Исследовательская работа по математике на тему Лист Мебиуса (6 класс)

«НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО УЧАЩИХСЯ»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №72

с углубленным изучением отдельных предметов»

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА

ЛИСТА МЁБИУСА

Авторы:

Ф.И.О., класс

Руководитель:

Солдатова Елена Аркадьевна,

учитель математики МБОУ СОШ №72

КРАСНОЯРСК 2016

Содержание

Краткая аннотация ……………………………………………………… 3

Введение ………………………………………………………………… 4

1. История появления листа Мёбиуса………………………………… 7

2. Опыты с лентой Мёбиуса …………………………………………… 8

3. Лист Мёбиуса в дизайне искусстве и технологии ………….…….. 11

Заключение ……………………………………………………………… 13

Литература …………………………………………………………........ 15

Приложение ……………………………………………………………... 16

Краткая аннотация

Цель научной работы: исследовать свойства листа Мёбиуса практическим путем, меняя количество перекручиваний листа перед склеиванием и разрезая вдоль полосы. Основные результаты практического исследования: проанализированы изменения ленты Мёбиуса. Составлена классификация результатов по количеству перекручиваний. Используя различные комбинации колец и ленты Мёбиуса, сконструированы новые модели. Составлена сравнительная таблица объектов, полученных при различных количествах разрезаний ленты Мёбиуса. Показана ценность проведения опытов для развития логического мышления, изобретательности. Показана занимательность, увлекательность, многозначность известной в топологии односторонней поверхности. Составлена формула вычислений количества перекручиваний в разрезанной ленте Мёбиуса через заданное количество полуоборотов. Считать лист Мёбиуса одним из шагов к изучению топологии школьниками.

.

Введение

Топология является одним их самых молодых разделов современной геометрии. Появилась она лишь в конце XIX века. Интересны условия работы с объектами в топологии. Любую фигуру можно сжимать, скручивать, сгибать, растягивать, только не разрывать и не склеивать. При этом будет считаться, что ничего не произошло, свойства фигуры остались неизменными. Никакого значения не имеют расстояния, углы, площади. Топологию называют «геометрией непрерывности». Геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. В отличие от евклидовой геометрии, занимающейся измерением длин, площадей и углов, топология имеет неметрический и качественный характер. В научно-популярной литературе топологию часто называют «геометрией на резиновом листе», поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса, [1]. Возник интерес к его односторонней поверхности, которая получилась в результате перекручивания и склеивания особым образом двухсторонней поверхности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придется переходить через край ленты. Непрерывность и отсутствие разрывов - важное свойство листа Мёбиуса. У листа Мебиуса всего один край. На этом удивительные свойства не заканчиваются. Лист Мёбиуса - неориентируемая поверхность. Передвигаясь по середине листа вдоль этого листа лицом вперед, окажемся в точке начала пути, но лицом назад. Если движение происходит по обычному кольцу в форме цилиндра, то движение против часовой стрелки или по часовой стрелке сохраняет свое направление. Если проделать те же движения с листом Мёбиуса, то до определенного момента направление будет сохраняться, пока не окажемся по соседству с точкой начала движения, в которой изображено противоположное направление. Отсюда вывод, что всякая двусторонняя поверхность ориентируемая, а всякая односторонняя - неориентируемая.

Много загадочного в этом перекрученном и склеенном кольце. Это привлекает, приобщает к изучению свойств таких необычных геометрических фигур, развивает аналитические и логические способности людей, сочетает развлечение и желание заниматься математикой.

В решениях возникших проблем, связанных с листом Мёбиуса, важен не только сам результат, но и процесс. Такие задания доставляют удовольствие, развивают творческие способности, тренируют интеллект, воспитывают наблюдательность. Занимательная математика тренирует ум. Топология развивает пространственное воображение.

Наглядность и иллюстративность позволяют использовать практический способ познания. Задачи с листом Мёбиуса увлекательны и разнообразны. Математики открыли еще целый ряд «односторонних поверхностей». Но лист Мёбиуса - самая первая такая поверхность, положившая начало целому направлению в геометрии, она привлекает к себе внимание.

Интересные и неожиданные свойства можно открыть, проводя опыты с перекрученным на пол-оборота кольцом, [2].

Лист Мёбиуса - это процесс познания новой науки. В этом процессе важен не только результат, но и сами действия. Происходит тренировка интеллекта, развиваются умственные способности. Практические действия являются прекрасным пособием для усвоения начал геометрии и топологии.

Цель научной работы исследовать свойства листа Мёбиуса, некоторые его свойства. Рассмотреть геометрические фигуры, полученные практическим путем с помощью разных способов разрезания листа Мёбиуса. Использовать в процессе моделирования несколько лент и проследить преобразования и свойства при их разрезании. Составить таблицу результатов, полученных экспериментальным способом. Сделать вывод. Найти ответ на вопрос о минимальных размерах ленты и её форме.

Опыты с лентой Мёбиуса полезны не только для развития логического мышления, изобретательности, но и для совместного отдыха и творчества. Это один из шагов к изучению геометрии и топологии.

1. История появления листа Мёбиуса

Версии появления этой поверхности различны. По одной из них ленту придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Гёттингенского университета. По другой версии одностороннюю поверхность обнаружил немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Мёбиусом и Иоганном Листингом в 1858 году. Немецкий математик и астроном Август Фердинанд Мёбиус, профессор Лейпцигского университета в своей работе описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством. Поверхность имела только одну сторону. Он прислал в Парижскую академию наук работу, включающие сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и не дождавшись, опубликовал её результаты в 1856 году. Иоганн Листинг независимо от Мёбиуса в то же время открыл одностороннюю поверхность, ввел термин «топология».

Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них на 180^о, [3]. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).

Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения новой науки - топологии. В некотором смысле слово топология - это наука, изучающая непрерывность. Тополог интересуется свойствами "предметов", которые выдерживают деформации: сжатия и растяжения.

2. Опыты с лентой Мёбиуса

При раскрашивании листа Мёбиуса без отрыва кисточки от поверхности бумаги замечено, что вся поверхность стала окрашенной. Это подтверждает односторонность поверхности.

Если обыкно­венное (не перекрученное) бумажное кольцо разрезать вдоль его средней линии, то получится два кольца, при­чем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности пер­воначально взятого кольца. Площадь поверхности их будет равна сумме площадей внутренней и внешней поверхности. У каждого из колец периметр краев (длина окружностей) останется неизменным, в сумме он будет равен удвоенному первоначальному результату.

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами, [4]. Если попробовать разделить ленту пополам, разрезая её посередине по линии, параллельной краю, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами, (приложение, рис. 1). Поверхность имеет одну сторону, площадь ее складывается из суммы площадей сторон листа бумаги, взятого для моделирования. Периметр или длина края ленты равен удвоенной длине листа.

Если теперь эту ленту разрезать посередине, то получаются две ленты намотанные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (приложение, рис. 2).

Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них (приложение, рис. 3, рис.4). Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника (приложение, рис.5). Перекручивая различное число раз бумажные полоски, склеивая их и разрезая вдоль оси, можно на полученных моделях подсчитать число оборотов. Замечено в результате опытов, что после каждого двойного оборота появляется новый оборот при разрезании (приложение, рис. 6 - 9). Таким образом, можно сделать вывод, что при увеличении оборотов перед разрезанием их количество после разрезания увеличивается в два раза, но только при четном количестве оборотов. Результаты опытов приведены в таблице.

Количество оборотов до разрезания

Количество оборотов после разрезания.

1

4

2

4

3

8

4

8

5

12

6

12

7

16

8

16

Если число оборотов нечетное, то после разрезания число новых оборотов можно посчитать по формуле 2(n + 1). Если число оборотов четное, то после разрезания число новых оборотов вычисляется по формуле 2n.

Если увеличивать число оборотов до ближайшего четного, дополнительных оборотов при разрезании не получается. Если увеличивать число оборотов до ближайшего нечетного, то число новых оборотов увеличивается на четыре.

Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами, [5].

Таким образом, площадь листа Мёбиуса не изменяется при разрезании. Длина края при разрезании увеличивается в 2 раза. Поверхность остается односторонней.

Достаточно интересный опыт с листом Ме­биуса был проведен при разрезании ленты по спирали. Линия разреза все время шла вдвое ближе к левому краю первоначальной полоски, чем к правому. Разрез обошел лист Мебиуса дважды. Образовались два кольца, но они оказались сцепленными. Причем, одно кольцо по протяженности в два раза больше второго. Причину сцепления установить не удалось.

При перекручивании ленты на 360^о и однократном разрезании вдоль листа, получается тоже два сцепленных кольца. Размеры их одинаковы,

В предложенных опытах в учебнике «Наглядная геометрия», [3] предлагалось рассмотреть полоску бумаги с размерами 30см в длину и 3см в ширину. С такими по размерам объектами были проведены все опыты.

Возник вопрос о минимальном отношении сторон листа бумаги, из которого можно сложить лист Мёбиуса. Оказывается, лист Мёбиуса можно сделать из квадрата [1], сложив его дважды вдоль диагоналей, соединив липкой лентой пару сторон, являющихся противоположными в развернутой модели. Тогда отношение длины к ширине равно единице.

Лист Мёбиуса можно сделать из любого прямоугольного листа бумаги [1]. Не существует минимального отношения длины к ширине. Из прямоугольника нужно сделать гофрированную узкую полоску, причем так, чтобы одна из сторон была обращена вверх, а вторая вниз. Затем полоска перекручивается на пол-оборота, а концы склеиваются, (приложение, рис. 10).

3. Лист Мёбиуса в дизайне искусстве и технологии

Лист Мебиуса удивительная поверхность и притягивает к себе внимание не только математиков, но и людей искусства. Созданы скульптуры и картины, в основе которых лежит лист Мебиуса.
Математика не является отвлеченной наукой. Очень многие математические знания и факты связаны с природой. Лист Мебиуса может быть создан ив природе.

Интересные свойства ленты породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в Нью-йорском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса. Оказалось, что автор не так далек от истины. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства.

Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой известной серии научно-популярных книг библиотечка "Квант". Он также постоянно встречается в научной фантастике. Иногда научно-фантастические рассказы предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.

Существует также версия, что в качестве знака бесконечности используется символическое изображение ленты Мёбиуса, поскольку она отражает диалектическую модель Вселенной, заключающуюся в единстве и двойственности бытия.

Заключение

В процессе работы с листом Мёбиуса были проведены опыты, связанные с увеличением количества оборотов перекручивания прямоугольной полосы [2], [3]. Проведены опыты с разным количеством разрезаний ленты Мёбиуса вдоль ленты. Составлена таблица зависимости количества оборотов в ленте после разрезания от их первоначального числа. Результаты опытов с бумажным листом Мёбиуса

При анализе результатов получены следующие выводы:

• при разрезании перекрученной ленты количество оборотов увеличивается;

• поверхность остается односторонней;

• длина новых колец становится в два раза больше при одном разрезании.

• длина колец увеличивается во столько раз, сколько было сделано разрезаний ленты Мёбиуса;

• площадь новых фигур не изменяется;

• при разрезании листов Мёбиуса с увеличенным количеством оборотов перекручивания число оборотов удваивается, появляются сложные узлы.

При конструировании ленты Мёбиуса получен ответ на вопросы о форме и размерах исходного листа бумаги, о величине отношения длины к ширине. На эти вопросы были найдены неожиданные ответы:

• лист Мёбиуса можно сконструировать из квадрата;

• не существует минимального отношения длины к ширине.

Лист Мебиуса удивительная поверхность и притягивает к себе внимание не только математиков, но и людей искусства. Созданы скульптуры и картины в основе которых лежит лист Мебиуса. Это процесс познания новой науки. В этом процессе важен не только результат, но и сами действия. Происходит тренировка интеллекта, развиваются умственные способности. Практические действия являются прекрасным пособием для усвоения начал геометрии и топологии.

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни. Математики проводят дальнейшие исследования. Интерес к экспериментам с лентой Мёбиуса приводит к исследовательским работам. В технике - открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса. Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов, дизайнеров. Думаем, что свойства, которыми обладает лента Мёбиуса можно использовать в швейной промышленности при оригинальном раскрое ткани. Возможно, при изучении топологии будет найден ответ на вопрос, возникший в ходе экспериментов: как при разрезании ленты Мёбиуса получаются сцепленные кольца.

Литература

1. Мартин Гарднер. Математические досуги. - М.: Мир, 1972. - С. 332, 390

2. Гусев В. А., Комбаров А. П. Математическая разминка: Книга для учащихся 5 -7 кл. - М.«Просвещение», 2005. - С. 57

3. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для V - VI кл. - Смоленск: Русич, 1995. - С. 45

4. Стивен Барр. Россыпи головоломок. - М.: Мир, 1987. - С. 261, 289, 332

5. ru.wikipedia.org/wiki/Топология

Приложение

Таблица опытов с листом Мёбиуса

№ опыта

Число полуоборотов, величина угла

Кол-во разрезаний

Полученная модель (описание)

Рисунок

1.

1

180°

1 разрезание

Двойное скручивание

рис.1

2.

1

180°

2 разрезания

Два соединённых кольца. Большое с двойным перекрутом и малое с одним перекрутом.

рис.2

3.

2

360°

1 разрезание

Двойное скручивание

рис.3

4.

2

360°

2 разрезания

Три соединённых кольца с двойным скручиванием

рис.4

5.

3

540°

1 разрезание

Два кольца соединённых узлом.

рис.5

6.

3

540°

2 разрезания

Два кольца соединённых узлом

рис.6

7.

1

180°

3 разрезания

Два кольца удвоенной длины, соединённые узлом.

рис.7

8.

1 (180° )+ 1 кольцо

1 разрезание

Перекрученный Лист Мёбиуса соединённый с 2 кольцами

рис.8

9.

2 (360°), соединённые цепочкой

1 разрезание

Два Листа Мёбиуса соединённые сложным узлом

рис. 9

Рис.10. Изготовление листа Мёбиуса из прямоугольного листа бумаги любого размера