Программа элективного курса в 10 классе по алгебре «Повторение основных тем курса алгебры и начала анализа

государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная школа

«Образовательный центр» пос. Глушицкий муниципального района

Большечерниговский Самарской области

Утверждаю:

Директор ГБОУ СОШ «ОЦ»

пос. Глушицкий

_________ С.Г. Дьяченко

« 31 »08 2014г.

Программа

по элективному курсу

«Повторение основных тем курса алгебры и начала анализа»

для

10 класс

Составила программу Крюкова Надежда Николаевна

учитель математики ГБОУ СОШ «ОЦ» пос.Глушицкий

Программа рассмотрена на заседании школьного методического объединения

Протокол от «30» 08.2014г. № __1__

Руководитель _______________(Н.Н. Крюкова)

2014 год

Содержание

1.Пояснительная записка……………………………………….………………3

1.1 Актуальность и новизна программы……………………...… ….…………3

1.2. Отличительные особенности программы, принципы.…….………............4

1.3. Цель и задачи программы ………………………………………………….6

1.4. Основные участники реализации программы……………………

1.5 Сроки реализации программы ……......6

1.6. Нормативно-правовая и документальная основа………..….……………..6

1.7.Особенности возрастной группы, режим занятий………………………..7

1.8. Используемые формы организации процесса……………………………7

1.9. Ожидаемые результаты…………………………………………………….8

1.10. Формы контроля……………………………………………..9

1.11. Формы подведения итогов реализации программы……………………9

2. Календарно-тематическое планирование……………………………………10

3. Содержание образовательной деятельности по программе………..…….15

4. Методическое обеспечение………………………………………………….16

5. Список литературы ………………..…………………………………………17

6.Приложение:разработка урока №2……………………………………… 18

Пояснительная записка.

В основе построения данного курса лежит идея гуманизации математического образования, соответствующая современным представлениям о целях школьного образования и ставящая в центр внимания личность ученика, его интересы и способности. В основе методов и средств обучения лежит деятельностный подход. Курс позволяет обеспечить требуемый уровень подготовки школьников, предусматриваемый государственным стандартом математического образования, а также позволяет осуществлять при этом такую подготовку, которая является достаточной для углубленного изучения математики.

1.1 Актуальность и новизна программы

Данная программа курса сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна алгебра, кому она понадобится при учебе, подготовке

различного рода экзаменам, в частности, к ЕГЭ.

Предлагаемый элективный курс предназначен для развития математических способностей учащихся, для формирования элементов логической и алгоритмической грамотности, коммуникативных умений школьников с применением коллективных форм организации занятий и использованием современных средств обучения. Создание на занятиях ситуаций активного поиска, предоставление возможности сделать собственное «открытие», знакомство с оригинальными путями рассуждений, овладение навыками исследовательской деятельности позволят обучающимся реализовать свои возможности, приобрести уверенность в своих силах.

Содержание элективного курса направлено на воспитание интереса к предмету, развитию наблюдательности, умения анализировать, догадываться, рассуждать, доказывать, умения решать учебную задачу творчески. Содержание может быть использовано для показа учащимся возможностей применения тех знаний и умений, которыми они овладевают на уроках математики. Содержание учебного материала соответствует целям профильного образования.

Некоторые темы обладают новизной для учащихся, т. к. включают в себя материал, которому в базовой программе не уделяли должного внимания.

В базовом курсе например, уделяется внимание лишь основным трем способам решения систем уравнений: методу сложения, методу подстановки и методу исключения. Остальные же способы не упоминаются, хотя и они необходимы для продолжения изучения курса алгебры.

1.2 Отличительные особенности программы, принципы.

Программа преследует взаимосвязанные цели. С одной стороны, это создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой -восполнение содержательных пробелов основного курса. Ее освоение способствует интеллектуальному, творческому, эмоциональному развитию школьников.

Принципы, которые решают современные образовательные задачи с учётом запросов будущего:

1. Принцип деятельности включает ребёнка в учебно- познавательную деятельность. Самообучение называют деятельностным подходом.

2. Принцип целостного представления о мире в деятельностном подходе тесно связан с дидактическим принципом научности, но глубже по отношению к традиционной системе. Здесь речь идёт и о личностном отношении учащихся к полученным знаниям и умении применять их в своей практической деятельности.

3. Принцип непрерывности означает преемственность между всеми ступенями обучения на уровне методологии, содержания и методики.

4. Принцип минимакса заключается в следующем: учитель должен предложить ученику содержание образования по максимальному уровню, а ученик обязан усвоить это содержание по минимальному уровню.

5. Принцип психологической комфортности предполагает снятие по возможности всех стрессообразующих факторов учебного процесса, создание в классе и на уроке такой атмосферы, которая расковывает учеников, и, в которой они чувствуют себя уверенно. У учеников не должно быть никакого страха перед учителем, не должно быть подавления личности ребёнка.

6. Принцип вариативности предполагает развитие у детей вариативного мышления, т. е. понимания возможности различных вариантов решения задачи и умения осуществлять систематический перебор вариантов. Этот принцип снимает страх перед ошибкой, учит воспринимать неудачу не как трагедию, а как сигнал для её исправления.

7. Принцип творчества (креативности) предполагает максимальную ориентацию на творческое начало в учебной деятельности ученика, приобретение ими собственного опыта творческой деятельности.

8. Принцип системности. Развитие ребёнка - процесс, в котором взаимосвязаны и взаимозависимы все компоненты. Нельзя развивать лишь одну функцию. Необходима системная работа по развитию ребёнка.

9. Соответствие возрастным и индивидуальным особенностям.

10. Адекватность требований и нагрузок.

11. Постепенность.

12. Индивидуализация темпа работы.

13. Повторность материала.

Ценностными ориентирами содержания данного факультативного курса являются:

- формирование умения рассуждать, как компонента логической грамотности; освоение эвристических приемов рассуждений;

- формирование интеллектуальных умений, связанных с выбором стратегии решения, анализом ситуации, сопоставлением данных;

- развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся;

- формирование способностей наблюдать, сравнивать, обобщать, находить

простейшие закономерности, использовать догадку, строить и проверять

простейшие гипотезы;

- формирование пространственных представлений и пространственного воображения;

- привлечение учащихся к обмену информацией в ходе свободного общения на занятиях.

Способы общения детей друг с другом носит дискуссионный характер.

В работе с детьми будут использованы следующие методы:

- словесный,

- наглядный,

- практический,

- исследовательский.

Ведущим методом является исследовательский. Организаторами исследований могут, кроме учителя, становиться дети.

Для развития различных сторон мышления в программе предусмотрены разнообразные виды учебных действий, которые разбиты на три большие группы: репродуктивные, продуктивные (творческие) и контролирующие.

К репродуктивным относятся:

а) исполнительские учебные действия, которые предполагают выполнение заданий по образцу,

б) воспроизводящие учебные действия направлены на формирование вычислительных и графических навыков.

Ко второй группе относятся три вида учебных действий - это обобщающие мыслительные действия, осуществляемые детьми под руководством учителя при объяснении нового материала в связи с выполнением заданий аналитического, сравнительного и обобщающего характера.

Поисковые учебные действия, при применении которых дети осуществляют отдельные шаги самостоятельного поиска новых знаний.

Преобразующие учебные действия, связанные с преобразованием примеров и задач и направленные на формирование диалектических умственных действий.

Контролирующие учебные действия направлены на формирование навыков самоконтроля.

1.3. Цель и задачи программы

Цели:

1.Поддержка профильного уровня изучения математики, достижение

индивидуальных потребностей школьника.

2. Закрепление теоретических знаний; развитие практических навыков и умений.

3. Умение применять полученные навыки при решении нестандартных задач в других дисциплинах.

4. Создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации, полученных ранее знаний;

5.Подготовка к итоговой аттестации .

Задачи курса:

1.Углубление знаний, полученных ранее.

2.Систематизация и обобщение полученных знаний.

3.Как можно полнее развить потенциальные творческие способности

каждого слушателя элективного курса, не ограничивая заранее сверху

уровень сложности используемого материала.

4.Повышение уровня математической подготовки выпускников средней

школы.

5.Активизация познавательной деятельности.

1.4 Основные участники реализации программы:

-Программа адресована учащимся 10 классов с ориентацией на базовый профиль и рассчитана на 34 часа.

- Педагогический коллектив.

- Родители (законные представители) детей.

1.5 Сроки реализации программы.

Изложение материала рассчитано на год и предполагает обобщение и систематизацию полученной учащимися информации по ознакомлению с материалом по алгебре и началам анализа.

1.6. Нормативно-правовая и документальная основа

Программа по элективному курсу составлена на основании следующих нормативно-правовых документов:

1.Закон Российской Федерации от 17 декабря 2010г «Об образовании» ст. 7

2. Приказ Министерства образования Российской Федерации от 05.03.2004 №1089 «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования».

3. Приказ министерства образования и науки Самарской области от 04.04.2005 №55-од «Об утверждении федерального базисного учебного плана и примерных учебных планов для образовательных учреждений Самарской области, реализующих программы общего образования». Конституция РФ

4. Конвенция о правах ребенка

5. СанПин 2.4.1.2791 - 10 2010 г.

6.Учебный план ГБОУ СОШ «ОЦ» пос. Глушицкий на 2014-2015 учебный год.

1.7.Особенности возрастной группы, режим занятий.

Курс предназначен для повторения знаний, умений и подготовки к сдаче экзамена по математике. При изучении курса угроза перегрузок учащихся отсутствует, соотношение между объемом предлагаемого материала и временем, необходимым для его усвоения оптимально. Курс соответствует возрастным особенностям школьников и предусматривает индивидуальную работу. Программа не создает учебных перегрузок, т. к. не предусматривает обязательного выполнения домашних заданий. Программа применима для различных групп школьников.

1.8. Используемые формы организации процесса

Занятия организуются в форме уроков. Это уроки: лекция, практическая работа, беседы. В ходе изучения проводятся краткие теоретические опросы по знанию формул и основных понятий. Наряду с тренингом используется принцип беспрерывного повторения, что улучшает процесс запоминания и развивает потребность в творчестве. В ходе курса учащимся предлагаются различного типа сложности задачи. Процесс изучения содержания программного материала распределен во времени с учетом его достаточности для качественного изучения содержащихся в программе знаний. Содержание построено таким образом, что изучение всех последующих тем обеспечивается предыдущими или знаниями базовых курсов; между частными и общими знаниями прослеживаются связи.

Виды деятельности:

- творческие работы,

- логические задачи,

- упражнения на распознавание

- решение уравнений повышенной трудности,

- решение нестандартных задач,

- решение текстовых задач повышенной трудности различными способами,

- решение комбинаторных задач,

- задачи на проценты,

- решение задач на части повышенной трудности,

- задачи, связанные с формулами произведения

Для эффективной реализации курса необходимо использовать разнообразные формы, методы и приёмы обучения, делая особый упор на развитие самостоятельности, познавательного интереса и творческой активности учащихся. Для этой цели проводят уроки:

1. лекции;

2) уроки консультации;

3) самостоятельные работы;

4) зачеты;

5) итоговые контрольные работы.

1.9 Ожидаемые результаты

После изучения курса учащиеся должны:

-Уметь выполнять действия с числами:

выполнять арифметические действия с рациональными числами,находить значения степеней и корней, а также значения числовых выражений.

-Уметь выполнять алгебраические преобразования:

выполнять действия с многочленами и с алгебраическими дробями, применяя формулы сокращенного умножения, применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований выражений, содержащих корни.

-Уметь решать уравнения и неравенства, системы неравенств: линейные, квадратные, рациональные, дробно-рациональные, тригонометрические.

-Уметь выполнять действия с функциями: находить значения функции.

определять свойства функции по графику, описывать свойства функций используя понятие производной и первообразной, строить графики.

Распознавать геометрические и арифметические прогрессии, применять

формулы общих членов, суммы n членов арифметической и геометрической прогрессий.

-уметь решать различного рода и типа текстовые задачи.

-уметь находить производную и первообразную, применять данные понятия для исследования функции.

-уметь решать задачи с метопредметным смыслом.

- уметь использовать дополнительную математическую литературу.

Выполнение практических занятий имеет целью закрепить у учащихся теоретические знания и развить математические навыки и умения, необходимые в практической деятельности и повседневной жизни, и успешной сдачи экзамена по математике.

- освоить такие навыки как:

-работа в творческой группе

-работа с информацией

-решение поставленной проблемы

-выбор направления

-индивидуализация мышления.

1.10 Формы контроля

Методы контроля:

- Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется в результате выполнения учащимися самостоятельных работ, самооценке и взаимооценке, тестов.

Итоговый контроль - 2 диагностические работы в форме приближенной к итоговой аттестации, заданий с кратким и развёрнутым ответом.

-презентация.

1.11 Формы подведения итогов реализации программы

-Зачетное занятие может быть проведено открытым уроком, когда учащиеся защищают свои выполненные задания, домашней контрольной работой. Все зависит от уровня подготовленности класса и желания работать на уроке и дома.

2.Календарно тематическое планирование

Тема

Формы работы

Формы контроля

Количество часов

Теоретическая часть

Практическая часть

I Арифметика

Тема №1 Числа

13

1.Вводная лекция и тестирование.

Натуральные числа. Действия над натуральными числами. . Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК

Беседа-диалог

Практикум

Устная работа

2

2. Дроби. Действия с дробями Положительные и отрицательные числа. Действия с положительными и отрицательными числами..

Беседа

Практикум

Устная работа

1

3. Определение степени с натуральным и целым показателями. Свойства степени. Арифметический квадратный корень. Иррациональные числа. Действительные числа. Преобразование, выражений, содержащих корни.

Беседа

Практикум

тест

2

4. Процент. Задачи на проценты.

Беседа

Практикум

тест

2

5. Задачи практического содержания

Беседа

Практикум

тест

3

6. Различные текстовые задачи

Беседа

Практикум

тест

3

7. Задачи с метопредметной направленностью

Беседа

Практикум

тест

3

II Алгебра

Тема №2 Буквенные выражения

5

8. Допустимые значения выражения. Подстановка выражений вместо переменных.

Беседа

Практикум

тест

1

9. Преобразование алгебраических выражений.

Беседа

Практикум

Самостоятельная работа

1

10. Многочлен. Действия над многочленами. Формулы сокращенного умножения.

Работа с математической литературой

Практикум

тест

1

11. Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби. Сокращение алгебраических дробей.

Беседа

Практикум

тест

1

12. Действия с алгебраическими дробями.

Беседа

Практикум

Самостоятельная работа

1

Тема №3 Уравнения. Системы уравнений.

4

13. Уравнения с одной переменной. Корень уравнения. Линейное, квадратное уравнения.

Работа с учебником

Практикум

тест

1

14. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения с модулем.

Работа с учебником

Работа над алгоритмом решения

Практикум

Самостоятельная работа

1

15.Тригонометрические уравнения.

Лекция, беседа

Практикум

Самостоятельная работа

1

16. Уравнения с двумя переменными. Системы уравнений. Способы решений

презентация

Практикум

тест

1

Тема №4 Неравенства. Системы неравенств.

2

17.. Числовые неравенства. Свойства неравенств. Неравенство с одной переменной. Решение неравенств.

Работа с учебником

Практикум

Устная работа

1

18. Линейные, квадратные, тригонометрические неравенства. Системы неравенств.

Работа с учебником, беседа

Практикум

тест

1

Тема №5 Прогрессии

2

19. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула общего члена прогрессии.

беседа

Практикум

тест

1

20. Сумма n - членов арифметической и геометрической прогрессии

беседа

Практикум

Самостоятельная работа

1

Тема №6 Функции и графики

5

21 Функция. Способы задания функции . Область определения и значения функции.

лекция

Практикум

Устная работа

1

22. Возрастание и убывание функции. Промежутки знакопостоянства. График функции.

лекция

Практикум

тест

1

23. Производная функции, ее физический и геометрический смысл

беседа

Практикум

Практическая работа

1

24.Исследование функции с помощью производной

беседа

Практикум

Практическая работа

2

Итоговый тест

2

Открытый урок

1

Итого

34 часа

Основное содержание курса

1. Числа-13 часов.

Вводная лекция «Чем занимается алгебра». Предмет, изучению которого посвящен данным курсом. Исторические сведения. Связь с базовым курсом школьной математики. Организационные моменты о формах работы с элективным курсом. Входное тестирование: составляет учитель, ориентируясь на базовый курс алгебры и соответственно класс, в котором проводится тест (база 9-10 класс). Натуральные числа. Действия над натуральными числами. Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК. Дроби. Действия с дробями. Положительные и отрицательные числа. Действия с положительными и отрицательными числами. Определение степени с натуральным и целым показателями. Свойства степени. Арифметический квадратный корень. Иррациональные числа. Действительные числа. Преобразование, выражений, содержащих корни. Понятие процент. Задачи на проценты. Задачи практического содержания. Различные текстовые задачи. Задачи с метопредметной направленностью.

2. Алгебра-5 часов

Об эволюции понятия числа. Основные законы и формулы алгебры. Формулы сокращенного умножения, их применение в различных сферах деятельности человека. Историческая справка о развитии понятия числа (экскурс в историю математики). Допустимые значения выражения. Подстановка выражений вместо переменных. Преобразование алгебраических выражений. Многочлен. Действия над многочленами. Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби. Сокращение алгебраических дробей. Действия с алгебраическими дробями.

3. Уравнения. Системы уравнений.- 4 часа

Определение уравнения. Определение решения уравнения. Что значит решить уравнение. Виды уравнений. Классификация уравнений.

Алгоритм решения уравнения. Примеры задач, решение которых сводится к решению уравнений. Решение квадратных уравнений в мировой математике. Определение квадратного и дробно-рационального уравнения. Разновидности квадратных уравнений. Способы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений. Тригонометрические уравнения и их способы решения.

4.Неравенства. Системы неравенств. -2 часа

Определение и классификация неравенств. Алгоритм решения неравенств, неравенств, методом интервалов. Примеры задач, решение которых сводится к решению неравенств.

5.Прогрессия -2 часа

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула общего члена прогрессии. Сумма n - членов арифметической и геометрической прогрессии

6. Функции и графики- 5 часов Понятие функция. Способы задания функции. Область определения и значения функции. Обобщить понятие всех простейших функций; свойства функций и умение строить графики и читать функцию по графику. Возрастание и убывание функции. Промежутки знакопостоянства. График функции. Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Исследование функции с помощью производной

7.Итоговый тест 2 часа

8. Итоговый урок.

В зависимости от уровня подготовленности учащихся в конце элективного курса возможно провести открытый урок, урок защиты презентаций.

4. Методическое обеспечение

Для осуществления образовательного процесса по программе элективного курса необходимы следующие принадлежности:

• подборка видеофрагментов и презентаций;

• подборка печатных изданий и материалов СМИ, Интернет;

• компьютер, принтер, сканер, мультмедиа проектор;

• набор ЦОР по «Алгебре и началам анализа».

5.Список литературы

5.1.Основная.

1) «Алгебра и начала анализа 10 - 11». Автор Колмагоров . Москва «Просвещение», 2012 г.

2) Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10-11 классов. Авторы: М.И.Шабунин, М.В.Ткачева и другие. М: Мнемозина, 2006.

3) Алгебра и начала анализа 10-11 классы. Самостоятельные и контрольные работы. Авторы: А.П.Ершова, В.В.Голобородько. М: Илекса, 2005.

4) Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно - методические материалы по математике. - М.: Илекса, Ставрополь: Сервисшкола, 2006.

5) Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2014. 10-11 классы/ Под редакцией Ф. Ф. Лысенко. - Ростов-на-Дону: Легион, 2014.

6) Тестовые контрольные задания по алгебре и началам анализа./ Под редакцией Е. А. Семенко. - Краснодар: «Просвещение - Юг», 2005.

7).И.Ф.Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. М: Просвещение,1989 г.

8)А.П. Карп. Сборник задач для учащихся 8-9 классов средней школы. С-Пб: СМИО пресс, 2000г.

5.2.Дополнительная.

1) .Говоров В.М. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в ВУЗы. Оникс 21 век.2006 г.

2).Б.Г.Зив, В.А. Гольдин. Дидактические материалы. Алгебра и начала анализа 10 кл. ЧеРо-На-Неве. Иероглиф. С-Петербург, 2005 г.

5.3.Для учащихся.

1). Т.Н. Яковлева. Пособие для поступающих в ВУЗы по математике. М. «Наука» 1982г.

2). Справочное пособие для абитуриентов. 2001г. Под ред. Проф. В.В. Глухова. С-Пб: Изд-во СПбГТУ, 2000г.

З). Е.В. Подсыпанин, СП. Преображенский и др. Математика для поступающих в ВУЗы. СПб «Нестор» 2000г.

4).Дорофеев Г.В. Потапов М.К. и др. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. Дрофа.2007 г.

5).В.С.Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. Оникс.2007 г.

Урок2

Тема «Натуральные числа. Действия над натуральными числами. Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК

Цели урока:

• Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся о натуральных числах, действиях над натуральными числами, признаках делимости; простых и составных числах; нахождении НОД и НОК;

• Развивать творческую активность учащихся и способности;

• Совершенствовать знания, умения, навыки учащихся при работе с информационными технологиями.

Оборудование: ИНТЕРАКТИВНАЯ ДОСКА

ХОД УРОКА

1. Организационный моме

Сегодня на уроке мы повторим темы «Натуральные числа. Действия с ними», «Признаки делимости», «Простые и составные числа», «Взаимно-простые числа», будем раскладывать числа на простые множители, находить НОД и НОК.

2.Актуализация знаний

(фронтальная работа с классом)

Вопросы закрыты шторкой. Учитель открывает по одному вопросу, учащиеся отвечают на него.

1. Сформулируйте признаки делимости на 2,3,5, 10;

2. Простые числа;

3. Взаимно-простые числа;

4. Как найти НОД;

5. Как наити НОК.

3.Введение в тему(беседа-диалог)

Учитель

К арифметическим или рациональным действиям над числами относят
сложение ,
вычитание ,
умножение ,
деление (или ).

-

Учитель

Только два из этих действий - сложение и умножение - определены на множестве натуральных чисел .

Действительно, деление и вычитание не всегда возможны на множестве .
Например,
Разностью двух натуральных чисел и является , а это число не натуральное!

Какое это число?

-

Частным двух натуральных чисел и является , а это число не натуральное!

Как называются такие числа?

Значит натуральные числа вообще делить и отнимать нельзя?

Учитель

Обращаю твое внимание на некоторую тонкость:
действительно, операции вычитания и деления НЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ на множестве , но это вовсе не значит, что вычитать и делить натуральные числа нельзя.

( - число не натуральное).
НО ( - число натуральное).
Т.е. каждый раз мы с тобой брали разность и иногда выходили за пределы множества натуральных чисел (в примере выше мы получили целое число).

Определение

Определенной операцией называют операцию на некотором множестве, если ее выполнение НИКОГДА не выведет нас за пределы данного множества.

Учитель

Так, сложение и умножение двух натуральных чисел ВСЕГДА будет числом натуральным, сколько бы раз мы эти операции не выполняли (в какой бы последовательности мы их не комбинировали). .

Учитель

Из натуральных чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляют числовые выражения.

Сформулируйте порядок выполнения действий? (Порядок выполнения арифметических действий в числовом выражении следующий:
вначале выполняют действия в скобках;
внутри любых скобок или в выражении без скобок сначала действия умножения и деления;
потом сложения и вычитания. )

Учитель

Рассмотрим запись натуральных чисел в десятичной системе счисления, т.е. при помощи десяти цифр: , , , , , , , , , .

Имейте ввиду, что цифр всего (именно поэтому система счисления и называется десятичной), а чисел бесконечно много. Числа составляются из цифр.

И вообще, чтобы иметь дело с числами, необходимо прежде всего уметь называть и записывать их. Правильно это все сделать позволяет понятие системы счисления.

А что такое система счисления?

Определение

Системой счисления принято называть совокупность приемов наименования и обозначения (записи) чисел. Условные знаки, применяемые при обозначении чисел, обычно называют цифрами. В ряде систем счисления числа записывают как последовательности цифр. Например, , , .

Учитель

Цифры, при помощи которых записано натуральное число, при чтении справа налево указывают последовательно, сколько в данном числе содержится единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д.

Учитель

В общем случае систематическая запись натурального числа определяется при помощи цифр следующим образом.

Определение

Систематической записью натурального числа называют представление этого числа в виде суммы:
, где , причем .

- это символ принадлежности множеству. Например, , но . Вообще говоря, математики в фигурные скобки заключают элементы множества:
- одноэлементное множество, содержащее единичку.
- четырехэлементное множество, элементами которого являются, например, ваши оценки в дневнике.

Элементы в множестве можно указывать в произвольном порядке, поэтому .
- бесконечное множество (в данном случае - натуральный ряд).
{} = Ø - пустое множесто, т.е. такое множество, в котором нет элементов.
Т.о. множество - это неупорядоченный набор элементов.

Кто ввел это понятие ?

-

Учитель

Известный в мире математиков человек Георг Кантор.

Учитель

Давайте рассмотрим конкретный пример:

Пусть дано число .
Его систематическая запись следующая: .
.
- порядок числа - наибольшая степень десятки входящей в систематическую запись числа.
В данном случае , т.к. первое ненулевое число стоит при
Если бы (т.е. мы бы имели дело с числом ), то систематическую запись числа мы бы начали писать с сотен (с ), а не с тысяч.
Итак,
(правильная систематическая запись: порядок числа , )
(неправильная систематическая запись: ,)
(неправильная систематическая запись: , )
Таким образом, условие обеспечивает нам единственность систематической записи числа.

В математике строго доказывается, что всякое натуральное число может быть единственным образом представлено в виде систематической записи. Вместо громоздкой записи используют запись

Учитель

Черту сверху пишут для того, чтобы отличить эту запись от произведения чисел . Однако, ты можешь встретить в математической литературе запись (шесть факториал), что означает .

Доказать, что число делится на 33.

Решение:

Так как то a= , откуда следует, что a делится на 33.

Пример 2

Доказать, что число a=8n^2+10n+3 является составным при любом натуральном n .

Решение:

Число a является составным при любом натуральном n , поскольку a=8n^2+10n+3= (2n+1)(4n+3) , где числа 2n+1 и 4n+3 натуральные, большие единицы.

4.Решение заданий

Задание 1.

На интерактивной доске записаны числа: 336; 985; 873; 378; 560; 324; 981; 2298; 1130; 459; 675.

Из этих чисел выберите те которые :

Делятся на 2: 336;378; 560;324; 2298; 1130.
Делятся на 5: 985; 560;1130; 675.
Делятся на 10: 560; 1130.
Делятся на 3: 336; 873; 378; 324; 981; 2298; 459; 675.
Делятся на 9: 873; 378; 324; 981; 459; 675.

Задание 2.

На интерактивной доске записаны числа: 43; 393; 363; 21; 1; 125; 7; 673; 941; 459; 13.

Из этих чисел:
Выберите простые числа: 43; 7; 673; 941; 13.
Выберите составные числа: 393; 363; 21; 125; 459.
А число «1» к каким числам относится? (ни к каким)
Учащийся у доски выбирает простые и составные числа. С помощью выделения и карандаша переносит эти числа к простым и составным.
Все остальные выполняют в тетради.

Задание3.

На доске записано число 920.
Разложите это число на простые множители.

920
460
230
115
23

2
2
2
5
23

920 = 2 * 2 * 2 * 5 * 23

Все учащиеся выполняют задание в тетради. Разложите на простые множители число 2484 (на доске записано разложение этого числа на простые множители и закрыто шторкой).

2484 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 23

Учащиеся выполняют в тетради самостоятельно. Затем учитель открывает шторку, и учащиеся проверяют свое решение по доске.

Задание 4.

Найдите: НОД (48; 22) и НОД (11; 121)
Учащийся выполняет нахождение НОД у доски. Записывая решение на доске при помощи карандаша.
Все остальные учащиеся выполняют в тетради.
НОД (48;22) = 2 НОД (11; 121)

Задание 5.

ВЫПОЛНИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО

Найдите: НОК(88;66) и НОК(13;11)

5.Рефлексия

Какие темы мы с вами повторили на этом уроке?
- Что именно привлекло ваше внимание на данном уроке?

• Задание, где надо было выбрать числа, которые делятся на 2, 5, 10 3, 9 применяя признаки делимости;

• Задание, где надо было выбрать простые и составные числа;

• Задание, где надо разложить 920 на простые множители;

• Задание, где нужно найти НОД (48; 22) и НОД (11; 121)

• Задание, где нужно найти НОК(88;66) и НОК(13;11);

• За презентацию «О великих математиках»

6. Домашнее задание

1.Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число человек может быть в каждой команде? Сколько команд получится?

2.Ученица нашла НОК (33. 198) и получила 99. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как это он сделал?
3.
Убедитесь, что НОД (36,24) ^. НОК (36, 24) = 36 ^. 24