Итоговая контрольная работа по математике 10 класс

Вариант 1

Ответом на задания В1-В12 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записывать в бланк ответов от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и десятичную запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1. Выпускники 11 "А" покупают букеты цветов для последнего звонка: из 5 роз каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 21 учителю (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 30 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?

В2. Семья из трех человек едет из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно - на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 рублей за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих

В3. В правильный четырехугольной пирамиде точка - центр основания, - вершина, =15, =16. Найдите боковое ребро .

В4. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

В5. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью (м/с), где кг - масса скейтбордиста со скейтом, а кг - масса платформы. Под каким максимальным углом (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

В6. Найдите , если и .

В7. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

В8. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

В9. Найдите значение выражения .

В10. Вычислите значение выражения если

В11.Найдите тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, проведенной к графику функции в точке с абсциссой

В12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Часть 2.

Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.
Решение.
а) Преобразуем уравнение:

.

б) Найдем корни, лежащие на заданном отрезке. Составим двойное неравенство:

,

откуда

.

Следовательно, или , тогда искомые корни и .

Ответ: а) ; б) и .

С1. а) Решите уравнение .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

С2. Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник АВС, АВ=АС=5,ВС=8. Высота призмы равна 3.

Найдите угол между прямой А₁В и плоскостью ВСС₁.

C3. Решите систему неравенств

С4. Решите неравенство

С5. При каких значениях параметра уравнение

имеет 2 корня?

Вариант 2.

Ответом на задания В1-В12 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записывать в бланк ответов от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и десятичную запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

В2.Для того, чтобы связать свитер, хозяйке нужно 400 граммов шерсти синего цвета. Можно купить синюю пряжу по цен 60 рублей за 50 г, а можно купить неокрашенную пряжу по цене 50 рублей за 50 г и окрасить ее. Один пакетик краски стоит 10 рублей и рассчитан на окраску 200 г пряжи. Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.

Решение.
рассмотрим различные варианты.
Один моток пряжи весит 50 г., а на свитер нужно 8 мотков.
Если покупать готовую пряжу синего цвета, то стоимость свитера будет 60 8 = 480 руб.
На неокрашенную пряжу нужно потратить 50 8 = 400 руб. Но на окраску пряжи потребуется 2 пакетика по 10 руб., то есть еще 20 руб. Итого, на свитер из самостоятельно окрашенной пряжи потратится 420 руб.

Ответ: 420.

В3. В правильной треугольной пирамиде точка - середина ребра , - вершина. Известно, что =3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка .

В4. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

В5.Трактор тащит сани с силой кН, направленной под острым углом к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной м вычисляется по формуле . При каком максимальном угле (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

В6. Найдите значение выражения .
Решение.
т.к. , то ;

= .

Ответ: -10.

В7.Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с.

В8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.
Стоимость поездки на поезде для троих человек будет составлять 660 3 = 1980 руб. Расход бензина на 700 км пути составит 7 раз по 8 литров т. е. 56 литров. Его стоимость 56 19,5 = 1092 руб.

Ответ: 1092.

В9. Найдите , если и

В10. Вычислите значение выражения , если

В11.Найдите тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, проведенной к графику функции в точке с абсциссой

В12.Найдите точку максимума функции
.

Часть 2.

Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.
Решение.
а) Преобразуем уравнение:

.

б) Найдем корни, лежащие на заданном отрезке. Составим двойное неравенство:

,

откуда

.

Следовательно, или , тогда искомые корни и .

Ответ: а) ; б) и .

С1.Дано уравнение
а) Решите уравнение;
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

C2.Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетом Высота призмы равна Найдите угол между прямой и плоскостью

С3. Решите неравенство

С4. Найдите нули функции

С5. При каких значениях функция имеет минимум в точке, принадлежащей отрезку

Вариант 3.

Ответом на задания В1-В12 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записывать в бланк ответов от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и десятичную запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?

В2. Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и 4 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2450 рублей, щебень стоит 620 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант?

В3. Найдите расстояние между вершинами А и D₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁ = 3.

В4. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

В5. Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле (м), где м/с - начальная скорость мячика, а - ускорение свободного падения (считайте м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

В6. Найдите , если и .

В7.Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

В8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.


В9. Найдите значение выражения .

В10. Вычислите значение выражения если

В11. Найдите тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, проведенной к графику функции в точке с абсциссой

В12.Найдите точку минимума функции

Часть 2.

Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.
Решение.
а) Преобразуем уравнение:

.

б) Найдем корни, лежащие на заданном отрезке. Составим двойное неравенство:

,

откуда

.

Следовательно, или , тогда искомые корни и .

Ответ: а) ; б) и .

С1. Дано уравнение .

а) Решите данное уравнение.
б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку .

C2. В правильной четырех угольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости SCD.
Решение.
Найдём производную заданной функции:

.

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: 17.

С3. Решите неравенство

С4. Найти нули функции у=

C5. Решите уравнение .

Решение.
Найдём производную заданной функции:

.

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: 17.

Решение.
Найдем закон изменения скорости: м/с. При имеем:

м/с.

Ответ: 59.

С1.Дано уравнение
а) Решите уравнение;
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

С1. а) Решите уравнение .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

С3. Решите неравенство

С3. Решите неравенство

C3. Решите систему неравенств

С2. Основанием прямой призмы АВСА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник АВС, АВ=АС=5,ВС=8. Высота призмы равна 3.

Найдите угол между прямой А₁В и плоскостью ВСС₁.

С2.

Найдите значение выражения .
Решение.
а) Преобразуем уравнение:

.

б) Найдем корни, лежащие на заданном отрезке. Составим двойное неравенство:

,

откуда

.

Следовательно, или , тогда искомые корни и .

Ответ: а) ; б) и .

Найдите значение выражения
Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях силы кН и длины пути м:

.

Ответ: 60.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях силы кН и длины пути м:

.

Ответ: 60.

Решение.
Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения :

.

Ответ: 15.

Решение.
Рассмотрим различные варианты.

Стоимость фундамента из пеноблоков складывается из стоимости пеноблоков 2 2 450 = 4 900 руб., а также стоимости цемента 4 230 = 920 руб. и составляет 920 + 4 900 = 5 820 руб.

Стоимость бетонного фундамента складывается из стоимости цемента 20 230 = 4 600 руб., а также стоимости щебня 2 620 = 1 240 руб. и составляет 4 600 + 1 240 = 5 840 руб.

Первый вариант дешевле второго.

Ответ: 5820.

Найдите значение выражения .

Найдите , если и
Решение.

.

Ответ: 2.