• Преподавателю
  • Математика
  • Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи»

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи»

  Занятие кружка проводилось в 10 классе. Использовались каркасные модели куба, с помощью ниток, проволоки и пластелина моделировались задачи. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми - это не самая легкая тема, поэтому решение задачи различными способами способствовало лучшему усвоению темы. Способы решения:  1) Метод нахождения длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. 2) Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей ч...
Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:
Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».
  1. Занятие кружка в 11 «А» классе.

Тема: «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью

способами на примере решения одной задачи».

Цель: 1) Рассмотреть 5 способов решения классической задачи на нахождение расстояния между диагоналями соседних граней единичного куба.

2) Развитие навыка у учащихся подходить к решению задач с разных точек зрения.

3) Снять неуверенность учащихся при решении стереометрических задач.

4) прививать интерес к математике.

5) Готовить учащихся к ЕГЭ по математике.

Ход занятия.

Задача. Найти расстояние между диагоналями А1С1 и АD1 в единичном кубе.

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

1-й способ: Метод нахождения длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

Пусть РЕ - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых А1С1 и АD1. Проведем

ЕN Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». А1D1, РК Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». А1D1. Тогда РN - проекция наклонной РЕ на пл. А1В1С1, по теореме о трех перпендикулярах РN Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». А1С1. КЕ - проекция наклонной РЕ на пл. А1D1D, аналогично

КЕ Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». АD1.

Рассмотрим отдельно развертку граней. Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». А1КР равнобедренный, Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». А1РК = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». КРN =

= Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». РNК = 45Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».. Тогда Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». РКN - равнобедренный, А1К = КN. Аналогично из нижнего рисунка ND1 = KN, отсюда следует, что А1К = КN = ND1= Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

Найдем РN из треугольника КРN: РN = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

Из треугольника РNЕ РЕ = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». Ответ: Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

2-й способ: Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

Проведем ВС1 Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». АD1, АD1 Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». ВС1, ВС1Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».пл.А1ВС1 Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». АD1 Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». пл.А1ВС1. Найдем расстояние от прямой АD1 до этой плоскости, например, от точки D1 до этой плоскости. У нас получилась пирамида D1А1ВС1. Ее объем можно найти двумя способами.

V = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». , если за основание принять Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». 1С1В, h - искомое расстояние.

V = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». ВВ1, где ВВ1 - высота, проведенная к основанию А1ВС1.

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».ВВ1, откуда h = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». Ответ: Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

3-й способ: Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через данные скрещивающиеся прямые.

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

Проведем С1В Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». D1А и АС Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». А1С1, тогда пл. А1С1В Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». пл. АD1С, т. к. две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум пересекающимся прямым другой плоскости. Найдем расстояние между этими параллельными плоскостями, оно и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Проведем диагональ В1D, она перпендикулярна нашим плоскостям и пересекает их в точках М и К. Эти точки делят диагональ В1D на 3 равные части. Это видно на отдельном рисунке (теорема Фалеса).

Расстояние между плоскостями - длина отрезка МК. МК = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». В1D = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

Ответ: Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». .

4-й способ: Метод «экрана». Нахождение расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость (так называемый «экран») до проекции другой прямой на ту же самую плоскость.

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

В качестве «экрана» возьмем плоскость В1D1D (на рисунке - синяя).

Проекцией прямой А1О1 на эту плоскость будет точка О1, проекцией прямой АD1 будет прямая ОD1. Найдем расстояние от точки О1 в плоскости DВВ1 до прямой ОD1, т. е. отрезок О1Н.

ОD1 = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». По свойсвам пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». ; Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». ;

Из треугольника О1НD1 по теореме Пифагора находим О1Н = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

Ответ: Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». .

5-й способ: Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью координат.

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

Введем систему координат, выбрав за начало координат точку В, ось абсцисс направим по лучу ВА, ось ординат - по лучу ВС, ось аппликат - по лучу ВВ1. За единичный отрезок выберем длину стороны куба.

Проведем ВС1 Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». АD1, ВС1Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».пл.А1ВС1 Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». АD1 Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». пл. А1ВС1. Найдем расстояние от прямой АD1 до этой плоскости, например, от точки А до этой плоскости.

А(1; 0; 0).

Запишем уравнение плоскости А1ВС1 (назовем ее Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». в общем виде: Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

А1(1; 0; 1); С1(0; 1; 1); В(0; 0; 0). Все точки принадлежат искомой плоскости, значит, их координаты удовлетворяют уравнению плоскости, подставим их, при этом d = 0, т. к. плоскость проходит через начало координат.

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».Подставляем эти коэффициенты в уравнение.

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи»., разделим обе части на сЗанятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи»..

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи»., т. е. Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».= Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». , где А(х0; y0; z0).

Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи».= Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». = Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». Ответ: Занятие кружка в 10 классе на тему «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми пятью способами на примере решения одной задачи». .

Подведение итогов.

© 2010-2022