 2) -15 3) 0;-2 4) -15;-2

Вариант 4

1. Найдите корни уравнения

1) 2) 3) 2 4) корней нет

2. Решите уравнение

1) 0,5 2) 4 3) -2 4) корней нет

3. Найдите корни уравнения

1) 0 2) 0;21 3) 21 4) корней нет

4. Решите уравнение

1) -1 2) 0 3) 1 4) корней нет

5. Найдите корни уравнения

1) 8 2) -3;8 3) -8;3 4) -3

6. Решите уравнение

1) -6 2) 3;-6 3) корней нет 4) 3

7. Найдите корни уравнения

1) 90 2) 3) 4) корней нет

8. Решите уравнение

1) 87 2) 27; 87 3) 27 4)

9. Найдите корни уравнения

1) 14; 2) 14;-14; 3) -14 4) -14;

10. Решите уравнение

1) -13 2) -3 3) -13;-3 4) корней нет

С тестами студенты справились успешно: «5» - 4 человека; «4» - 12 человек; «3» - 8 человек.

Студенты пользовались различными способами.

Практическая работа «Основные методы решения иррациональных уравнений»

Вариант 1

1. Найдите область определения функции:

2. Возведи обе части в степень:

3. Выполни замену:

4. Разложи на множители:

5. Реши любым способом:

Вариант 2

1. Найдите область определения функции:

2. Возведи обе части в степень:

3. Выполни замену:

4. Разложи на множители:

5. Реши любым способом:

С практической работой студенты справились так же успешно: «5» - 5 человек; «4» - 11 человек; «3» - 8 человек.

14