Конспект урока обобщения и систематизации знаний по теме: «Четырёхугольники» (9класс)

Конспект урока обобщения и систематизации знаний по теме: «Четырёхугольники» (9класс)

Время проведения: 2 часа

Цели урока:

1. Образовательные цели:

1. Повторить определения параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции; свойства и признаки параллелограмма и прямоугольника; свойства ромба и квадрата; виды и свойства трапеции.

2. Закрепить свойства и признаки параллелограмма и прямоугольника, свойства ромба и квадрата; виды и свойства трапеции.

3. Проверить знания учащихся по теме «Четырехугольники».

2. Воспитательные и развивающие цели:

1. Развить устную речь учащихся, логическое мышление, смекалку, память;

2. Развить навык самостоятельной работы при выполнении различных заданий на уроке;

3. Продолжить воспитание у учащихся уважительного отношения друг к другу, чувства товарищества, культуры общения, чувства ответственности;

Задачи урока:

1. Обобщить, систематизировать и расширить знания учащихся по теме «Четырёхугольники».

2. Проверить знания по теме «Четырёхугольники» и умение применять их на практике.

План урока:

1. Организационный момент (5 мин);

2. Обобщение и систематизация теоретических знаний по теме «Четырёхугольники» (25 мин);

3. Проверка теоретических знаний учащихся по теме «Четырёхугольники» (5 мин);

4. Решение простейших задач по теме «Четырёхугольники» (20 мин);

5. Решение задач повышенной сложности по теме «Четырёхугольники» (25 мин);

6. Подведение итогов урока (5 мин);

7. Домашнее задание (5 мин).

Тип урока: Обобщение и систематизация знаний по теме «Четырёхугольники».

Ход урока:

1. Организационный момент.

Учитель: Приветствие! Тема сегодняшнего урока - обобщение и систематизация знаний по теме «Четырёхугольники».

Слайд № 1

Учитель: Как вы думаете, каким будет план урока?

Слайд № 2

Ученик:

1. Организационный момент;

2. Обобщение и систематизация теоретических знаний по теме «Четырёхугольники»;

3. Проверка теоретических знаний учащихся по теме «Четырёхугольники»;

4. Решение простейших задач по теме «Четырёхугольники»;

5. Решение задач повышенной сложности по теме «Четырёхугольники»;

6. Подведение итогов урока;

7. Домашнее задание.

Учитель: Перейдем ко второму пункту: обобщение и систематизация теоретических знаний по теме «Четырёхугольники».

2. Обобщение и систематизация теоретических знаний по теме «Четырёхугольники».

Каждому учащемуся раздается карточка №1

Карточка № 15

Четырёхугольник

Две пары Одна пара

параллельных сторон параллельных сторон

Все углы все стороны Боковые стороны Есть прямой

прямые равны равны угол

Все стороны Все углы

равны прямые

Задание №1. Заполните пропуски в карточке № 14.

Учитель: Вспомните, какая фигура называется четырёхугольником?

Ученик: Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.

Учитель: У какого четырёхугольника одна пара параллельных сторон?

Ученик: Трапеция - это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.(Ответ появляется на слайде №3)

Учитель: Как называется трапеция, у которой боковые стороны равны?

Ученик: Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой равны боковые стороны. (Ответ появляется на слайде № 3)

Учитель: Как называется трапеция, у которой есть прямой угол?

Ученик: Прямоугольная трапеция - это трапеция, один из углов которой прямой. (Ответ появляется на слайде № 3)

Учитель: Как называется четырехугольник, у которого есть две пары параллельных сторон?

Ученик: Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых. (Ответ появляется на слайде № 3)

Учитель: Как называется параллелограмм, у которого все углы прямые?

Ученик: Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые. (Ответ появляется на слайде № 3)

Учитель: Как называется параллелограмм, у которого все стороны равны?

Ученик: Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. (Ответ появляется на слайде № 3)

Учитель: У какой фигуры все стороны равны и все углы прямые?

Ученик: Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. (Ответ появляется на слайде № 3)

Слайд № 3

Задание 2. Заполните карточку № 2.

Карточка № 16

Свойства четырёхугольников.

1 Четырёхугольник.

A C

D

Свойства:

2. Трапеция.

B C

A D

Прямоугоная Равнобедренная

B C B C

A D A D

Свойства:

3. Параллелограмм.

B C

A D

Свойства:

4. Прямоугольник.

B C

A D

Свойства:

5. Ромб.

A C

D

Свойства

6. Квадрат.

B C

A D

Свойства:

Учитель: Какими свойствами обладает четырёхугольник?

Ученик: Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. (Ответ появляется на слайде № 4)

Учитель: Какими свойствами обладает равнобедренная трапеция?

Ученик: 1) В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. 2) В равнобедренной трапеции диагонали равны. 3) Высоты трапеции равны. 4) У равнобедренной трапеции AM = ND, тогда ∆ AMB= ∆ DNC. (Ответ появляется на слайде № 4)

Слайд № 4

Учитель: Какими свойствами обладает параллелограмм?

Ученик:

1.Противоположные стороны равны.

2.Противоположные углы равны.

3.Сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°.

4.Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

5.Биссектриса одного из углов параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

6. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (Ответ появляется на слайде № 5)

Слайд № 5

Учитель: Какими свойствами обладает прямоугольник?

Ученик: Диагонали прямоугольника равны. (Ответ появляется на слайде № 6)

Учитель: Какими свойствами обладает ромб?

Ученик: Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. (Ответ появляется на слайде № 6)

Учитель: Какими свойствами обладает квадрат?

Ученик:

1.Все углы квадрата прямые.

2.Диагонали квадрата равны, делят углы квадрата пополам, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. (Ответ появляется на слайде № 6)

Слайд № 6

Учитель: Теперь перейдем к 3 пункту нашего плана.

3. Проверка теоретических знаний учащихся по теме «Четырёхугольники».

Для проверки теоретических знаний, учащимся предлагается выполнить самостоятельную работу. На самостоятельную работу отводится 5 минут.

Карточка № 17

Вариант 1

Вариант 2

Какие из утверждений верны?

а) Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

б) У произвольного четырёхугольника диагонали равны.

в) Диагонали параллелограмма равны.

г) Диагонали ромба перпендикулярны.

д) У прямоугольной трапеции углы при основании равны.

е) У ромба стороны параллельны и не равны.

Какие из утверждений верны?

а) Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.

б) У прямоугольника диагонали равны.

в) Противоположные углы параллелограмма не равны.

г) Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

д) У равнобедренной трапеции углы при основании равны, а диагонали не равны.

е) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

Слайд № 7

Учитель: Теперь перейдем к 4 пункту плана.

4. Решение простейших задач по теме «Четырёхугольники».

Задание 3. Решите следующие задачи по готовому чертежу.

Задача №1. (Слайд № 8)

Слайд № 8

Учитель: Что в задаче дано и что требуется найти?

Ученик: В задаче дан параллелограмм ZSYX, также нам известен его периметр, он равен 31см. Так же еще известно, что SY = 8 см. В задаче требуется найти: ZX, ZS, XY.

Учитель: Решаем задачу с места (Ученик комментирует своё решение).

Ученик: Можем, потому что из свойства параллелограмма: противоположные стороны параллелограмма равны, следует, что и . Тогда . Отсюда следует:

Краткая запись решения:

1.

2. Т.к. ZSYX - параллелограмм, то и Тогда

Ответ: 8 см, 8 см, 7,5 см, 7,5 см.

Задача №2. (Слайд № 9)

Слайд № 9

Учитель: По рисунку, изображенному на слайде, ответьте, что в задаче дано и что требуется найти?

Ученик: В задаче дан ромб ABCD, также нам известно, что ACB =66°. В задаче требуется найти: D.

Учитель: Какие есть предложения по способу решения данной задачи?

Ученик: 1) Рассмотрим ∆ ABC и ∆ ADC.2) Т.к. диагональ ромба делит его на два равных треугольника, следовательно ∆ ABC = ∆ ADC. 3) Из равенства треугольников следует равенство ACB =BAC=66°. 4) Найти C. 5) По свойству: сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°, можем найти D.

Учитель: Есть ли еще один способ решения данной задачи?

Ученик: Да. 1) По свойству ромба: диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам, следует, что ACB =ACD. 2) По свойству: сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°, можем найти D.

Учитель: Вызывает двух учеников к доске.

Ученики: Решают одну и ту же задачу разными способами.

Краткое оформление задачи:

Дано: ромб ABCD

ACB =66°

Найти: D

Решение:

1.способ:

1. Рассмотрим ΔABC и ΔADC.

ΔABC = ΔADC (т.к. диагональ ромба делит его на два равных треугольника)

2. Т.к. ΔABC = ΔADC , то ACB =BAC=66°.

3. C = ACB +BAD = 132°

4. Т.к. сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, то D+C=180°  D=180°-132°=48°

Ответ: 48°

2.способ:

1. Т.к. ABCD - ромб, то по свойству ромба: диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам, следовательно ACB =ACD= 66°.

2. C = ACB +BAD = 132°

3. По свойству: сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°, то D=180°-132°=48°

Ответ: 48°.

Задача №3. (Слайд № 10)

Слайд № 10

Учитель: По рисунку, изображенному на слайде, ответьте, что в данной задаче дано и что требуется найти?

Ученик: В задаче дан параллелограмм ABCD, также нам известно, что A: B =2:7. В задаче требуется найти: A, B, C, D.

Учитель: Какие есть предложения по способу решения данной задачи?

Ученик: 1. Ввести коэффициент пропорциональности. 2. Учитывая свойство: сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, составим уравнение и решим его.3. Найдем все углы.

Учитель: Вызывает к доске двух учеников.

Ученики: У доски решают одну и ту же задачу, затем проверяют друг друга.

Краткая запись решения:

1. Т.к. параллелограмм ABCD, то AB= CD, BC= DA, A=C, B=D.

2. Пусть A=2x, тогда B= 7x.

3. Т.к. сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, то A+B= 180°. Следовательно, 2x+7x=180°, x=20°.

4. Если x=20°, то A=2x=40=C, а B= 7x=140°=D.

Ответ: 20°, 20°, 140°, 140°.

Задача №4. (Слайд № 11)

Слайд № 11

Учитель: По рисунку, изображенному на слайде, ответьте, что в данной задаче дано и что требуется найти?

Ученик: В задаче дан ромб ABCD, также нам известно, что в нем проведены диагонали и OBC=30°, AC =6см. В задаче требуется найти P.

Учитель: Какие есть предложения по способу решения данной задачи?

Ученик: 1) Рассмотрим ΔBOC - прямоугольный. 2) По свойству катета, лежащего угла в 30° найдём BC. 3) Найдём периметр.

Учитель: Вызывает к доске ученика.

Ученик: Решает задачу у закрытой доски, а затем сверяет решение с классом.

Краткая запись решения:

1. Т.к. ABCD - ромб, то AB+BC+CD+DA (по определению ромба) и т.к..

2. Рассмотрим ΔBOC - прямоугольный, (диагонали ромба перпендикулярны) 3. OC =3 см.

4. OBC=30°  (см).

4. Тогда .

Ответ: 24 см.

Задача №5. (Слайд № 12)

Слайд № 12

Учитель: По рисунку, изображенному на слайде, ответьте, что в данной задаче дано и что требуется найти?

Ученик: В задаче дана трапеция NMLK, также нам известно, что в нем N=72°, L=153°. В задаче требуется найти K, M.

Учитель: Решаем данную задачу самостоятельно.

Ученик: Сверяют решение с доской (слайд 13).

Краткая запись решение:

1.Т.к. NMLK - трапеция, то сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, следовательно, N+K= 180°, K=108°; L+M=180°, M=27°.

Ответ: 108°,27°.

Учитель: Теперь перейдем к 4 пункту плана.

5. Решение задач повышенной сложности по теме «Четырёхугольники»

Учитель: Перейдем к решению более сложных заданий.

Задача 1. (Слайд 13)

Слайд № 13

Учитель: Прочитайте задачу. О чем идет речь в задаче?

Ученик: О параллелограмме.

Учитель: Что в задаче известно про параллелограмм?

Ученик: Биссектриса одного из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых равна 10 см и что его стороны относятся как 4: 9.

Учитель: Что в задаче требуется найти?

Учитель: Сделайте чертеж, несите данные.

Ученик: Периметр параллелограмма.

Учитель: Какие есть предложения по способу решения данной задачи?

Ученик: 1) Ввести коэффициент пропорциональности. 2) Используя разность Р_BCDE - Р_АВЕ = 10 см, составить уравнение и решить его. 3) Найти стороны параллелограмма. 4) Найти периметр параллелограмма.

Учитель: Вызывает к доске ученика.

Ученик: Решает задачу у закрытой доски, с последующим объяснением всем учащимся.

Краткая запись задачи:

B C Дано: ABCD - параллелограмм

ВЕ - биссектриса, Р_BCDE - Р_АВЕ = 10 см

A E D АВ : ВС = 4 : 9

Рис.13 Найти: Р_АBCD.

Решение:

1. Т.к. ВЕ - биссектриса, то ΔABE - равнобедренный с основание BE.

2. Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда АВ = 4х, ВС = 9х, ЕD=5х.

3. Т.к. Р_BCDE = ВС + CD + DE + ВЕ, а Р_АВЕ = АВ + ВЕ + АЕ, то

Р_BCDE - Р_АВЕ = (ВС + CD + DE + ВЕ) - (АВ + ВЕ + АЕ) = ВС + CD + DE + ВЕ - АВ - ВЕ - АЕ = ВС+ DE - АЕ = 10 (см).

4.Составим и решим уравнение:

9х + 5х - 4х =10

10х = 10

х = 1

Значит, АВ = 4 см, ВС = 9 см

5. Р_BCDE = ВС + CD + DE + ВЕ , Р_АВЕ = АВ + ВЕ + АЕ, Р_BCDE - Р_АВЕ = (ВС + CD + DE + ВЕ) - (АВ + ВЕ + АЕ) = ВС + CD + DE + ВЕ - АВ - ВЕ - АЕ = ВС+ DE - АЕ.

6. Р_АBCD =2 ∙^.( АВ + ВС) = 26 (см).

Ответ: 26 см.

Задача 2. (Слайд 14)

Слайд № 14

Учитель: Прочитайте задачу. О чем идет речь в задаче?

Ученик: О трапеции.

Учитель: Что в задаче известно про трапецию?

Ученик^: Два противоположных угла трапеции относятся как 1 : 2, а два других - как 4 : 5

Учитель: Что в задаче требуется найти?

Ученик: Все углы трапеции.

Учитель: Какие есть предложения по способу решения данной задачи?

Ученик: 1) Ввести коэффициент пропорциональности xи y. 2) Выразить через них все углы. 3) Используя свойства: сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, составим систему уравнений. 4)Решим систему. 5) Найдем все углы..

Учитель: Вызывает к доске ученика.

Ученик: Один ученик объясняет подробное решение, а другой оформляет его у доски.

Краткая запись задачи:

K L Дано: KLMN - трапеция

M : К =1 : 2, N : L = 4 : 5

N M Найти: M, К, N, L

Рис. 14

Решение:

1. KLMN - трапеция К + N = M + L = 180⁰ (по свойству).

2. Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда M = х, К=2х. Пусть у - коэффициент пропорциональности, тогда N = 4у, L=5у. По условию задачи К + N = M + L = 180⁰.

3. Составим и решим систему уравнений:

Значит, M = 30⁰, К=60⁰, N = 120⁰, L=150⁰.

Ответ: M = 30⁰, К=60⁰, N = 120⁰, L=150⁰.

Задача 3. (Слайд 15)

Слайд № 15

Учитель: На слайде 15 дано условие задачи №3. Так же на слайде дан план решения данной задачи. Решите данную задачу самостоятельно. К доске вызывает ученика.

Ученик: Работает у доски с подробным объяснением задачи.

Краткая запись задачи:

E F Дано:

B C ABCD - параллелограмм

K L ВR, СТ, AF, DE - биссектрисы,

N M K, L, M, N - точки пересечения биссектрис

A T R D Доказать: KLMN - прямоугольник.

Рис. 15

Доказательство:

1. ABCD - параллелограмм, следовательно ВС || АD, СD || АВ (по определению), А =С, В= D (по свойству), тогда углы, образованные биссектрисами равны.

2. ВFA= BАF - накрест лежащие при ВС || АD и секущей AF (по свойству углов при параллельных прямых и секущей), тогда ВFA= BCT - соответственные при AF, CT и секущей BC, следовательно AF || CT (по признаку параллельности прямых).

3. CED= EDА - накрест лежащие при AВ || CD и секущей DE (по свойству углов при параллельных прямых и секущей), следовательно CED = CBR - соответственные при BR, ED и секущей BC, следовательно BR || ED (по признаку параллельности прямых).

4. BR || ED, AF || CT KLMN - параллелограмм (по определению)

5. С+ D = 180º90º= ( С+ D):2= С : 2+ D: 2 = MCD+ MDC = CMD CMD = KML = 90º (как вертикальные углы).

6. KLMN - параллелограмм LKN= KML = 90°(по свойству углов) KNM= KLM= 180º - 90º = 90º KLMN - прямоугольник (по определению)

Учитель: Теперь перейдем к 6 пункту плана.

6. Подведение итогов урока

Учитель: Повторим, что же мы сегодня вспомнили на уроке. (Слайд № 16)

Слайд № 16

Учитель: Какую тему мы сегодня повторили?

Ученик: Четырёхугольники.

Учитель: Какая фигура называется четырёхугольником?

Ученик: Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.

Учитель: Назовите свойства четырёхугольника?

Ученик: Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

Слайд № 17

Учитель: Какая фигура называется параллелограммом?

Ученик: Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.

Учитель: Назовите свойства параллелограмма.

Ученик:

1. Противоположные стороны равны.

2. Противоположные углы равны.

3. Сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°.

4. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

5. Биссектриса одного из углов параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

6. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Слайд № 18

Учитель: Какая фигура называется прямоугольником?

Ученик: Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Учитель: Назовите свойства прямоугольника.

Ученик: Диагонали прямоугольника равны.

Учитель: Какая фигура называется ромбам?

Ученик: Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Учитель: Назовите свойства ромба.

Ученик: Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Слайд № 19

Учитель: Какая фигура называется квадратом?

Ученик: Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Учитель: Назовите свойства квадрата.

Ученик:

1. Все углы квадрата прямые.

2. Диагонали квадрата равны, делят углы квадрата пополам, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Слайд № 20

Учитель: Какая фигура называется трапецией?

Ученик: Трапеция - это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Учитель: Какая трапеция называется равнобедренной?

Ученик: Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой равны боковые стороны.

Учитель: Какая трапеция называется прямоугольной?

Ученик: Прямоугольная трапеция - это трапеция, один из углов которой прямой.

Учитель: Назовите свойства равнобедренной трапеции.

Ученик:

1) В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

2) В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Учитель: Теперь перейдем к завершающему пункту - 7.

7. Домашнее задание

Учитель: Повторить виды, определения и свойства четырёхугольника. Решить следующие задачи:

Слайд № 21

Слайд № 22