Методические рекомендации для студентов по теме Преобразование тригонометрических выражений

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Пензенской области «Пензенский многопрофильный колледж»

отделение строительства

МАТЕМАТИКА

Преобразование тригонометрических выражений

Методические указания для студентов

Баннова О.В.

Пенза, 2014

Для преобразования тригонометрических выражений нет единого алгоритма, но необходимо обратить внимание на следующее:

1) если даны функции углов, больших , то приведите их к функциям углов ;

Для приведения функции произвольного угла к функции острого угла рекомендуется использовать следующий алгоритм:

1) произвольный угол преобразовать так, чтобы он принял одну из следующих форм: или , где острый угол;

2) для углов вида название функции сохранить, а для углов вида функцию поменять на кофункцию (синус заменить на косинус, тангенс на котангенс и т.д.);

3) знак в правой части формулы ставить тот, который принадлежит исходной функции, считая угол х острым.

2) если дана сумма или , то ее можно привести к произведению, применив соответствующие формулы (см. ниже)

3) если углы отличаются друг от друга в 2 раза, примените формулы двойного угла и приведите к функциям острого угла.

Чтобы доказать тождество, можете работать в одном из трех направлений:

1. Преобразуйте левую часть тождества и приведите ее к правой (или наоборот).

2. Перенесите правую часть тождества влево и приравняйте полученную левую часть к нулю.

3. Преобразуйте отдельно левую и правую части так, чтобы они были равны.

Замечание. При доказательстве тождеств предполагается, что преобразования выполняются на области допустимых значений выражений, входящих в тождество.

Основные тригонометрические тождества.

Формулы суммы и разности углов.

2.

3.

4. .c

Формулы двойных углов.

1.

2.

3.

4.

Формулы тройных углов.

1.

Формулы половинных углов

1. .

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Формулы суммы и разности тригонометрических функций.

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Пример 1. Доказать тождество

Решение. Умножим и разделим левую часть на , левую и правую части умножим на 8. Трижды воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получаем

Воспользовавшись формулами приведения, получим

Пример 2. Представить в виде произведения выражение

Решение. Если сгруппировать слагаемые в виде и воспользоваться формулами половинных и двойных углов, получим после преобразований слагаемые, содержащие общий множитель, который можно вынести за скобки, и дальше, воспользовавшись формулами дополнительного угла, преобразовать сумму двух косинусов в произведение:

Пример 3. Упростить выражение

Решение. Воспользовавшись формулами приведения, а также формулами двойных углов и сделав преобразования, упростим выражение

Пример 4. Доказать тождество

Решение. Сгруппируем 1-е и 4-е слагаемые, 2-е и 3-е:

Пример 5. Доказать тождество

Решение. Для доказательства воспользуемся формулой преобразования в сумму:

Воспользовавшись формулами приведения, формулами двойного угла и основным тригонометрическим тождеством, получим

Пример 6. Доказать тождество:

Решение. Преобразуем левую часть

.

Задания для самостоятельного решения.

1. Преобразовать в произведение:

2. Упростить выражение.

3. Доказать тождество.

1. а) , б)

2. a) , б) .

3. a), б) .

4. а) , б) .

5. а) , б)

6. а) , б)

7. а) , б) .

8. а) , б)

9. а) , б) .

10. а) , б) .

11. а) , б) .

12.