Методические материалы по теме Использование бесконечно малых и бесконечно больших величин при вычислении пределов

Использование бесконечно малых и бесконечно больших величин

при вычислении пределов.

Танабаш А. В., учитель математики УВК

«Общеобразовательная школа I-III ступеней № 12 -

многопрофильный лицей», г. Горловка

Донецкой обл.

Число a называется пределом последовательности , если для всякого сколь угодно малого положительного числа є найдется такое положительное число N, что | х_п -a| < є при п > N.

В этом случае записывают:

Число А называется пределом функции f(x) при х а, если для любого >0 найдется такое  >0, что | f(x)- A |< є при |x-a| < .

Записывают: = A.

Аналогично = A. если | f(x)- A |< є при |x| >N.

Условно записывают = , если |f(x)| >M при |x-a|<, где М - произвольное положительное число. В этом случае функция f(x) называется бесконечно
большой величиной при х  а.

Если = 0, то функция (х) называется бесконечно малой величиной при х  а.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

Если функция α(x) есть бесконечно малая величина при , то функция является бесконечно большой при . И обратно, если функция бесконечно большая при , то функция есть величина бесконечно малая при .

При вычислении пределов часто используют следующие отношения эквивалентностей:

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n  a₀xⁿ при n 

 при n 

Первый замечательный предел

и следствия из него:

sin (x)  (x), arcsin (x)  (x);

tg (x)  (x), arctg (x)  (x).

Второй замечательный предел

и следствия из него:

 (x), ln( 1+(x)) )  (x);

 (x)lna,  m(x).

где (x) - бесконечно малая величина;

(х) - бесконечно большая величина.

Примеры использования бесконечно малых и бесконечно больших величин

при вычислении пределов.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Примечание. При вычислении неопределённостей вида можно показать, что

0, если n < m,

, если n = m,

, если n > m,

т.е. предел отношения двух многочленов равен 0, отношению коэффициентов при старших степенях или , если показатель степени числителя n соответственно меньше, равен или больше показателя степени знаменателя m.