Рабочая программа элективного курса по алгебре «Функции. Графики и свойства» 9 класс

МБОУ Кутуликская средняя общеобразовательная школа

Рабочая программа элективного курса по алгебре

«Функции. Графики и свойства»

9 класс

Разработана

Геворгян И. Т.,

учителем математики высшей

квалификационной категории

Пояснительная записка

В жизни мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Эти зависимости наиболее полно отражаются с помощью графиков. В курсе школьной программы идёт изучение функциональных зависимостей одних величин от других, изучение свойств этих зависимостей. Но чаще всего эта тема раскрывается неполно в связи с нехваткой времени, отводимого на изучение темы. Количество отводимых часов не позволяет показать всё многообразие задач по этой теме, научить учащихся глубоко понимать и использовать свойства функций. Однако в тестах по итоговой аттестации 9 и 11 классов уделяется большое внимание проверке умений читать по графику свойства функций, использовать их при решении других заданий.

Данный курс составлен на основе программы элективного курса по математике «Графики улыбаются», опубликованной в сборнике «Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов», автор - составитель М.Е. Козина, издательство «Учитель», Волгоград, 2007 год. Он развивает систему ранее приобретённых программных знаний, расширяет и углубляет курс математики основной школы.

Цель программы - создание условий для обоснованного выбора профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в усвоении математического материала на основе расширения представлений о графиках основных функций.

Задачи:

- закрепление знаний учащихся о функциональных зависимостях, методах их задания и способах построения, свойствах основных функций;

- расширение представлений о видах функций и их свойствах: функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x;

- формирование умения «читать» графики, определять свойства функций.

Курс рассчитан на учащихся 9 классов. Продолжительность курса 8 часов. Включенный в программу материал представляет познавательный интерес для учащихся. Требования к усвоению курса. Учащиеся должны - знать метод геометрических преобразований. Учащиеся должны уметь - применять метод геометрических преобразований на примере графиков различных функций, строить графики, содержащие модуль. Программа предусматривает разные типы занятий: уроки-лекции, уроки-практикумы, урок-семинар. Контроль над усвоением содержания курса проводится в форме зачётных заданий (тестов) по отдельным темам и на итоговом занятии-семинаре.

В результате изучения курса учащиеся смогут получить новые знания о тригонометрических функциях и их свойствах, закрепить умения строить графики различных функций, определять их свойства, использовать геометрические преобразования при построении графиков различных функций (смещение вдоль осей координат, деформация графиков). Введение материала о тригонометрических функциях выполняется на основе знаний учащихся о функциях из курса геометрии 8 класса.

Учебный план

№

Наименование разделов

Кол-во часов

1

Различные виды функций, способы их задания, геометрические преобразования, их свойства (линейная, квадратичная, обратной пропорциональности)

4

2

Функции у=|х|, у=, у=х³, их свойства, преобразования графиков

4

3

Тригонометрические функции, построение и преобразования графиков, свойства

4

4

Графики кусочно-заданных функций

4

5

Итоговое занятие-семинар

1

Содержание программы

1.Различные виды функций, способы их задания, геометрические преобразования, их свойства (линейная, квадратичная, обратной пропорциональности).

Цель: актуализировать и закрепить знания учащихся по видам функций, способам их задания, геометрическим преобразованиям, свойствам отдельных функций. На первом занятии необходимо провести с учащимися беседу о целях и задачах курса, о важности материала для итоговой аттестации, как в основной, так и в средней школе; рассказать о структуре курса, объяснить, как получить зачёт. Систематизировать знания о способах задания функции (словесный, табличный, аналитический и графический), о видах функции, функциональной символике. При необходимости провести тестирование учащихся по проверке базовых знаний.

Работу учащихся можно организовать (при наличии времени) по отдельным группам: группа линейной функции, группа квадратичной функции, группа функции обратной пропорциональности. Так как материал учащимся знаком, можно организовать его обобщение с помощью детей: группы готовят материал по истории функции, применении её в жизни человека, о преобразовании графиков функции, на готовых примерах объясняют свойства (область определения, множество значений, возрастание, убывание функций, нули функции, чётность, нечётность, выпуклость, наименьшее и наибольшее значения, ограниченность). Учитель контролирует материал, который дают группы, задаёт провокационные вопросы и задания повышенного уровня сложности, проводит индивидуальное или групповое консультирование.

2. Функции у=|х|, у=, их свойства, преобразование графиков

Цель: закрепить и расширить знания учащихся о данных функциях, их свойствах и геометрических преобразованиях, научить применять их к построению более сложных графиков (с модулем и квадратным корнем).

В зависимости от времени проведения курса и знаний, имеющихся у учащихся (разные учебники имеют разное планирование материала), работу по этому блоку можно построить в виде лекции или беседы с последующей практической работой. Необходимо дать учащимся основные правила построения графиков функции с модулем: у=|f(x)|, y=f(|x|), y=|f(|x|)|, |y|=f(x), пояснить последовательность применения правил при выпол-нении построения. Можно дать понятие обратной функции на примере функций у=х² и у= и провести тест по усвоению данного материала.

3. Тригонометрические функции, построение и преобразования графиков, свойства

Цель: познакомить учащихся с построением графиков тригонометрических функций, геометрическими преобразованиями данных графиков, некоторыми свойствами функций.

Материал даётся в виде лекции, начиная с единичной окружности, на которой необходимо показать значение полуокружности, четверти и др. (π, 2π, π/2, π/3, π/4, π/6, 3π/2), дать понятие синуса как ординаты точки, а косинуса как абсциссы. Выполнить построение графиков в системе координат с пояснением расположения основных точек, необходимых для построения, дать понятие периода и показать его на графике. Геометрические преобразования начать с простого переноса осей плоскости на определённое количество клеток. После этого выяснить изменения в записи формул и соотнести их с записями формул других функций. Деформацию графиков рассмотреть через период функций: увеличение или уменьшение в зависимости от коэффициента. Функции у=tg x и у=ctg x изучаются позднее, так как имеют свои особенности. Необходимо ввести понятие асимптоты и обратить внимание на различия графиков. Свойства данных функций в полном объёме давать не следует, разобрать только основные.

4. Графики кусочно-заданных функций

Цель: закрепить умения строить графики кусочно-элементарных функций, понять необходимость их применения.

В данном блоке необходимо дать понятие кусочно-элементарной функции, выполнение условий согласования (разрыв в точках перехода), некоторые свойства, показать возможность рисовать с помощью этих графиков.

Учебно-тематическое планирование

№

Название темы

Кол-во часов

Виды деятельности

1

Различные виды функций, способы их задания, геометрические преобразования, их свойства

4

Беседа,

тестирование,

практикум (творческие отчёты групп)

1.1

Функциональная символика, виды функций, способы их задания.

1.2

Линейная, квадратичная функции, функция обратной пропорциональности

1.3

Геометрические преобразования графиков, свойства функций

2

Функции у=|х|, у=, их свойства, преобразования графиков

2

2.1

Построение графиков функций, содержащих модуль, на основе геометрических преобразований, свойства

1

Беседа, практикум

2.2

Построение и преобразование графиков функций, содержащих знак квадратного корня, свойства данной функции, определение обратной функции

1

Беседа, практикум, тестирование

3

Тригонометрические функции, построение и преобразование графиков, свойства

2

3.1

Функции у=sin x, y=cos x

Преобразования графиков, их основные свойства, деформация графиков

1

Лекция

Практикум

3.2

Функции y=tg x, y=ctg x

Преобразования графиков, их основные свойства, деформация графиков

1

Лекция

Практикум

4

Графики кусочно-заданных функций

2

4.1

Построение графиков кусочно-заданных функций, отдельные свойства

1

Беседа, практикум

4.2

Рисование с помощью графиков

1

Практикум

5

Итоговое занятие

1

Семинар

Дидактический материал

1 блок

1. Постройте графики функций в одной системе координат:

1. у=(3-х)/2 и у=0,5х+1,5 и сделайте вывод по взаимному расположению графиков;

2. у=(х-6)/3 и у=1/3х+4 и составьте ещё несколько формул подобного расположения графиков функций;

3. у=(х²-2х)/(12-6х), при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

4. у=(х²-5х+6)/2-х, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения.

5. у=6/х; у=6/х-1; у=6/х+1 и сделайте вывод о взаимном расположении графиков;

6. у=6/(х-1); у=6/(х+1); у=6/(х-1)+1; у=6/(х+1)-1 и составьте ещё несколько формул подобного расположения;

7. у=х², у=х²-3, у=х²+4, у=(х-3)², у=(х+4)², у=(х-3)²+4, определите известные вам свойства последней функции;

2. Определите:

1. область определения функции, заданной формулой: у=х/(х-1); у=1/х(х+4); у=6

2. чётная или нечётная функция f(х)=5х²-2; f(x)=8x³-2x; f(x)=(x-1)²+(x+1)²; f(x)=1/(x²-1); f(x)=1/(x⁷-x³)

3. промежутки возрастания и убывания функции у=5/(2х+1); у=3х²-4х+7;

4. ограничены ли функции у=3х-х²; у=2х-1; у=х²-4;

5. нули функции и промежутки знакопостоянства у=(х²-9х+14)/х.

2 блок

1. Постройте график функции и сделайте вывод о взаимном расположении графиков:

1. у=|х|; у=|х-3|; у=|х+3|; у=|х|-3; у=|х|+3; у=-3|х|; у=|х-3|+3;

2. у=|2х-3|; у=|3-х2|; у=|(|х|-3)2-2|; |у|=2х2-5;

3. у=; у=-3; у= у=3;

4. у=х³+4; у=-х³-2; у=(х-2)³; у=2(х-2)³+1

2. Исследуйте функцию:

1. у=; у=

2. у=х²-2|х|-3; у=|х²+2х-3|

3. у=-2х³+1; у=(х+1)³-2

3 блок

1. Постройте график функции:

1. у=sin x и выполните перемещение графика вдоль оси х на π/6 вправо и на 2 вверх; запишите данное преобразование формулой получившегося графика;

2. у=cos x, выполните сжатие графика вдоль оси х в 2 раза;

3. y=2sin x-3; определите период и промежутки знакопостоянства;

4. у=0,5cos (2x+π/4)-1, определите область определения и множество значений функции;

5. у=-sin х и у=-cos x определите свойства;

6. у=tg x и выполните перемещение графика вдоль оси х на π/3 вправо и на 1 вниз; запишите данное преобразование формулой;

7. у=ctg x, выполните перемещение вдоль оси х на π/6 влево и на 1 вверх;

8. у=tg(х+π/4)+2, определите область определения и нули функции;

9. у=ctg(х-π/3), определите множество значений функции, период.

4 блок

1. постройте график кусочной функции

8/х, при х≤-4,

(х+3)²+1, при -4<х≤-2,

|х|, при-2<х≤5,

(х-6)²+6, при 5<х≤8,

16/х, при х>8.

-х-1, при х<-1,

х+1, при -1≤х≤0,

-х+1, при 0<х<1,

х-1, при х≥1.

2-2х², если -1≤х≤1,

х-1, если х>1,

-х-1, если х<-1.

(х-2)/2, при х≤-2,

-2, при -2

(х-6), при х≥2.

(1-х)(х+3), если х≤1,

(х-1)(х+3), если х>1.

-|х|, если |х|≤2,

x²-6, если |х|>2.

4/х, если х≤-2,

х, если -2

х²-4х+4, если х>1.

x²-4х-1, если х≥4,

-х²+4х-1, если х<4.

2. задайте функции у=х+|х-2|-|х| и у=|х+1|+|х|-|х-2| в виде кусочно-линейной и постройте графики

3. выполните построение графиков функций в одной системе координат

у=0,2х²-6, при -4≤х≤7; у=0,5х²-3, при -2≤х≤3; у=-(х+1)²-7, при -2≤х≤0;

у=-(х-1)²-7, при 0≤х≤2; у=-(х+5)²-2, при -7≤х≤-4; у=(х+6)²-6, при -7≤х≤-4;

|х|=2, при -8≤у≤-5,7; у=7х/11-5/11, при -4≤х≤7.

Тесты

Тест №1.

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у=1/х-3; б) у=х-3; в) у=х²-3.

2. Область определения функции

а) х≥4; б) х≤4; в) х≥0.

3. Найдите значение функции у=1/(х-3)+1 при х=-2:

а) 0,8; б) 0; в) -2.

4. График функции у=4/х называется:

а) прямой; б) гипербола; в) парабола.

5. Какой из графиков параллелен прямой у=-х:

а) х-у=3; б) у=1-х; в) 2х-3у-1=0.

6. Каждый график соотнесите с соответствующей ему формулой:

а) у=2/х; б) у=2х; в) у=2-х²; г) y=2х+2

7. Найдите координаты точки пересечения графиков функций у=-4х-1 и у=2х+5:

а) (0;5) б) (1;7) в) (-1;3).

8. Функция у=6/х при х≥0:

а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.

9. Какому из графиков принадлежит точка М(-2;-4):

а) у=2x²; б) у=х³/2; в) у=6/х.

Тест №2

1. Угловой коэффициент линейной функции 3х-2у-4=0 равен:

а) 2/3; б) 3/2; в) -2/3; г) -3/2.

2. Найдите наибольшее значение линейной функции у=3-2х на отрезке [2;4]:

а) 11; б) 7; в) -5; г) -1.

3. Какая из перечисленных функций является ограниченной снизу:

а) у=-2х²-5х+3; б) у=3х²-1; в) у=-3х²+х+1; г) у=2/х+2.

4. Уравнение оси симметрии параболы у=2х²-7х+1 имеет вид:

а) х=4/7; б) х=7/4; в) х=-4/7; г) х=-7/4.

5. Найдите значения b, при которых парабола у= 2х²+bх+18 касается оси х. Для каждого значения b определите координаты точки касания.

6. Вычислите значение функции у=х/(х²-1) в точке х=2:

а) 3/2; б) 2/3; в) 2; г)2/5.

7. Прямая 3х+2у=с, где с - некоторое число, касается гиперболы у=6/х в точке с положительными координатами. Вычислите координаты точки касания.

Тест №3

1. Найдите недостающую координату точки Р(х;3), если она принадлежит графику функции у=/(-1):

а) 9/4; б) √2; в) 4/9; г) ½.

2. Найдите область определения функции у=:

а) (-1;+∞); б)[1;+∞); в) (-∞; 1]; г) (-∞;-1].

3. Исследуйте функцию у=х/|х| на чётность и ограниченность:

а) чётная и ограниченная; в) нечётная и ограниченная;

в) чётная и неограниченная; г) нечётная и неограниченная.

4. Найдите наибольшее значение функции у = -х³ на отрезке [-2;1]:

а) 6; б) 0; в) 1; г)8.

5. найдите область определения функции

а) (0; +∞); б) [0; +∞); в) (-∞; +∞); г) (-∞; 0) и (0; +∞).

6. Точка М(2; 4) принадлежит графику у=f(х). Отметьте соответствующие ей точки в результате преобразования этого графика.

Функции/точки

(2;4)

(-2; 4)

(2; -4)

(-2; -4)

у=|f(x)|

у=f(|x|)

|y|=f(x)

y=|f(|x|)|

|y|=f(|x|)

|y|=|f(x)|

Тест №4

1. Найдите область определения функции у = (3х-7)/cos x:

а) (-∞;+∞); б) (-∞;0) и (0;+∞); в) х≠π/2+πk; г) х≠πk

2. найти множество значений функции у=-2sin 5x:

а) [-10; 10]; б) [-5; 5]; в) [-2; 2]; г) [-2; 0]

3. Выполните построение графика функции у=3sin(х/2)-2.

4. Завершите запись формулы у=…tg x так, чтобы получившаяся функция оказалась чётной.

5. Выполните построение графика гармонического колебания у= 0,5sin2(х+π/3).

6. Постройте график функции у=2cosх+1. По графику найдите промежутки возрастания и убывания функции.

Задания для семинара

1. Прямая у=-2х+2 пересекает прямую у=х и ось абсцисс в точках А и В соответственно. Найдите площадь треугольника АВО, где О - начало координат.

4/х, если х≤ -2,

х, если -2<х≤1,

x²-4х+4, если х>1.

2. Прямая проходит через точку (0;3) и касается гиперболы у=3/х. В какой точке эта прямая пересекает ось абсцисс.

3. Установите истинность высказываний:

2. множество значений функции у=|х|-2 является промежуток [-2; +∞)

3. функция у=3х⁴+5/х²-8|х| - чётная

4. функция у=1/х³ - ограниченная

5. функция у=18/х убывает на промежутке(-∞; 0) и на промежутке (0;+∞)

6. функция у=х²-7х+10 имеет нули х=2, х=5

7. функция у=-8/х возрастает на промежутке (0;+∞)

8. период функции у=sin x равен 2π

4. Найдите наибольшее значение функции у=-х+4+1. При каком значении аргумента оно достигается.

5. Постройте график функции у=|х²-2х-3|. Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая у=m.

Требования к усвоению курса

Учащиеся должны знать:

- метод геометрических преобразований.

Учащиеся должны уметь:

-применять метод геометрических преобразований на примере различных графиков функций;

-строить графики, содержащие модуль;

-строить графики тригонометрических функций

Литература

1. Маркова В.И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] / В. И.Маркова.-Киров: КИПК и ПРО, 2006

2. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: Учеб.-метод. Пособие / А.Г. Мордкович.-2-е изд., доп. и перераб.- М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005

3. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.- 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1992

4. Егерев В.К., Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций / Издательство «Высшая школа» Москва-1967

5.Алгебра: сб. заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. / [Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.].- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2008

6. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Вып. 2 / авт.-сост. М.Е. Козина. - Волгоград: Учитель, 2007