Конспект урока по теме: Числовые последовательности

Конспект урока алгебры для 9 класса по теме «Числовые последовательности»

Жеребцова Елена Николаевна, учитель математики
МБОУ Наримановского района «СОШ № 10»

УМК «Алгебра. 9 класс» Г. К. Муравина, О. В. Муравиной

Тип урока: урок обобщающего повторения и систематизации знаний.

Цели:

повторить формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессии, использовать полученные теоретические знания для решения задач,

развивать интерес к предмету,

расширить кругозор учащихся посредством заслушивания исторических сведений о прогрессиях, подготовленных их одноклассниками,

осуществить контроль знаний с помощью тестов в форме ГИА.

Ход урока

I. Организационный момент.

СЛАЙД 1

- Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем те знания, которые получили во время изучения темы «Числовые последовательности» и покажем необходимость изучения ее для решения задач практического содержания.

СЛАЙД 2

Эпиграф урока.

Закончился XX век.

Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звёзд и вся Земля.

Но математиков зовёт

Известный лозунг:

"Прогрессио - движение вперёд".

2. Актуализация знаний.

1) Повторить определения прогрессий.

2) Математический диктант:

Учитель проговаривает один раз, а учащиеся пишут на листочках (двое с обратной стороны доски)

Вопросы:

1. У геометрической прогрессии первый член 8(9), второй 4(3). Найдите знаменатель q.

2. У геометрической прогрессии первый член 9(8), второй 3(4). Найдите третий член.

3. Найдите 4-й (6-й) член геометрической прогрессии, если ее первый член равен 1, а знаменатель q равен - 2.

4. Является ли последовательность четных (нечетных) чисел геометрической прогрессией?

5. У арифметической прогрессии первый член 4 (6), второй 6 (4). Найдите разность d.

6. У арифметической прогрессии первый член 6 (4), второй 4 (6). Найдите третий член.

7. Найдите десятый (восьмой) член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность d равна 4.

Листочки с каждого ряда собирает дежурный помощник. Выполняем проверку.

СЛАЙД 3,4

3. Проверка домашнего задания.

Сообщаются краткие исторические сведения, приготовленные учащимися.

Последовательности (сообщение)

Совет: «Слушайте внимательно, это интересно!»

СЛАЙД 5

1. Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперед» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI вв.). Названия «арифметическая» и « геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметической и геометрической прогрессий. Первые из дошедших до нас задачи на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т. д. В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определенного участка земли и др.

СЛАЙД 6

2. Прогрессии известны издавна, а потому нельзя сказать, кто их открыл. Ведь и натуральный ряд - это арифметическая прогрессия. Во время раскопок в Египте был найден папирус, который датируется 2000 г. до н. э., но и его содержание было переписано из другого, еще более раннего, отнесенного к ІІІ тысячелетию до н. э. Ученые расшифровали текст папируса, содержание некоторых задач дает возможность отнести их к задачам на прогрессии.

СЛАЙД 7

3. Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777-1855 гг.), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1 + 100; 2 + 99 и т. д. равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

СЛАЙД 8
4. Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в III веке).

5. По записи на одной клинописной табличке можно заключить, что, наблюдая Луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые 5 дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.

6. Издавна большой популярностью пользуется следующая задача-легенда, которая, как полагают, относится к началу нашей эры: Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую - 2 зерна, за третью - 4 зерна и т. д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты.

СЛАЙДЫ 9, 10, 11

В этой задаче речь идет о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, …
Ее сумма равна 2⁶⁴ - 1 = 18 444 744 073 709 551 615 (18 квинтиллионов 444 квадриллиона 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615). Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше всей поверхности Земли.

СЛАЙД

4. Решение задач на закрепление:

Задачи из папируса Райнда

СЛАЙД 12

Папирус Ахмеса (древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см.) был обнаружен в 1858 г. и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть - в Нью-Йорке.

Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней.

СЛАЙД 13

1. Задача

«У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение задачи выполняется в тетрадях и на доске.

Людей всего 7, кошек 7² = 49, они съедают 7³ = 343 мыши, которые съедают всего 7⁴ = 2401 колосьев, из них вырастает 7⁵ = 16807 мер ячменя. В сумме эти числа дают 19 607.

СЛАЙД 14

2. Задача

Курс воздушных ванн начинает с 15 минут в первый день, и время этой процедуры увеличивают в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч. 45 мин.? Ответ: 10 дней

СЛАЙД 15

3.Задача

Как известно из медицинской статистики, одна выкуренная сигарета сокращает жизнь человека на 10 минут. Вычислите, сколько сигарет в среднем сократят жизнь человека на 1 день. (144 сигареты).

СЛАЙД 16

5. Индивидуальная работа.

В этом году вы сдаёте свой экзамен по алгебре в форме тестов ЕГЭ. Следующий тест позволит проверить вашу готовность к нему по теме "Прогрессии". (Текст теста по вариантам).

Тест «Последовательности»

Вариант 1.

1. (а_n ) - арифметическая прогрессия, а₁ = 15, d = - 0,3. Найди а₅.

1) 13,8; 2) 138; 3) -138; 4) 16,2; 5) -16,2.

2. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 9; 27;…. Найди b₁.

1) - 9; 2) 1; 3) 1/3; 4) 1/9; 5) - 1.

3. (b_n) - геометрическая прогрессия. Найди b₅ , если b₁ = 9; q = 1/3.

1) - 1/9; 2) 1,3; 3) 1/9; 4)12,5; 5) - 1,25.

4. Последовательность задана формулой с_n= - 3n² + 7. Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 8; 2) 6; 3) 4; 4) 9; 5) 12.

5. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 13; 10; 7; 4;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) -3; 2) -1; 3) 3; 4) -2; 5) 2.

Вариант 2.

1. (а_n ) - арифметическая прогрессия, а₁ = 10, d = - 0,1. Найди а₄.

1) 9,7; 2) 97; 3) -9,7; 4) 10,3; 5) -10,3.

2. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 4; 8;…. Найди b₁.

1) - 4; 2) 1; 3) 1/4; 4) 1/8; 5) - 1.

3. (b_n) - геометрическая прогрессия. Найди b₆ , если b₁ = 4; q = 1/2 .

1) - 1/8; 2) 1,25; 3) 1/8; 4)12,5; 5) - 1,25.

4. Геометрическая прогрессия задана условиями: b₁= 3,

b_n+1 = 3b_n. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 6; 2) 12; 3) 24; 4) 27; 5) - 24.

5. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них - арифметическая прогрессия. Укажите её.

1) 1; 1/3; 1/6; 1/9

2) 1; 5; 9; 13

3) 1; 3; 9; 27

4) 1; 3; 4; 6

Решается тест в тетради, записывается в тетради номер ответа, тесты сдаются и выполняется проверка по коду.

СЛАЙД 17

Код ответа

Вариант 1. (12334)

Вариант 2. (12342)

СЛАЙД 18

6. Домашнее задание - п .27, № 380(1(а); 2(а)), № 374.

7. Подведение итогов.

Итак, сегодня мы в нестандартных заданиях обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, поработали с формулами, встретились с занимательной математикой, услышали исторические факты, решили задачу и написали тест.

- Что на уроке понравилось?
- Что не удалось?
- Где в жизни могут пригодиться знания по данной теме?
- Спасибо за урок!

СЛАЙД 19

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут.

8. Выставление оценок.

За математический диктант и работу с тестом каждый учащийся получает отметки в журнал. Дополнительные отметки получают те, кто был активен на уроке.

СЛАЙД 20