Программа курса по выбору «Конечные цепные дроби»

Приложение 2

Представление рациональных чисел цепными дробями

Определение. Целое число, являющееся делителем каждого целого числа, a₁, a₂, …, a_n , называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.

Пусть - рациональное число, причем b > 0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:

(1)

где неполным частным последовательных делений q₀, q₁, …, q_n-1 соответствуют остаткам r₁, r₂,…, r_n с условием b > r₂ > r₃ > … > r_n > 0, a - соответствует остаток 0. Системе равенств (1) соответствует равносильная система (2):

из которой последовательной заменой каждой из дробей и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде:

Полученное выражение называется конечной цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что q₀ - целое число, а q₁, …, q_n - натуральные числа.

Имеются различные формы записи цепных дробей:

.

.

Согласно последнему обозначению имеем

.

Числа называются элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было q_n > 1.

Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, при условии, что q_n > 1.

Доказательство:

1. Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при q_n > 1:

так что представление можно удлинить:

например, (2, 3, 1, 4, 2) = (2, 3, 1, 4, 1, 1).

2. Принимая условие q_n > 1, можно утверждать, что целая часть цепной дроби равна ее первому неполному частному q₀. В самом деле:

1. если n = 1, то (q₀) = q₀

2. если n = 2, то , q₁ > 1; поэтому .

3. если n > 2, то

где > 1, т.к. q₁ ≥ 1.

Поэтому и здесь . Докажем то, что рациональное число однозначно представляется цепной дробью , если
q_n > 1.

Пусть с условием q_n > 1, > 1. Тогда = , так что = . Повторным сравнением целых частей получаем , а следовательно, и так далее. Если , то в продолжении указанного процесса получим также . Если же , например , то получим
0 = , что невозможно.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия q_n > 1 между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

Замечания:

1. В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент , например, .

2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.

Пример: , так как = (3, 1, 4, 2), то (-2; 3, 1, 4, 2).

3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.

Пример: 5 = (5); 17 = (17).