Пособие по подготовке к итоговой аттестации

Решение текстовых задач

(пособие по подготовке к итоговой аттестации для учащихся 11 классов)

ВВЕДЕНИЕ

Пособие предназначено для старшеклассников общеобразовательных школ, которым предстоит сдача экзаменов в форме ЕНТ. В пособии содержатся задания разного уровня по теме «Текстовые задачи». Для многих заданий дан образец решения или алгоритм, прилагаются ответы. Данное пособие носит обучающий и контролирующий характер.

Цель данного пособия заключается в том, чтобы дать возможность учащимся потренироваться в выполнении заданий, обеспечивающих прочное усвоение основных приемов решения текстовых задач, которые включаются в ЕНТ. В пособии представлена электронная обработка материалов пособий по подготовке к ЕНТ.

Учитель может использовать это пособие, как раздаточный дидактический материал с целью проверки знаний учащихся и сформированности у них навыков решения задач.

При решении текстовых задач какая-либо зубрёжка просто бессмысленна, всё зависит от умения решать такие задачи. Как правило, получается так, что либо задача решается, либо дело не доходит даже до составления уравнений. Предложить здесь какие-либо конкретные рекомендации трудно: надо внимательно читать и осмысливать условия задачи, не пропуская ничего из того, что задано. И, разумеется, больше тренироваться в решении таких задач.

Желаю удачи, как коллегам, так и их ученикам.

Оглавление.

Задачи на работу.

1. При решении задач на работу следует помнить основную формулу работы:

(1),

где - объем работы.

- производительность (объем работы в единицу времени).

- затраченное время.

2. Из формулы (1) следует, что

и .

3. Если в условии задачи фигурирует объем работы как именованная величина, то удобным бывает за неизвестные принять производительность каждого участника работы, а при составлении уравнений использовать условия о затраченном на работу времени (или наоборот).

4. В случае, когда объем работы явно не обозначен, его удобно принять за 1. Далее ввести неизвестные, например, обозначающие время, затраченное каждым участником на самостоятельное выполнение всей работы, затем выразить их производительности и составить уравнение или систему уравнений по условию задачи. После нахождения значений неизвестных ответить на главные вопросы задачи.

Задача 1.

Некоторое количество деталей должно быть изготовлено с использованием станков трёх разных конструкций. Если для работы использовать только первый и второй станки, она будет выполнена за 72 часа, если первый и третий - за 63 часа, а если второй и третий - за 56 часов. За какое время будет выполнено задание, если используются все три станка?

Решение:

Пусть на выполнение работы каждому из трёх станков требуется соответственно t₁, t₂, t₃ часа. Тогда за 1 час на каждом из станков будет выполнено соответственно 1/t_1, 1/t₂,1/t₃ от всей работы. Поэтому в ситуации, когда работают первый и второй станки, за один час выполняется 1/t₁+1/t₂=1/72. Аналогично составляются два других уравнения: 1/t₁+1/t₃=1/63, 1/t₂+1/t₃=1/56. При совместной работе всех трёх станков за час выполняется 1/t₁+1/t₂+1/t₃от всей работы. Для того, чтобы найти эту величину, необязательно находить все три неизвестные величины, достаточно сложить три полученных уравнения. Получим: 2(1/t₁+1/t₂+1/t₃)=1/72+1/63+1/56=1/21.

Поэтому 1/t₁+1/t₂+1/t₃=1/42, т.е. за час совместной работы всех трёх станков делается 1/42 часть всей работы, а поэтому вся работа будет выполнена за 42 часа.

Ответ: за 42 часа.

Задача 2. Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на 70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?

Решение:

Пусть за х месяцев было предусмотрено выполнение планового задания. Тогда за (х-1) месяцев было выпущено 6030 насосов.

В месяц по плану предприятия планировало выпускать 6000/х насосов, а фактически выпустило в месяц насосов.

Из условия задачи следует уравнение:

=70.

Решая уравнение, получим , ₂= -(не удовлетворяет условию задачи).

Ответ:10 месяцев.

Задача 3. Бригада рабочих должна была по плану изготовить 250 деталей к определенному сроку. Изготовляя в день на 5 деталей сверх нормы, бригада уже за один день до срока изготовила 270 деталей. За сколько дней бригада изготовила 270 деталей?

Решение. Обозначим за - производительность бригады в день по плану, тогда - новая производительность. Тогда - должна была работать бригада по плану, - работала она фактически. По условию задачи значение выражения меньше значения выражения на 1.

Составим и решим уравнение:

, где

- не удовлетворяют условию

Итак, - производительность бригады по плану, - производительность бригады сверх нормы.

- работала бригада по изготовлению 270 деталей.

Ответ. 9 дней.

Задача 4. Первый рабочий изготовил 60 деталей на 3 часа быстрее второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая вместе, они изготовят за 1 час 30 деталей?

Решение. Пусть - требуется первому рабочему для изготовления 60 деталей, тогда второму для этого требуется .

; (дет.) - производительность в час 1-го и 2-го рабочего соответственно.

По условию задачи сказано, что за час они вместе изготавливают 30 деталей, значит,

или

, - не удовлетворяет условию задачи.

Итак, 3 часа потребуется 1-му рабочему, 6 часов - второму для изготовления 60 деталей, значит, производительность 2-го десять деталей в час и для изготовления 90 деталей ему потребуется .

Примечание. Ответить на вопрос можно было проще, умножив 6 на 1,5, так как .

Ответ. 9 часов.

Задача 5. Двое рабочих выполнили некоторую работу за 12 часов. Если бы сначала первый сделал половину работы, а затем второй остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 часов. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый в отдельности?

Решение. Пусть 1 - объем работы и выполнить ее 1-й и 2-й рабочий могут за и часов соответственно, тогда их производительности равны и .

За 12 часов оба рабочих выполняют объем работы , что по условию равно 1, получим уравнение:

.

Первый рабочий выполнил работы за время, равное , второй оставшуюся часть выполнил за время, равное .

По условию задачи затраченное время составило 25 часов.

Получим второе уравнение или (2).

Решим систему уравнений .

,

, .

Итак, 20 и 30 часов необходимо каждому из рабочих на выполнение всей работы.

Ответ. 20 и 30 часов.

Задача 6. Двое рабочих, из которых второй начинает работать на 1,5 дня позже первого, могут выполнить работу за 7 дней. Если бы эту работу выполнял каждый отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый из них отдельно выполнит эту работу?

Решение. Обозначим за - количество дней, необходимых второму рабочему для выполнения всей работы, тогда первому потребуется дня. Их производительности соответственно будут равны и .

Первый работал по условию задачи 7 дней, значит, выполнил объем работы , а второй работал 5,5 дней, и его объем работы составляет .

В результате выполнена вся работа, значит, справедливо равенство .

Решив это уравнение, получим, что .

Итак, 11 дней потребовалось 2-му рабочему, 14 дней потребовалось 1-му рабочему для выполнения всей работы.

Ответ. 11 дней, 14 дней.

Задача 7. Резервуар снабжается водой по 5 трубам. Первая труба наполняет резервуар водой за 40 минут; вторая, третья и четвертая, работая одновременно, за 10 минут; вторая, третья и пятая за 20 минут и, наконец, четвертая и пятая за 30 минут. За сколько времени наполняют резервуар все 5 труб, работая вместе?

Решение. Пусть 1 - объем работы, тогда за 1 минуту 1 труба наполняет часть, вторая - , третья - , четвертая - , пятая - часть резервуара, где , , , - время заполнения его второй, третьей, четвертой и пятой трубами соответственно.

По условию задачи

Получим систему 3-х уравнений с 4 неизвестными, что может вызвать недоумение. На самом деле, с помощью нее нетрудно ответить на главный вопрос задачи, заметив, что нам надо найти время , за которое все трубы заполнят резервуар, т. е. должно выполняться равенство:

Видно, что для нахождения значения , необходимо найти значение суммы .

Для этого преобразуем систему (*) к виду:

.

Сложив почленно 3 уравнения, получим:

.

Откуда и , и следовательно, .

Ответ. Потребуется минут для заполнения резервуара.

8. Бригада рабочих должна была изготовить 8000 одинаковых деталей в определенный срок. Фактически эта была окончена на 8 дней раньше срока, так как бригада делала ежедневно на 50 деталей больше, чем было намечено по плану. В какой срок должна была быть окончена работа? Ответ:40 дней

9. На вагоноремонтном заводе в определенный срок должно было отремонтировано 330 вагонов. Перевыполняя план ремонта в среднем на 3 вагона в неделю, на заводе уже за две недели до срока отремонтировали 297 вагонов. Сколько вагонов в неделю ремонтировали на заводе? Ответ:33 вагона.

10. Два ученика должны были обработать по 120 болтов за определённое время. Один из них выполнил задание на 5 часов раньше срока, так как обрабатывал в час на 2 болта больше другого. Сколько болтов в час обрабатывал каждый ученик? Ответ:6; 8 болтов

11. По плану кооператив должен засевать по 40 га в день. Однако кооператоры засевали каждый день на 30% больше плана, а по этому засеяли на 2 дня раньше срока, причём засеяли на 4 га больше, чем предусмотрено планом. Сколько га засеял кооператив? Ответ:364 га.

12. Две бригады рабочих должны были изготовить к некоторому сроку по 240 деталей. Первая бригада, изготовляя в день на 8 деталей больше, чем вторая бригада, выполнила задание за 3 дня до срока, опередив вторую бригаду на 1 день. Каков был срок выполнения работы? Ответ: 8 дней.

13. На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 40 деревьев больше, чем вторая, и посадила 270 деревьев. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой и посадила 250 деревьев. Сколько дней работала каждая бригада? Ответ:3 и 5 дней

14. Бригада рабочих должна была сделать за смену 7200 деталей, причём каждый рабочий должен сделать одинаковое количество деталей. Однако в бригаде заболело трое рабочих, и поэтому для выполнения нормы каждому рабочему пришлось сделать на 400 деталей больше. Сколько рабочих было в бригаде? Ответ:9 чел.

15. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за несколько дней 216 древесины. Первые 3 дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготовляла 8 сверх плана, поэтому за день до срока было заготовлено 232 древесины. Сколько кубических метров древесины в день должна была заготавливать бригада по плану? Ответ:24 м³

16. Бригада рабочих должна была в определённый срок изготовить 272 детали. Через 10 дней после начала работы бригада стала перевыполнять дневную норму на 4 детали и уже за один день до срока изготовила 280 деталей. Сколько деталей изготовит бригада к сроку? Ответ: 300дет.

17.Заводу было поручено изготовить 800 деталей к определённому сроку. Работая точно по графику, завод изготовил 25% заказа, а затем стал изготовлять ежедневно по 100 деталей сверх дневного задания и выполнил заказ за 2 дня до срока. Сколько дней понадобилось заводу для выполнения заказа? Ответ:14 дней.

1. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу за 6 часов. За какое время может разгрузить баржу каждый кран, работая отдельно, если один из них может разгрузить ее на 5 часов скорее, чем другой?

Образец решения: А=N*t

Так как N_I+N₂=N_совм, составим уравнение

,

Ответ: 10 ч; 15 ч.

2. Первый контролер тратит на проверку партии изделий 30 мин больше, чем второй. Если бы они работали вмести, то проверили бы партии за 6/7 часа. За сколько времени проверит партию каждый контролер в отдельности? Ответ: 2ч.; 1,5ч.

3. Чан наполняется двумя кранами А и В. Наполнение чана только через кран А длится на 22 мин дольше, чем через кран В. Если же открыты оба крана, то чан наполняется за один час. За какой промежуток времени каждый кран отдельно может наполнить чан? Ответ:

4. Два грузовика, работая вместе, перевозили зерно в течение 4 ч. За какое время перевезет это же количество зерна каждый грузовик в отдельности, если одному из них нужно для этого на 6 часов больше, чем другому? Ответ: 6ч.; 12ч.

5. Два экскаватора вырыли котлован за 24 дня. Первый экскаватор мог бы выполнить эту работу в 1,5 раза быстрее, чем второй. За сколько дней первый экскаватор мог бы выполнить эту работу? Ответ:40 дней.

6. Два экскаватора, работая одновременно, выкапывают котлован за 12 ч. За сколько времени мог бы выкопать этот котлован каждый из экскаваторов в отдельности, если скорости выполнения работы экскаваторов относятся как 3:2. Ответ:20ч.; 30ч.

7.Один завод может выполнить некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить этот заказ каждый завод, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ, в пять раз больший? Ответ: 8дней, 12 дней

8. Два крана, открытые одновременно, могут наполнить 5/6 ванны за 18 минут. За какое время наполнит ванну каждый из них, если один наполняет ванну на 18 минут быстрее другого?

Ответ:36 мин.; 54 мин.

9. Первая труба наполняет бак на 2 дольше, а вторая - на 4,5 ч. дольше, чем наполняют этот бак обе трубы, открытые одновременно. Сколько времени потребуется, чтобы наполнить бак через одну первую трубу? Ответ:5ч.

10.Две трубы, открытые одновременно, наполняют бассейн за 5 часов. Если расход воды через первую трубу увеличить в 2 раза, а через вторую трубу уменьшить в 2 раза, то бассейн наполнится за 4 часа. За какое время наполняет бассейн первая труба? Ответ:10ч.

11. Две снегоуборочные машины, работая вместе, могут очистить от снега определённую площадь за 12 ч. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем вторая закончила уборку снега, то на всю работу ушло бы 25ч. За сколько часов могла бы очистить от снега эту площадь каждая машина, работая отдельно?

Образец решения:

A

N

T

Совместная работа

1

12 ч.

I

x

ч.

II

y

ч.

Составим систему:

T_{1== 30 Ч,;} t _{п =} 20ч.

Ответ: 30ч, 20 ч.

12. Если одновременно открыть два крана, то бассейн наполнится за 4 часа 30 мин. Если же наполнить половину бассейна через один кран, а другую половину - через другой, то для наполнения, бассейна потребуется 12 ч. За какое время наполняет бассейн каждый кран? Ответ: 6ч.;18ч.

13. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 16 ч. Если первый из них выполнит 5/6 всей работы, а затем второй оставшуюся часть, то на выполнение этой работы они потратят 28 ч. Сколько времени потребуется каждому рабочему на выполнение всей работы в отдельности?

Ответ: 24ч.; 48ч.; 22,4ч.; 56ч.

14. Двое рабочих, работая вместе, могли выполнить некоторую работу за 8 часов. Случилось так, что первый рабочий работал 5 часов, а второй - 8 ч, в результате они выполнили 11/14 всей работы. За сколько часов мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности?

Ответ: 14ч.

15. Первая бригада грузчиков может разгрузить товарный состав на один час быстрее, чем

вторая бригада. Если 7/8 состава будут разгружать обе бригады вместе, а оставшаяся часть

будет разгружаться только второй бригадой, то на выполнение всей работы по разгрузке

состава потребуется 2 ч. За какое время может разгрузить состав каждая бригада, работая

отдельно? Ответ:3ч.; 4ч.

16. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной

дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только

одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая бригада, производительность

труда которой более высокая, чем первой бригады. В результате ремонт заданного

участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время

выполнила всей работы. За сколько дней был отремонтирован участок дороги каждой

бригады отдельно? Ответ:45 дней; 30 дней.

17. Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 часов. Если первый

мастер будет работать 9 часов, а потом его сменит второй, то он закончит работу через

4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

Образец решения:

Составим систему:

Ответ:15ч;10ч.

18. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч. скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18ч., выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6ч, то и тогда будет выполнено только 3/5 всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания? Ответ:45ч.

19. Двое рабочих, из которых второй начал работать полутора днями позже первого, работая независимо один от другого, оклеили обоями несколько комнат за 7 дней, считая с момента выхода на работу первого рабочего. Если бы эта работа была поручена каждому отдельно, то первому для выполнения понадобилось бы три дня больше, чем второму. За сколько дней каждый из них отдельно выполнил бы эту же работу? Ответ:14 дней, 11 дней.

20.Два каменщика, второй из которых начинает работать на три дня позже первого, могут выстроить стену за 14 дней. Известно, что первому каменщику потребовалось бы на выполнение этой работы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней может выстроить эту стену каждый каменщик в отдельности? Ответ: 22 дня; 28 дней.

21.Двое мастеров, работая вместе, выполняют некоторые задание за 30дней. После шестидневной совместной работы один из них, работая отдельно, может окончить это задание за 40 дней. За сколько дней каждый из них, работая отдельно, может выполнить задание? Ответ: 50 дней; 75 дней.

22.Два печника могут сложить печь за 12ч. Если первый печник будет работать 2ч, а второй 3ч, то они выполняют только 20% всей работы. За сколько часов может сложить печь каждый печник, работая отдельно? Ответ:20ч.; 30ч.

23.Двум трактористам было поручено вспахать поле. После того как первый пропахал 7ч, а второй 4ч, оказалось, что они вспахали5/9 всего поля. Проработав вместе 4ч, они установили, что им осталось вспахать 1/18 часть поля. За сколько часов каждый из трактористов, работая в отдельности, мог бы вспахать все поле? Ответ:18ч.; 24ч.

24. Первая труба наполняет бассейн на 3ч. быстрее, чем вторая, вторая - на 2ч дольше, чем третья. При одновременной работе первой и второй трубы бассейн наполняется за 2ч. За какое время будет наполнен бассейн, если открыть сразу три трубы. Ответ: 1ч. 20мин.

25. Три тракториста бригады вместе вспахивали поле за 4 дня. Первая и третья бригады вместе вспахивали бы это поле за 6 дней, а первая и вторая вместе - за 8 дней. Во сколько раз третья бригада вспахивает за весь день больше, чем вторая? Ответ: в 1,5 раза.

26. Для наполнения плавательного бассейна водой имеются три насоса. Первому насосу для наполнения бассейна требуется в три раза меньше чем второму и на 2ч больше чем третьему. Три насоса, работая вместе, наполнили бы бассейн за 3 ч, но по условию эксплуатации одновременно должно работать только 2 насоса. Определите минимальную стоимость наполнения бассейна, если 1ч работы любого из насоса стоит 140 рублей. (Производительность насоса постоянна в течение работы.). Ответ: 480 руб.

27. Для наполнения газгольдера сжатым газом имеются 3 компрессора. Первому компрессору для наполнения газгольдера требуется времени вдвое меньше, чем второму, и на 4 ч больше, чем третьему. Три компрессора, работая вместе, наполнили бы газгольдера за 4ч, но по технологическим требованиям одновременно должны работать только два из них. Определите минимальное время (в минутах) наполнения газгольдера. (Производительность каждого компрессора постоянна в течение всей работы.) Ответ: 288 мин.

Задачи на движение.

Задачи на движение - наиболее часто встречающиеся на практике задачи. Одни из них легче решаются с помощью уравнений, другие по действиям или путем логических рассуждений. Во всех случаях первыми помощниками являются формула зависимости пути от времени при равномерном движении

и чертеж по условию задачи.

Следует заметить, что класс задач на движение очень широк и разнообразен, и выполнить какую-то четкую их классификацию представляется невозможным; но попытаемся все-таки выделить среди них несколько групп.

1. Задачи на движение по течению и против него.

При решении задач такого типа следует знать, что скорость по течению складывается из собственной скорости движущегося объекта и скорости течения, а скорость против течения равна разности названных скоростей.

Рассмотрим задачи.

Задача 1. Моторная лодка, обладающая скоростью , прошла расстояние между 2 пунктами туда и обратно, не останавливаясь, за 6 часов 15 минут. Расстояние между пунктами 60 км. Определить скорость течения.

Решение. Обозначим за скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению будет , а против течения . На путь в 60 км лодка, двигаясь по течению, затратит , а, двигаясь обратно, . Всего по условию задачи затрачено .

Составим уравнение:

.

Решив уравнение, получим, что .

Ответ. .

Задача 2. Эскалатор метро опускает идущего по нему вниз человека за 1 минуту. Если человек будет идти вниз вдвое быстрее, то он опустится за 45 секунд. Сколько времени спускается человек по стоящему эскалатору?

Решение. Нетрудно догадаться, почему задача отнесена к группе задач, обозначенных выше. Подобно движению по течению и против течения скорость движения идущего человека вниз складывается из скорости эскалатора и скорости человека, а стоящего на эскалаторе человека равна скорости эскалатора.

Введем неизвестные. Пусть - длина эскалатора (это путь, который должен преодолеть человек при любом варианте движения).

Тогда - скорость идущего вниз человека при движущемся эскалаторе, т. е. скорость «по течению».

Пусть - скорость эскалатора, - скорость человека на стоящем эскалаторе.

По условию задачи имеем: (1).

Если человек будет идти вниз вдвое быстрее, то его скорость станет , и скорость его движения с учетом движения эскалатора будет или равна .

Получим второе уравнение (2).

Получим систему уравнений: ,

из которой следует, что .

В задаче требуется найти, сколько времени потребуется человеку на спуск при стоящем эскалаторе. Понятно, что оно будет равно или 3 минуты.

Ответ. 3 минуты.

Примечание. Длина эскалатора умышленно нами обозначена в ступеньках, а не в метрах. Этот подход поможет читателю успешно справиться с задачей для самостоятельного решения, стоящей под №3.

Задача 3. Пароход плыл от Горького до Астрахани 5 суток, а от Астрахани до Горького - 7 суток. Сколько плыли плоты от Горького до Астрахани?

Решение. Примем расстояние от Горького до Астрахани за 1, тогда пароход, двигаясь из Горького в Астрахань, в сутки проплывал пути, а, двигаясь назад, пути. Понятно, что сначала пароход плыл по течению, а затем против течения.

- разность частей пути, пройденных за сутки по течению и против него. Тогда, разделив на 2, мы найдем, какую часть в сутки проплывает плот, т. к. знаем, что разность скорости по течению и скорости против него равна двум скоростям течения.

Т. к. за сутки плот проходит часть пути, то весь путь он пройдет за 35 суток.

Ответ. 35 суток.

2. Задачи на среднюю скорость.

При решении задач на среднюю скорость следует помнить, что под средней скоростью за какой-то промежуток времени понимается отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь был пройден.

Рассмотрим задачи.

Задача 4. Человек шел некоторое время со скоростью , а потом еще столько же времени - со скоростью . Какова была за это время его средняя скорость?

Решение. Понятно, что за промежуток времени путь составил , значит средняя скорость за это время будет равна .

Ответ.

Примечание. Распространенным ошибочным решением является нахождение средней скорости как среднего арифметического данных скоростей. В данном случае ответ совпал бы, исходя из конкретного условия задачи. Приведем пример задачи, где такой подход к решению даст абсолютно неверный ответ.

Задача 5. Автомобиль прошел расстояние от А до В со скоростью , а обратно со скоростью . Какова средняя скорость рейса?

Решение. Пусть - расстояние АВ, тогда время, затраченное автомобилем на путь из А в В равно , а на путь из В в А - .

Всего на весь путь затрачено , а, значит, средняя скорость рейса туда и обратно будет равна .

Ответ. .

Задача 6. Учебный самолет летит со скоростью . Когда ему осталось пролететь на меньше, чем он пролетел, самолет увеличил скорость до . Средняя скорость на всем пути оказалась равной . Какое расстояние пролетел самолет?

Решение. Пусть - путь, который самолет летел со скоростью ; тогда - оставшийся путь.

и - время полета на каждом из участков пути.

- время в пути.

По условию задачи средняя скорость полета равна , значит справедливо равенство

Решив уравнение, получим, что .

Итак, - длина первого участка пути, - длина второго, и весь путь равен .

Ответ. .

Задача 7. Человек прошел от А до В со скоростью , а затем от В до С - со скоростью , в результате чего весь путь от А до С он прошел со средней скоростью . Найти отношение АВ и ВС.

Решение. Время, затраченное на путь АВ, равно , а на путь ВС - . Всего затрачено время на путь АС, равное .

Средняя скорость на всем путь , значит, справедливо равенство или , откуда и .

Ответ. .

3. Задачи на движение в одном и разных направлениях.

При решении задач на встречное движение и в противоположных направлениях следует понимать следующие факты:

1. Если 2 объекта движутся навстречу друг другу, стартовав одновременно из 2 разных точек А и В (рис. 1),расстояние между которыми равно , и известно время , через которое они встретились, то справедливо равенство , где , - скорости движения объектов, а - называется скоростью сближения.

2. Если объекты двигаются в различных направлениях из п. п. А и В, расстояние между которыми S, и известно, что через время расстояние между ними становится , то

,

а скорость будет скоростью удаления объектов в единицу времени.

3. Пусть объекты движутся из п. А и В, расстояние между которыми равно , но в одном направлении, и известно, что через время первый догонит второго.

Будет справедливо равенство , где разность выражает скорость сближения.

3. Если скорость первого объекта окажется меньше скорости объекта , то разность будет выражать уже скорость удаления объектов за единицу времени. Если известно время , за которое расстояние между объектами станет равно , то .

Решим несколько задач.

Задача 8. Расстояние по реке между пунктами А и В равно 84 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых различаются в 1.8 раз. Через 3 часа они встретились. Найти собственные скорости лодок.

Решение. Пусть - меньшая собственная скорость лодки, тогда - собственная скорость второй лодки. Их скорость сближения равна и так как через 3 часа они встретились, то справедливо равенство

, откуда

.

Итак, - собственная скорость первой лодки, тогда - собственная скорость второй лодки.

Ответ. и .

Задача 9. Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость автомобиля постоянна и составляет скорости грузовика. Через 30 минут за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью . Найти скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на час раньше, чем легковой автомобиль.

Решение. Пусть - скорость грузовика, тогда - скорость легкового автомобиля. Обозначим за - время, через которое мотоциклист догнал грузовик (с момента выезда мотоциклиста), тогда грузовик до этого момента находился в пути . При этом их пройденные пути оказались равными, значит

(1)

Мотоциклист догнал легковой автомобиль через час после грузовика, значит, с начала движения он был в пути , а легковой автомобиль . Так как их пройденные пути в этот момент совпадают, то

(2)

Получим систему из уравнений (1) и (2), решив которую найдем, что .

- скорость грузовика, значит, скорость легкового автомобиля будет .

Ответ. .

Задача 10. Из городов А и В, расстояние между которыми равно 180 км, отправлены одновременно навстречу друг другу 2 поезда. После их встречи поезд, вышедший из города А, прибыл в город В через 2 часа, а другой прибыл в город А через 4 часа 30 минут. Найти скорость каждого поезда.

Решение.

При решении этой задачи удобным представляется принять за неизвестное один из участков пути до момента встречи. Пусть, например, путь первого поезда до встречи равен , тогда путь второго поезда - .

После встречи I поезд прошел, наоборот, расстояние , причем за 2 часа, значит, его скорость равна . Второй поезд прошел после встречи путь за 4.5 часа, значит, его скорость - .

Выразим теперь время движения каждого из поездов до встречи (по условию оно одинаково).

Время I поезда до встречи равно , а второго - .

Получим уравнение: , откуда ,

,

.

Ответ. и .

Задача 11. Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда . Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3 секунд. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 метров.

Решение. Пусть скорость встречного поезда , тогда скорость сближения двух поездов равна . Пассажир заметил, что за 3 секунды мимо него прошел поезд длиной 75 метров, значит, было преодолено расстояние 75 метров со скоростью (,) или , а это и есть скорость сближения двух поездов.

Получим: , откуда .

Ответ. - скорость встречного поезда.

1. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорость велосипедиста. Ответ: 12км/ч; 15 км/ч.

2. Расстояние между двумя станциями железной дороги 120км. Первый поезд проходит это расстояние на 50 минут быстрее, чем второй. Скорость первого поезда больше скорости второго на 12 км/ч. Определите скорость обоих поездов. Ответ: 48 км/ч; 36 км/ч.

3. Скорость двух поездов соотносятся как 2:3. Расстояние в 36 км второй поезд проходит на 30 мин быстрее первого. Найдите скорость обоих поездов. Ответ:20 км/ч; 36 км/ч.

4. Пароход должен был пройти 72км с определённой скоростью. Первую половину пути он шел со скоростью на 3 км/ч меньше, а вторую - на 3км/ч больше, чем было запланировано. На весь путь пароход затратил 5часов. На сколько минут опоздал пароход? Ответ:12 мин.

5. Из пункта М в пункт N, расстояние между, которыми 80 км, одновременно выехали 2 автомобиля. Во время пути один из автомобилей сделал остановку на 15мин, но в пункт N приехал на 5 мин раньше второго. Известно, что его скорость в 1,5 раза больше скорости второго. Найдите скорость каждого автомобиля. Ответ: 80 км/ч. 120 км/ч.

6. Турист шел из пункта А в пункт В со скоростью 6 км/ч, а затем из пункта В в пункт С со скоростью 4 км/ч. Сколько километров всего прошел турист, если известно, что расстояние от А до В на 24 км больше, чем от В до С, и что средняя скорость движения туриста оказалась равной 5,25 км/ч. Ответ: 56 км.

7. Турист проехал 160 км, причем 5/8 этого пути он ехал на автомашине, а остальную часть- на катере. Скорость катера на 20 км/ч меньше скорости автомашины. На автомашине турист ехал на 15 мин больше времени, чем на катере. Чему равны скорости катера и автомашины? Ответ: 60км/ч. и 80 км/ч. или 80 км/ч и 100 км/ч.

8.После встречи двух пароходов один из них пошел на юг, а другой - на запад. Через два часа после встречи расстояние между ними было 60 км. Найдите скорость каждого парохода, если известно, что скорость одного из них была на 6 км/ч больше скорости второго?

Ответ: 18 км/ч; 24 км/ч.

9.Две автомашины выехали одновременно из одного и того же пункта в одном и том же направлении: одна со скоростью - 50км/ч, другая - 40 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую машину

на 1 час 30 мин позже, чем вторую. Найдите скорость третьей машины. Ответ: 60 км/ч.

10. Из города А в город В, расстояние между которыми 10 км, отправился пешеход, через 30 мин после него из А в В отправился велосипедист, обогнав пешехода и доехав до города В ,возвратился обратно в А и приехал туда в тот момент, когда пешеход пришел в город В. Определите скорость пешехода. Ответ: 4 км/ч.

11. Автомобиль, пройдя 300 км, повернул назад и через 1 ч 12 мин после выхода из В увеличил скорость на 16 км/ч, В результате на обратный путь он затратил на 48 мин меньше. Найдите первоначальную скорость автомобиля. Ответ: 60 км/ч.

12. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 18 км, одновременно выезжают два велосипедиста. Скорость одного из них на 5 км/ч меньше скорости другого. Велосипедист, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1 ч 20 мин после выезда из А. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Ответ: 11 км/ч.; 16 км/ч

13. Турист шёл со скоростью а км/ч, потом точно такое же время со скоростью b км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всём участке пути?

Образец решения:

Пусть турист шёл х ч со скоростью а км/ч и столько же - х ч со скоростью b км/ч. Тогда за 2х ч он прошёл ах+bx=(a+b)x км. Средняя скорость движения туриста равна

км/ч.

1. Спортивная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по течению, затратив на весь путь 14ч. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч. Ответ: 7 км/ч.

2. Теплоход прошел по течению реки 96 км и столько же против течения, затратив на весь путь 10 ч. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Определите скорость теплохода в стоячей воде. Ответ: 20 км/ч.

3. Лодка может проплыть 18 км по течению реки и еще 2 км против течения за то же время, какое требуется плоту, чтобы проплыть 8 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8 км/ч. Ответ: 4 км/ч.

4. Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с намерением вернуться обратно через 5 ч. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки 8 км/ч. На какое наибольшее расстояние по реке они могут отплыть, если перед возвращением планируют пробыть на берегу 3 ч? Ответ: 7,5 км.

5. За 7 ч катер прошел 60 км по течению реки и 64 км против течения. В другой раз катер за 7 ч прошел 80 км по течению реки и 48 против течения. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки. Ответ: 18 км/ч; 2 км/ч

6. Из пункта А в пункт В против течения реки выехала моторная лодка. В пути сломался мотор, и, пока его 20 мин чинили, лодку сносило вниз по реке. Определите, насколько позднее прибыла лодка из-за поломки мотора, если известно, что обычно путь из А в В лодка проходит в 1,5 раза дольше, чем путь из В в А. Ответ: 25 мин.

7. Катер проходит 96 км. вниз по течению реки от А до В и обратно за 14 ч. Одновременно с катером из А отправился плот. На пути обратно катер встретил плот на расстоянии 24 км от А. Определите скорость катера в стоячей воде и скорость течение.

Образец решения:

Пусть х км/ч - скорость катера в стоячей воде, а у км/ч - скорость течения реки. Тогда (х + у) км/ч - скорость катера по течения реки, а (х - у) - скорость катера против течения. Расстояние 96 км вниз по течению катер проходит за 96(х + у) ч, а обратный путь - 96(х + у) ч. Поэтому 96(х + у) +96(х - у) = 14. (1) Расстояние 24 км плот проходит за 24/у (ч). Это же время потребовалось катеру, чтобы пройти вниз по течению реки на 96 км и обратный путь 72 км, то есть 24/у = 96/(х + у) = 72/(х - у).(2) Итак задача свелась к решению системы уравнений (1) и (2). Преобразуем уравнение (2), освободившись в нем от общего знаменателя. Получим 24(х + У) (х - у) = 96у(х - у) + 72у(х + у), х- у= у , откуда (после приведения подобных членов) х=7ху. Так как х то х =7у. Подставляя это выражение в уравнение (1), найдём у =2 км/ч. Тогда х =14 км/ч.

Ответ: 14 км\ч.

8. Моторная лодка проходит расстояние АВ, равное 28 км, в оба конца за 5 ч 50 мин. Однажды, выйдя из пункта В в пункт А, находящийся выше по течению реки, лодка через два часа встретила плот, отправившийся из А за 4 часа до выхода лодки из В. Найдите скорость течения реки и собственную скорость моторной лодки. Ответ: 2км/ч.; 10 км/ч.

Задачи на числа

1. Сумма квадратов чисел двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите число.

Образец решения:

1. Пусть x- цифра десятков, y - цифра единиц, 10х+у - искомое двузначное число.

2. Из условия задачи следует:

- не подходит, так как x- цифра).

Ответ: 32.

2.Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если цифры этого числа переставить, то полученное число будет на 18 меньше искомого. Как велико искомое число? Ответ:53

3.Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число. Ответ:24

4.Найдите двузначное число, зная, что число его единиц на два больше числа десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144. Ответ:24

5.Ученику надо было умножить 78 на двузначное число, в котором цифра десятков второе больше цифры единиц, но по ошибке, он переставил цифры во втором сомножителе, отчего и получил произведение на 2808 меньше истинного. Чему равно истинное произведение? Ответ:4836

6. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Найдите это число. Ответ:23

7. Найдите 2 числа, если известно, что сумма удвоенного первого и утроенного второго равна 23, а учетверенное второе больше утроенного первого на 8. Ответ:4;5

8. Среднее пропорциональное двух чисел на 12 больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего из них. Найдите эти числа. Ответ:6;54

9. Найдите три числа, из которых второе больше первого настолько, насколько третье больше второго, если известно, что произведение двух меньших чисел равно 85, а произведение двух больших равно 115. Ответ:8,5; 10; 11,5

10. Однозначное число увеличили на 10 единиц. Если полученное число увеличить на столько же процентов, как в первый раз, то получится 72. Найдите первоначальное число. Ответ:2

11. Найдите трехзначное число (a, b, c-цифры), если четырехзначное число в три раза больше четырехзначного числа .

Образец решения:

Пусть - х - искомое число.

Тогда =10х + 1

= х + 2000, значит, 10х +1=3

Х = 857.

Ответ: 857.

12. Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок записи остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет второе больше первоначального. Найдите первоначальное число.

Образец решения:

Пусть - искомое число, где a, b, c, d, e- его цифры.

Обозначим через х = , тогда

= 200000 + х

abcde2 = х + 2, значит , (200000+х)*3=х*10+2.

х = 85714

Ответ: 285714.

Задачи, связанные с цифровой записью числа.

Для решения задач с цифровой записью числа необходимо помнить несколько моментов.

1. Чтобы отличить запись, например, трехзначного числа от произведения трех его цифр (в буквенном виде) следует сверху ставить черту. Например, запись означает, что в записи числа участвуют цифры от 0 до 9, кроме .

2. Запись вида - символическая запись числа, в котором а сотен, b десятков и с - единиц, поэтому, работая с числом, как таковым, используется именно его форма разложения по разрядным единицам: .

3. Важно различать понятия цифры и числа и уметь составлять равенства по условиям задач. Например, условие, что двузначное число при делении на сумму его цифр дает в частном 5, а в остатке 3, означает, что .

4. Если в записи некоторого числа, например, группа цифр сдвигается влево или вправо на несколько разрядов, то полезно многозначное число обозначить за х и помнить, что при движении влево оно увеличивается в раз, а при движении вправо - уменьшается во столько же раз (n - количество разрядов, на которые произошла передвижка).

Рассмотрим несколько задач.

Задача №1. Найти двузначное число, если известно, что при делении этого числа на сумму его цифр в частном получится 4, а в остатке 3. Если же из искомого числа вычесть удвоенную сумму его цифр, то получится 25.

Решение. Пусть - искомое число, , а и b - цифры. .

По условию задачи

.

Получили систему уравнений:

,

решив которую найдем, что , .

Ответ: 47.

Задача №2. Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок всех остальных цифр, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.

Решение. Пусть - искомое число, a, b, c, d, e - цифры. - новое число. Группа цифр сдвинута влево на 1 разряд, тогда, согласно замечанию пункта 4, если число принять за , то

.

По условию задачи, новое число втрое больше первоначального, значит

, откуда

,

а искомое число .

Ответ: 285714.

Задача №3. Сумма цифр трехзначного числа равна 11, а сумма квадратов цифр числа равна 45. Если от искомого числа отнять 198, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найти это число.

Решение. Пусть - искомое число (*), a, b, c - цифры, . - число, записанное цифрами в обратном порядке. Сумма цифр числа по условию равна 11, т. е. . Сумма квадратов цифр числа равна 45, значит, . Разность данного числа с числом 198 имеет вид и равна числу , откуда .

Получили систему уравнений

, откуда

,

, - не удовлетворяет условию (*).

Итак, , , и искомое число равно 452.

Ответ: 452.

Задача №4. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получится 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получится 3, а в остатке 11. Найдите это двузначное число.

Решение. Пусть - искомое число, x и y - цифры, .

.

Получим систему уравнений:

.

Из уравнения (1) следует, что . Подставив в уравнение (2), получим квадратное уравнение

- не удовлетворяет условию (*).

.

При , .

Ответ: 83.

Задача №5. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится заданное число. Найдите это число.

Решение. Пусть - искомое число, x и y - цифры, . Составим систему уравнений по условию задачи:

.

Из уравнений (1) и (2) следует, что , откуда и или .

Итак, числа 37 и 48 - искомые.

Ответ: 37 и 48.

Задачи на смеси (сплавы)

Задачи на смеси, растворы, переливания.

Для решения обозначенных в теме задач следует помнить следующие факты:

1. Под долей вещества в смеси, растворе, сплаве понимается отношение массы (объема) этого вещества к массе (объему) всей смеси.

2. Процентная концентрация вещества в смеси численно равна доле, умноженной на 100%, и, наоборот, доля вещества численно равна одной сотой его процентного содержания.

3. При решении задач на смеси очень удобно пользоваться таблицей, в которой отражены

4. Если в условии задачи указано процентное содержание нескольких веществ, то следует выбрать одно из них и вести расчеты по нему и по всей смеси.

5. Заполнение таблицы следует вести по условию задачи, заполняя строки. Уравнения «искать» в столбцах.

Остановимся на примерах нескольких задач.

Задача 1. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40% соответственно. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием никеля в 30%.

Решение. Заполним таблицу по условию задачи, приняв за , - массу стали I и II сортов соответственно.

Так как последний вид стали получился в результате плавления первого и второго кусков, то

Так как масса никеля в третьем сплаве сложилась из масс никеля I и II сплавов, то

Получим систему уравнений ,

решив которую получим , .

Ответ. Взяли 40 тонн I сплава и 100 тонн II сплава.

Задача 2. После смешения двух растворов, один из которых содержал 48 грамм, а другой 20 грамм безводного йодистого калия, получили 200 грамм нового раствора. Найти концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого раствора была на 15% больше концентрации второго.

Решение. Примем за массу первого раствора, тогда масса второго раствора будет равна .

Таблица примет вид:

По условию задачи концентрация первого раствора на 15% больше концентрации второго, значит .

Решив уравнение, получим , тогда доля йодистого калия в I растворе будет равна , а процентная концентрация его составит 40%.

Аналогично, доля йодистого калия во втором растворе будет равна и составит 25%.

Ответ. 40% и 25%.

Задача 3. Сплавлено 40 грамм золота одной пробы и 60 грамм золота другой пробы и получено золото 62 пробы. Какой пробы было золото первого и второго слитков, если при сплаве поровну получается золото 61-й пробы.

Решение. Пусть «чистого» золота в первом слитке было , в во втором - .

Составим таблицу:

Из таблицы видно, что и .

Решив систему уравнений , получим, что , а .

Откуда доля золота в первом слитке будет равна , доля золота во втором слитке - и пробы соответственно составят 56 и 66.

Ответ. 56 и 66.

При решении задач на переливание схема заполняемой таблицы остается прежней, но следует следить за упрощением выражений, по возможности приводя их к лаконичной форме. Особенно это важно, когда речь идет о повторных переливаниях.

Если в задаче говорится о двух сосудах, то иногда полезно составлять параллельно две таблицы, следя за изменением концентрации растворов в каждом из сосудов.

Задача 4. Из сосуда, наполненного чистым глицерином, отлили литр глицерина, а затем долили литр воды. После перемешивания снова отлили литр смеси и долили литр воды. Наконец, опять после перемешивания отлили литр смеси и долили литр воды. В результате этих операций количество воды в сосуде оказалось в семь раз больше по объему оставшегося в нем глицерина. Каков объем сосуда?

Решение. Заметим, что в конечном итоге после всех переливаний доля глицерина в растворе будет равна , т. к. весь раствор состоит из 7 частей воды и 1 части глицерина. Составим таблицу по условию задачи, приняв за объем сосуда.

По условию задачи , откуда

.

Ответ. Объем сосуда равен 2 литрам.

Задачу 1 можно решить с помощью схемы.

Решение.

.

40 тонн взяли первого сплава.

100 тонн взяли второго сплава.

Ответ. 40 тонн и 100 тонн.

Такие схемы удобно применять при решении тех задач, в которых приходится сплавы (растворы) делить на много частей.

Задача 6. Каждый из двух кусков сплава массой 300 и 600 грамм соответственно с различным процентным содержанием меди разделили на 2 части. Из полученных 4 кусков изготовили 2 слитка массой 200 и 700 грамм соответственно с одинаковым процентным содержанием меди. Найти массу частей, на которые был разделен каждый кусок сплава.

Решение.

Доля вещества: .

Решим уравнение:

, .

Ответ. , , , грамм.

Предлагаем следующие задачи для самостоятельного решения.

1. Морская вода содержит 8% (по весу) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?

2. В сосуде было 20 литров спирта. Часть этого спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем отлили столько же литров смеси и опять долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз?

3. Имеются 2 раствора соли в воде, первый 40%-ный, второй 60%-ный. Их смешали, добавили 5 кг воды и получили 20%-ный раствор. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 80%-ного раствора, то получился бы 70%-ный раствор. Сколько было 40%-ного и 60%-ного растворов?

4. В двух сплавах медь и цинк относятся как 5:2 и 3:4 (по весу). Сколько нужно взять килограммов первого сплава и сколько второго, чтобы после переплавки получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

5. Из сосуда, содержащего 54 литра чистой кислоты, вылили несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего объема. Затем из сосуда вылили смеси столько же литров, как и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде, стало чистой кислоты 24 литра. Сколько кислоты вылили в первый раз?

6. Сосуд емкостью 12 литров наполнен кислотой. Из него выливают некоторое количество кислоты во второй сосуд такой же емкости, и второй сосуд дополняют водой. Теперь смесью из второго сосуда дополняют первый сосуд. Затем из первого сосуда переливают четыре литра во второй, после чего в обоих сосудах чистой кислоты (в растворах) оказывается одинаковое число литров. Сколько кислоты первоначально перелито из первого сосуда во второй?

1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Образец решения:

1) Пусть 30%-ного раствора взято x граммов, а 10%-ного раствора взято y граммов.

2) Тогда из условия ясно, что x+y = 600. Так как первый раствор 30%-ный, то в x граммах этого раствора содержится 0,3x граммов кислоты.

3) Аналогично в y граммах 10%-ного раствора содержится 0,1y граммов кислоты.

4) В полученной смеси по условию задачи содержится 600*0,15=90 г кислоты, откуда следует 0,3x+0,1y=90.

Составим систему и решим её:

X=150, y=600-150=450.

Ответ: 150г; 450г.

2. Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй - 70% кислоты. Сколько литров первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100л 50%-ного раствора соляной кислоты? Ответ:40; 60

3. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?

Ответ:5

4. Сколько надо добавить воды к 100 г сухого молока с содержанием 7% воды, чтобы получить молоко с содержанием 60% воды? Ответ: 132,5

5. Кусок сплава меди и цинка массой 72 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди? Ответ:27кг.

6. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди? Ответ:1.5кг.

7. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второй кусок - 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого? Ответ:25%

8. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была в нем массовая доля соли? Ответ:160г.; 20%

9. В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг алюминия, добавили 15 кг магния, после чего содержание магния в сплаве повысилось на 33%. Сколько весил сплав первоначально?

Ответ:25кг.

10. Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во втором сплаве. Затем оба эти сплава сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Определить процентное содержание меди в первом и во втором сплавах, если известно, что в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором - 12 кг. Ответ:20%; 60%.

11. Сплав меди и олова, содержащий на 12 кг больше меди, чем олова, сплавили с 4 кг чистой меди. В результате содержание олова в сплаве понизилось на 2,5 %. Сколько олова содержится в сплаве? Ответ:24кг.

12. Имеется, лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля? Ответ: 40т. 100т.

13. Имеется два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40% меди, второй - 32% меди. Какого веса должны быть эти слитки, чтобы после их совместной переплавке получить 8 кг сплава, содержащего 35% меди? Ответ:3кг.; 5кг.

14. Смесь, состоящая из двух веществ, весит 18 кг. После того, как из нее выделили 40% первого вещества и 25% второго, в ней первого вещества стало столько же, сколько второго. Сколько каждого вещества было в смеси? Ответ:8кг.; 10кг.

15. Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды. Сколько килограммов воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25% целлюлозы? Ответ:200кг.

16. Морская вода содержит 5% по весу соли. Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 2%. Ответ: 120кг.

17. Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар содержит 70% воды, а полученный из него мед 16% воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда? Ответ:2,8кг.

18. Смешали 20 л 70%-ного спирта, 30 л 50%-ного спирта и 22,5 л воды. Каково процентное содержание спирта в получившейся смеси? Ответ:40%

19. Сплав цинка, алюминия и магния отличается большой прочностью и пластичностью. Первый такой сплав, массой 120 кг, содержит 20% алюминия. Второй сплав содержит 30% алюминия и 5% магния. Из этих сплавов получили новый сплав, содержащий 24% алюминия. Сколько килограммов магния содержалось во втором сплаве? Ответ:4кг.

20. Бронза - сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колокола, если в ней содержалось 75% меди. К бронзе массой 500 кг, содержащей 70%меди, добавили некоторое количество меди и получили бронзу, необходимую для изготовления колокола. Определите, сколько килограммов меди было добавлено. Ответ:100кг.

21. Латунь - сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит Медина 60 кг больше, чем у цинка. Этот кусок латуни сплавили со 100 кг меди и получили латунь, в которой 70% меди. Определите процент содержания меди в первоначальном куске латуни. Ответ:60%.

22. Латунь-сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг. Больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько килограммов меди было первоначально? Ответ:22,5кг

23. В сосуде находится М кг р% раствора соли. Из сосуда выливается а кг смеси и доливается а кг воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется п раз. Докажите, что после п процедур концентрация соли будет равна:

24. Имеется два куска сплава олова и свинца. первый содержит р1 % второй - р2% олова. В каком отношении надо брать массы от этих кусков чтобы получить сплав с содержанием олова р %?

Докажите, что (1):

25. Имеется два куска сплава содержащие 40 % и 60% олова. В каком отношении (по массе) надо сплавить части этих кусков, чтобы получить сплав, содержащий 45 % олова?

И эту задачу можно решить подставив р1=40, р2=60, р=45 в равенство(1). Преобразовав полученное равенство, имеем:

Задачи на проценты

а) Нахождение процентов от данного числа.

В цехе работают 60 человек, из них 30% женщины. Определите, сколько женщин работает в цехе.

Образец решения:

60

Х

100%

30%

Требуется найти 30 % от числа 60, то есть Х = =18 (женщин).

Ответ: 18 женщин.

6) Нахождение числа по его процентам.

Найдите размер вклада, 25 % которого составляют 150 тыс. руб.

Образец решения:

1) 150:25=60руб. (1% вклада);

2) 60*100=600руб (весь вклад)

Ответ: 600 тыс. руб.

в) Нахождение процентного отношения двух чисел.

Каково процентное содержание меди в руде, если на 225 кг руды приходится 34, 2 кг меди?

Образец решения:

1. 34,2\225=0,152частей (содержание меди в руде);

2. 0,152*100=15,2% (процентное содержание меди в руде).

Ответ: 15,2%.

1. При добавлении воды к раствору его объем увеличился на 42 % и стал равным

71 л. Определите первоначальный объем раствора. (Ответ: 50л.)

2. При продаже товара за 1386 тыс. руб. получено 10 % прибыли. Определите себестоимость товара. (Ответ: 1260 руб)

3. Цистерна вмещает 40 т бензина. После заливки в нее некоторого количества бензина осталось незаполненным 6,5 % вместимости цистерны. Сколько бензина залили в цистерну? (Ответ:37,4 т)

4. Постройка дома стоит 98 млн. руб. Из них 65 % заплатили за материал, а остальные - за работу. Сколько заплатили за работу? (Ответ: 34,3 млн.руб.)

5. После снижения цен на 5°/о стоимость 1м материи стала равна 38 тыс. руб. Сколько стоил 1м материи до снижения? (Ответ: 40 тыс. руб.)

4. На соревнованиях спортсмены завоевали 96 медалей, из них 35 бронзовых и 31 серебряную. Сколько процентов от общего числа составили золотые медали?

(Ответ: 31,25%)

4. Сколько процентов соли содержится в растворе, если в 200г раствора содержится 150 г воды? (Ответ: 25 %.)

5. Товар с перевозкой стоил 3900 тыс. руб. Сколько процентов от стоимости товара с перевозкой составляют расходы по перевозке, если стоимость товара равна 3510 тыс. руб?

(Ответ: 10%)

9. Лекарственная ромашка теряет при сушке 84 °/о массы. Сколько килограммов ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг сухого растения? (Ответ: 50 кг.)

10. Мясо теряет при варке около 35 % своего веса, Сколько нужно сырого мяса, чтобы получить 520 г вареного? (Ответ: 800г.)

11. Кофе при жарении теряет 12% своей массы. Сколько всего кофе надо взять, чтобы получить 14кг жареного кофе? (Ответ: 16 кг.)

12. При перегонке нефти получается 30% керосина. Сколько нужно взять нефти, чтобы получить 18т керосина? (Ответ: 62,5т.)

13. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5тыс. руб. Каков был первоначальный вклад при 25% готовых? (Ответ: 840 тыс.руб.)

Образец решения:

Пусть х ( тыс. руб)- первоначальный размер вклада. В конце первого года вклад составит х+( тыс.руб), а в конце второго года 1,25х( 1+ 0,25) =(1,25)х (тыс. руб), то есть 1,25х=1312,5 тыс. руб, откуда х=840 тыс . руб.

Ответ: 840 тыс. руб.

13Докажите формулу «сложных процентов», решив задачу: в банк положили руб. под р% годовых на п лет. Сколько рублей получит вкладчик в конце срока?

Ответ:

14. Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил

1 января 1000руб и в течении 2 лет не производил со своим вкладом никаких операции. В результате вложенная сумма им сумма увеличилась до 1210 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад? (Ответ: 11%)

15. На заводе 20% всех станков были переведены на повышенную скорость, благодаря чему производительность станка повысилась на 80%. На сколько процентов повысился выпуск продукций? (Ответ: 16%)

16. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? (Ответ: 55%)

Образец решения:

Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого снижения цена товара равна: 100%-40%=60%. Второе снижение происходит от новой цены, то есть 60.

Общее снижение цены товара равна 40+15=55%.

Ответ: 55%

17. Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили ещё на 15%, и, наконец, после пересчёта произвели снижение ещё на 10%. На сколько процентов снизили первоначальную цену товара?

Образец решения:

Эту задачу проще решить чисто арифметически, не составляя уравнения.

1. Пусть первоначальная цена товара Х рублей, что соответствует 100%.

2. Тогда после первого снижения цена товара будет х - 0,2х = 0,8х (р.).

3 После второго снижения 0,8х - 0,25 * 0,8х = 0,68 (р.).

4. После третьего снижения 0,68х - 0,68х * 0,2 = 0,612х (р.).

5. Всего цена товара снизилась на х - 0,612х = 0,388 (р.)
х - 100%,
0, 388x-y%
Ответ:38,8%.

18. За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%. В следующем году выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальным. (Ответ: 35%)

19. За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 20%.В следующем году выпуск увеличился на 15%.На сколько процентов вырос выпуск по сравнению с первоначальным?Ответ:38%.
20. В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции? (Ответ:7,1%)
21. Цена на товар была повышена на 255. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара? (Ответ: 20%)

22. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил цену билетов, если она стала равной первоначальной? (Ответ: 20%)

23. Владелец бензозаправки повысил цены на бензин на 10 %. Заметив, что количество клиентов резко сократилось, он понизил цены на 10%. На сколько процентов в результате этих двух измерений понизились или повысились цены на бензин? Если цены понизились, то перед числом процентов в ответе поставьте знак минус. Если цены стали прежними, в ответ запишите ноль. (Ответ:-1%)

24. Цены на компьютерную технику в среднем понижались за год дважды на 20%. На сколько процентов понизились цены на компьютерную технику за год. (Ответ: 19%)

25. На хрустальную люстру подняли цену на 45%, а затем еще на 20%. На сколько процентов увеличилась цена люстры после двух повышений? (Ответ: 74%)

26. Цену на телефонный аппарат повышали дважды. После второго повышения аппарат стал стоить в 6 раз дороже, чем вначале. На сколько процентов повысили цену во второй раз, если в первый раз цена была повышена на 50%. (Ответ: 300%)

27. После двух последовательных одинаковых процентных повышений зарплата суммой в 100тыс.руб обратилась в 125,44тыс.руб . Определите на сколько процентов повышалась зарплата. (Ответ: 12%)

28. Вследствие реконструкции оборудования производительность дважды в течение года повышалась на один и тот же процент. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда рабочего, если он сначала вырабатывал изделий на 25 тыс. руб, а после реконструкции - на 28,09 тыс. руб.? (Ответ: 6%)

29. Цена товара дважды снижена на одно и тоже число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость

20 000 руб., а окончательная 11 250 руб.? (Ответ: 25%)

30. Цену на словарь повышалась дважды. После второго повышения словарь стал стоить в два раза дороже, чем в начале. На сколько процентов повысилась цена в первый раз, если во второй раз цена была повышена на 25%? (Ответ: 60%)

31. На мебельный гарнитур повышали цену дважды. На сколько процентов повысили цену на гарнитур во второй раз, если каждый раз повышали цену на одинаковое количество процентов, а после второго повышения гарнитур стоил в 1,44 раза больше, чем до первого повышения? (Ответ: 20%)

32. Цветной телевизор два месяца назад стоил на 20 % дешевле, чем месяц назад, когда он стоил на 10 % дешевле, чем сейчас. На сколько процентов дешевле стоил телевизор два месяца назад, чем сейчас? (Ответ: 28%)

33.Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания соответственно на 120 %, 200 % и 100 % его конечная стоимость составила 264 руб. (Ответ: 20руб)

34. При выполнении контрольной работы по математике 12 % учеников не выполнили ни одного задания, 32 % допустили ошибки, а остальные 14 чел решили задания верно. Сколько всего учеников в классе? Ответ:25.

35. На заводе были изготовлены легковые и грузовые машины, причем 35 % всех изготовленных машин - легковые. Определите число изготовленных машин, если грузовых изготовлено на 240 больше, чем легковых. Ответ:800

36. В библиотеке имеются книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36 % всех книг на иностранных языках, французские - 75 % английских, а остальные 185 книг - немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке? Ответ:500

37. Две шкурки ценного меха стоимостью в 225 тыс. руб. были проданы на международном аукционе с прибылью в 40 % . Какова стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было получено прибыли 25 %, а от второй - 50%? Ответ:135000; 90000.

38. Стоимость 60 экземпляр первого тома и 75 экземпляров второго тома составляет 270тыс руб. В действительности за все книги уплачено только 237 руб, так как проведена скидка на первый том в размере 15%, на второй - 10%. Найдите первоначальную цену этих книг. Ответ:2000; 2000

39. Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После того как первый рабочий повысил производитель труда на15 % а второй - на 25 % вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей. Сколько деталей изготовляет каждый рабочий за смену после повышения производительности труда. Ответ:46; 40

40. Собрали 100кг ягод. После сортировки 60 % собранных ягод были отправлены в магазин для продажи. В магазине 11 % поступивших ягод испортилось поэтому они не поступили в продажу. Сколько килограммов ягод было продано? Ответ: 53,4

41. Из молока получается 21 % сливок, а из сливок - 24 % масла. Сколько нужно взять молока, чтобы получить 630 кг масла? Ответ:12500.

42. Предприниматель купил акции и через год продал их по номинальной стоимости получив прибыль, причем полученная сумма составила 11500 руб. Сколько акций было куплено предприниматель если прибыль составляет 15 % от стоимости акции и равна 150 руб? Ответ:10

43. Вкладчик взял их сбербанка 25 % своих денег потом 4/9 оставшихся и еще 64тыс руб. После этого у него осталось на сберкнижке 15% всех денег. Как велик был первоначальный вклад? Ответ:240000

44. Сумма двух чисел равна 120. Найдите эти числа, если 40% одного числа равны 60% другого. Ответ:72,48

45. Если А даст 40% своих денег, а В - 45% имеющихся у него денег, то общая сумма составит 215 тыс.руб. Если же А даст 45% имеющихся у него денег а В - 40% своих денег, то общая сумма составит 210тыс. руб. Сколько тыс. руб у А и В в отдельности? Ответ: 200тыс; 300тыс.

46. Известно, что 5% первого числа и 4% второго составляют в сумме 44. Найдите эти числа.

Ответ:400; 600.

47. Известно, что 30% числа А на 10 больше, чем 20% числа В, а 30% числа В на 35 больше, чем 20% числа А. Найдите числа А и В. 200; 250

48. При продажной стоимости товара 2,2 тыс. руб. за 1 кг продовольственный магазин получает 10% прибыли. Если, продать этот товар по 1,8 тыс. руб. за 1 кг, то магазин понесёт убыток в сумме 43 тыс. руб. Сколько килограммов этого товара было в магазине?

Ответ:215

49. Рабочий день уменьшился с 8 ч до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 5%?

Ответ: 20%

1. Задачи на «усушку»

Рассмотрим 2 задачи.

Задача 5. На склад привезли одну тонну свежих огурцов, влажность которых была 99%. В результате хранения влажность изменилась и стала 98%. Как изменилась масса огурцов?

Задача 6. Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные - 12%. Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?

При решении обеих задач важно определиться с величиной, которая не меняется при различном содержании влаги. Нетрудно догадаться, что неизменной в обоих случаях остается масса «сухого» продукта, т. е. продукта, в котором абсолютно отсутствует вода («сухие» огурцы в первом случае и «сухие» грибы - во втором).

Итак, решим сформулированные задачи.

Решение задачи 5. Т. к. влажность завезенных на базу огурцов составляла 99%, значит на «сухой» огурец приходится 1% или 10 кг от 1 тонны привезенных.

В результате хранения влажность огурцов стала 98%, значит на «сухие» огурцы приходится 2% (или 0.02 от всей массы).

Получаем: , откуда .

Итак, масса огурцов стала 500 кг, что составляет 50% от начальной.

Ответ. Масса огурцов уменьшилась на 50% или в 2 раза.

Решение задачи 6. В свежих грибах влажность составляет 90%, значит, на «сухой» гриб приходится 10%. Поэтому в 10 кг свежих грибов содержится кг сухой массы.

1 кг сухой массы в сушеных грибах составляет 88% (так как влажность в сушеных грибах 12%).

Тогда 100% сушеных грибов будет иметь массу или кг.

Ответ. кг сушеных грибов получится из 10 кг свежих.

2. Задачи на прибыль.

При решении задач этого класса следует помнить, что под прибылью мы понимаем разность между первоначальной стоимостью товара и новой стоимостью его после «накрутки» или каких-то изменений.

Задача 7. Книжный магазин продал книгу со скидкой 10% с назначенной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально полагал получить магазин?

Решение. Пусть - это цена книги, по которой ее закупил магазин;

- запланированная магазином прибыль;

- назначенная магазином цена книги.

Так как книга была продана со скидкой в 10%, то ее цена составляет . Прибыль магазина при продаже книги равна и составляет 8% от , т. е. .

С учетом этого условия составим уравнение:

Решим уравнение, разделив обе части его на .

Ответ. Запланированная магазином прибыль составляет 20%.

Задача 8. До снижения цен туфли стоили 960 рублей. Когда же цена на эти туфли снизилась, количество покупаемых туфель увеличилось на 20%, поэтому выручка от продажи увеличилась на 10%. На сколько рублей была снижена цена на туфли?

Решение. Искомую величину снижения цены обозначим за . Условие задачи удобно записать в виде таблицы.

Цена (в рублях)

Количество проданных пар

Выручка (в рублях)

До снижения

960

После снижения

Зная, что выручка после снижения цены увеличилась на 10%, т. е. составляет , составим уравнение

Ответ. Цена туфель снизилась на 80 рублей.

Задача 9. Цена товара была снижена на 50%. Зарплата сначала увеличилась на 20%, а потом новая зарплата увеличилась еще на 25%. На сколько процентов больше можно купить товара после снижения цены и повышения зарплаты?

Решение. Запишем краткое условие задачи в виде таблицы.

Цена (в рублях)

Зарплата (в рублях)

Количество купленного товара

До снижения

После снижения

Упростив последнее выражение, получим , что составляет 300% в сравнении с первоначальным количеством проданного товара.

Тогда увеличение реализации товара составляет 200%.

Ответ. После изменений количество купленного товара увеличилось на 200%.

Задача 10. За первый месяц работы магазина дневная выручка увеличилась на процентов, а за второй месяц - еще на процентов. Определить , если известно, что за два месяца дневная выручка возросла в общей сложности втрое.

Решение. Иногда, а возможно в большинстве случаев, когда проценты выражены не в числовом значении, выгодно, пользуясь определением процента, записать их в виде сотых долей. Заменим на и обозначим , тогда . Обозначив первоначальную ежемесячную выручку за , выразим выручку в последующие два месяца:

Зная, что выручка в конце второго месяца увеличилась втрое в сравнении с первоначальной, составим уравнение:

.

Решив уравнение, получим два корня уравнения и . - не удовлетворяет условию задачи. Решением является , что составляет 50%.

Действительно, если первоначальная выручка составляла , в конце первого месяца она стала . Во втором месяце выручка увеличилась по условию задачи на , т. е. составила . Эта проверка убеждает нас в правильности решения.

Ответ.

Задача 11. Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену?

Решение. Краткое условие этой задачи удобно записать в виде схемы.

Тогда уравнение может быть составлено следующим образом:

Ответ. Новую цену следует снизить на 20%.

Задача 12. После снижения цен на 5% стоимость одного метра ткани стала равна 380 рублей. Сколько стоил один метр ткани до снижения цены?

Решение. Эту задачу удобно решить, составив пропорцию:

;

;

.

Ответ. До снижения цена 1 метра ткани составляла 400 рублей.

Задача 13. Ежемесячный прирост количества выпущенной продукции предприятием составляет 10% по сравнению с предыдущим месяцем. На сколько процентов увеличится выпуск продукции на этом предприятии за три последовательные месяца?

Решение. Обозначив первоначальный выпуск продукции за , запишем краткое условие задачи:

, что составляет 33.1%.

Ответ. Выпуск продукции увеличился на 33.1%

47