Организация исследовательской деятельности на уроках математики ( с фрагментами уроков)

Организация исследовательской деятельности
обучающихся на уроках математики

Развитие информационного общества, научно-технические преобразования, рыночные отношения требуют от каждого человека высокого уровня профессиональных и деловых качеств, предприимчивости, способности ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и безошибочно принимать решения.

Государство перед школой ставит задачу подготовить школьников к жизни в этом быстро изменяющемся мире.

Совершенно очевидно, что школа не в состоянии обеспечить ученика знаниями на всю жизнь, он она может и должна вооружить его методами познания, сформировать познавательную самостоятельность.

В формировании многих качеств, необходимых успешному современному человеку, может большую роль сыграть школьная дисциплина - математика. На уроках математики школьники учатся рассуждать, доказывать, находить рациональные пути выполнения заданий, делать соответствующие выводы. Общепризнанно, что «математика - самый короткий путь к самостоятельному мышлению», «математика ум в порядок приводит» как отмечал М.В. Ломоносов.

Тревогу о будущем своих учеников всегда испытывают учителя, выпуская их в мир взрослых. Во многом на учителях лежит ответственность за желание детей учиться, за качество их образования, а в конечном итоге за успешную социализацию после окончания школы.

Школьнику необходимо получить добротное образование, уметь на протяжении всей своей жизни обновлять и пополнять знания, уметь реализовать свои лучшие качества, чтобы быть востребованным.

Учителя ищут эффективные пути и средства развития потенциальных возможностей школьников. Сейчас в школьной практике активно используются технологии развивающего обучения, согласно которым учитель не преподносит истину, а учит ее находить.

Основным методом всех технологий развивающего обучения является исследовательская деятельность учащихся.

В научно-методической литературе методы исследования называют также метод открытий, эвристическим методом и методом решения проблем.

Говорят: «Новое - хорошо забытое старое». Одним из самых первых сторонников метода открытия или исследования как основы обучения считают Яна Амоса Коменского. Но, пожалуй, самыми пламенными защитниками этого метода были российские педагоги и психологи начала XX века В.П. Вахтеров и Л.С. Выгодский.

И сегодня очень актуально звучат слова В.П. Вахтерова о том, что образован не тот, кто много знает, а тот, кто хочет много знать, и умеет добывать эти знания.

Он подчеркивал исключительную важность мыслительных умений школьников - умения анализировать, сравнивать, комбинировать, обобщать и делать выводы; важность умения пользоваться приемами научного исследования, хотя бы и в самой элементарной форме.

Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков. Необходимо прививать школьникам вкус к исследованию, вооружать их методами научно-исследовательской деятельности.

Исследовательская деятельность учащихся - это совокупность действий поискового характера, ведущая к открытию неизвестных для учащихся фактов, теоретических знаний и способов деятельности.

В качестве основного средства организации исследовательской работы выступает система исследовательских заданий.

Исследовательские задания - это предъявляемые учащимися задания, содержащие проблему; решение ее требует проведения теоретического анализа, применения одного или нескольких методов научного исследования, с помощью которых учащиеся открывают ранее неизвестное для них знание.

Цель исследовательского метода - «вызвать» в уме ученика тот самый мыслительный процесс, который переживает творец и изобретатель данного открытия или изобретения. Школьник должен почувствовать прелесть открытия.

Таким образом, исследовательский процесс - это не только логико-мыслительное, он и чувственно-эмоциональное освоение знаний.

Рассмотрим основные этапы учебного исследования.

Основные этапы учебного исследования

1) Мотивация - очень важный этап процесса обучения, если мы хотим, чтобы оно было творческим. Целью мотивации, как этапа урока, является создание условий для возникновения у ученика вопроса или проблемы. Одним из способов осуществления мотивации может служить исходная (мотивирующая задача), которая должна обеспечить «видение» учащимися более общей проблемы, нежели та, которая отражена в условии задачи.

2) Этап формулирования проблемы - самый тонкий и «творческий» компонент мыслительного процесса. В идеале сформулировать проблему должен сам ученик в результате решения мотивирующей задачи. Однако в реальной школьной практике такое случается далеко не всегда: для очень многих школьников самостоятельное определение проблемы затруднено; предлагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными. А поэтому необходим контроль со стороны учителя.

3) Сбор фактического материала может осуществляться при изучении соответствующей учебной или специальной литературы либо посредством проведения испытаний, всевозможных проб, измерения частей фигуры, каких-либо параметров и т.д. Пробы (испытания) не должны быть хаотичными, лишенными какой-либо логики. Необходимо задать их направление посредством пояснений, чертежей и т.п. Число испытаний должно быть достаточным для получения необходимого фактического материала.

Систематизацию и анализ полученного материала удобно осуществлять с помощью таблиц, схем, графиков и т.п. - они позволяют визуально определить необходимые связи, свойства, соотношения, закономерности.

4) Выдвижение гипотез. Полезно прививать учащимся стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придает высказываниям точность и лаконичность. Не нужно ограничивать число предлагаемых учащимися гипотез.

5) Проверка гипотез позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предложений, а может внести изменения в их формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения еще одного испытания. При этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность ее истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее справедливости.

6) На последнем этапе происходит доказательство истинности гипотез, получивших ранее подтверждение; ложность же их может быть определена с помощью контрпримеров. Поиск необходимых доказательств часто представляет большую трудность, поэтому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки.

В качестве иллюстрации учебного исследования приведу фрагмент урока геометрии по теме «Теорема Пифагора».

Мотивирующей (исходной) задачей может служить следующая задача: «Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?»

Анализируя математическую модель этой практической задачи, учащиеся формулируют проблему - нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.

Для решения этой проблемы можно организовать практическую работу исследовательского характера, предложив учащимся задание по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 12 и 5; 6 и 8; 8 и 15 см и измерить гипотенузу.

Результаты заносятся в таблицу.

Затем учащимся предлагается выразить формулой зависимость между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках. Школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются.

После установления зависимости между сторонами прямоугольного треугольника эмпирический вывод требует теоретического обоснования, т.е. доказывается теорема Пифагора.

В качестве домашнего задания по этой теме можно предложить исследовательскую работу со следующей мотивирующей задачей: «Кто же на самом деле открыл теорему Пифагор? Почему она долгое время называлась «теоремой невесты»? Существуют ли другие доказательства теоремы?»

Целью этой исследовательской работы - научить учеников использовать дополнительную литературу, применять Интернет в собственной образовательной деятельности.

Приведу несколько примеров мотивирующих задач.

При изучении темы «Сумма внутренних углов треугольника» в качестве исходного задания можно предложить такую задачу: «Построить треугольник по трем заданным углам:

1) А = 90^о, В = 60^о, С = 45^о;
2) А = 70^о, В = 30^о, С = 50^о;
3) А = 50^о, В = 60^о, С = 70^о».

Учащиеся, вооружившись линейкой и транспортиром, начинают строить треугольники. В первом случае, построив углы А и В и отложив угол в 45^о от луча АС (или ВС, кому как нравится), ребята увидят, что вместо треугольника получается четырехугольник. Во втором случае независимо от того, какие первые два угла школьники выбирают для построения, всегда получается треугольник, третий угол которого больше, либо меньше заданного. И только в третьем случае выстраивается треугольник по трем заданным углам.

По окончании уже можно выдвинуть предположение о сумме углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: «В каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов больше, в остроугольном или тупоугольном?» Практика показывает, что почти в каждом классе найдутся несколько человек, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по аналогии скажут, что сумма внутренних углов тупоугольного треугольника больше, чем остроугольного. Далее им предлагается на практике проверить свое утверждение.

На уроке геометрии по теме «Вычисление объемов тел с помощью интеграла» учащимся можно задать следующий вопрос: «Может ли фигура с бесконечной площадью дать при вращении тело с конечным объемом?» Учащиеся, скорее всего, ответят, что такое невозможно. Разубедить их помогает пример рассмотрения фигуры, ограниченной гиперболой y = 1 / x, осью Ох и прямой х = 1, которая вращается вокруг оси Ох.

Такое учебное исследование можно назвать «учебным расследованием». Расследование показывает учащимся, что наглядность, жизненный стереотип иногда приводят к ошибке, а может выручить лишь математика.

Математика дает широкое поле для исследования. Изучая математику, учащиеся кратко повторяют путь человечества, который оно прошло, добывая математические знания.

Например, рассматривая многогранники, учащиеся могут самостоятельно прийти к соотношению между числом вершин, граней и ребер для любого выпуклого многогранника, которое выражается известной формулой Эйлера.

Для эксперимента учащимся предлагаются модели различных выпуклых многогранников, используя которые, они заполняют таблицу.

Не следует предлагать учащимся вычислять значения готового выражения

В + Г - Р.

Больше пользы будет в том случае, если они сами, выполняя действия над числовыми характеристиками, получат требуемое равенство. Лишь в случае значительных затруднений можно оказать им некоторую помощь.

Иногда за урок удается решить одну крупную проблему, или же урок может содержать несколько мелких проблемных заданий.

Урок-исследование по теме «Свойства квадратного корня» можно провести в форме эвристической беседы, т.е. с помощью системы вопросов-ответов, в результате чего учащиеся «открывают» свойства квадратного корня.

Сначала задаются вопросы, нацеливающие учащихся на наблюдение за математическими объектами, на абстрагирование от несущественных свойств этих объектов.

1) Выполните действия и сравните полученные результаты:

2) Запишите в буквенной форме замеченное вами свойство.

Каковы допустимые значения входящих в записываемое равенство переменных?

3) Выполняется ли записанное вами равенство, если входящие в него множители не являются точными квадратами?

Теперь наблюдения учащихся должны оформиться в виде доказательств. К ним школьников подталкивают следующие вопросы.

4) Докажите ваше предположение, используя определение арифметического квадратного корня.

Чему равно выражение ?

Чему равно выражение ?

5) Как бы вы назвали доказанное свойство? Сформулируйте его в словесной форме.

6) Выполняется ли такое свойство для корня из произведения трех множителей?

7) Можно ли обобщить это свойство на случай произвольного числа сомножителей?

8) Имеет ли смысл выражение ?

9) Можно ли применить к нему свойство корня из произведения?

10) Как записать в буквенной форме равенство, позволяющее это сделать?

Работа класса продолжается исследованием свойства корня из дроби. Причем она проходит по вопросам, аналогичным тем, что приведены в пунктах 1-5. После того как сформулировано свойство арифметического корня из дроби, учащиеся демонстрируют на примерах применение этого свойства.

Следующий этап урока нужно посвятить предупреждению ошибок, которые учащиеся часто допускают в этой теме.

11) Существует ли свойство корня из суммы; корня из разности?

На описанном уроке происходит формирование таких исследовательских умений, как умение выдвигать гипотезу на основе анализа данных и по аналогии с известным решением. Учащимся приходится проводить доказательство утверждения с опорой на определение и посредством записи закономерности в буквенной форме.

Кроме уроков-исследований существуют также мини-исследования. В них присутствуют лишь некоторые исследовательские элементы. Выполнение задания занимает несколько минут.

Вот примеры совсем небольших проблем-вопросов: «Почему треугольник назван «треугольником»? Можно ли дать ему другое название, также связанное с его свойствами?»

«Как можно объяснить название «развернутый угол»?»

«В Древнем Египте после разлива Нила требовалось восстановить границы земельных участков, для чего на местности необходимо было уметь строить прямые углы. Египтяне поступали следующим образом: брали веревку, завязывали на равных расстояниях узлы и строили треугольники со сторонами, равными 3, 4 и 5 таких отрезков. Правильно ли они поступали?»

Использование исследований на уроках способствует сближению образования и науки, так как в обучение внедряются практические методы исследования объектов и явлений природы - наблюдения и эксперименты, которые являются специфичной формой практики. Их педагогическая ценность в том, что они помогают учителю подвести учащихся к самостоятельному мышлению и самостоятельной практической деятельности; способствуют формированию у школьников таких качеств, как вдумчивость, терпеливость, настойчивость, выдержка, аккуратность, сообразительность; развивают исследовательский подход к изучаемым технологическим процессам.

Задачи исследовательского характера

В этимологии слова «исследование» заключено указание на то, чтобы извлечь нечто «из следа», т.е. восстановить некоторый порядок вещей по косвенным признакам, случайным предметам. Следовательно, уже здесь заложено понятие о способности личности сопоставлять, анализировать факты и прогнозировать ситуацию. При исследовательской деятельности определяющим является подход, а не состав источников, на основании которых выполнена работа.

Суть исследовательской работы состоит в сопоставлении данных первоисточников, их творческом анализе и производимых на его основании новых выводов. Под исследовательской деятельностью в целом понимается такая форма организации работы, которая связана с решением учащимися исследовательской задачи с неизвестным заранее решением.

Наиболее часто на своих уроках я использую задачи исследовательского характера. Однако потенциал задач, имеющихся в учебниках, недостаточен для воспитания исследовательских умений. В своей работе мне приходится выбирать такие задачи, которые позволяют учащимся подойти к её решению с разных сторон, указать несколько её решений. Ставлю школьников в такие условия, чтобы они умели проводить исследование при рассмотрении каждой задачи.

1. Найти значения параметра m, при каждом из которых уравнение 2x² + 3x + m = 0 имеет два различных отрицательных корня.

Р е ш е н и е:

В соответствии с теоремой

D = 9 - 8m > 0

x1 x2 = > 0

x1 + x2 = - < 0

первое соотношение выполнено при m < , второе - при условии m > 0, а третье - при всех значениях m.

Ответ: m

2.Углом какой четверти является угол α, если

> 0?

Р е ш е н и е .

Заметим, что sinα и cosα не могут иметь в данном случае разные знаки, поскольку из данного неравенства следует, что если sinα и cosα разных знаков, то tgα и ctgα тоже должны быть разных знаков, чего быть не может.

Если же sinα и cosα имеют одинаковые знаки, то tgα и ctgα больше нуля. Значит имеем два случая:

1. sin α > 0 2. sin α < 0

cos α > 0 cos α < 0

tg α > 0 tg α > 0

ctg α >0 ctg α >0

В первом случае угол α принадлежит первой координатной четверти, во втором - третьей. Таким образом рассмотрены все случаи, значит α является углом первой или третьей четверти.

Ответ: m

2.Углом какой четверти является угол α, если

> 0?

Р е ш е н и е .

Заметим, что sinα и cosα не могут иметь в данном случае разные знаки, поскольку из данного неравенства следует, что если sinα и cosα разных знаков, то tgα и ctgα тоже должны быть разных знаков, чего быть не может.

Если же sinα и cosα имеют одинаковые знаки, то tgα и ctgα больше нуля. Значит имеем два случая:

1. sin α > 0 2. sin α < 0

cos α > 0 cos α < 0

tg α > 0 tg α > 0

ctg α >0 ctg α >0

В первом случае угол α принадлежит первой координатной четверти, во втором - третьей. Таким образом рассмотрены все случаи, значит α является углом первой или третьей четверти.

3. Найдите наименьшее значение функции g(x)=log₃(16-x²) на промежутке [0;].

Решение: Можно заметить, что на промежутке [0;] функция y=16-x² убывает, т.е. y(0) > y(). Функция g(t)= log₃t возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение на промежутке[0;] функция g(x)= log₃(16-x²) принимает в точке

x₀ = . g() = log₃(16 - ()²) = log₃(16-7) = log₃9 =2.

Урок-исследование 8 класс

Тема: Площадь треугольника

Цель урока: получить формулу площади прямоугольного и произвольного треугольника, научиться применять ее для решения практических и теоретических задач.

Необходимые принадлежности и оборудование: сигнальные таблички для команд, 4 чертежных треугольника для работы у доски, разноцветные карточки-оценки, карточки с заданиями.

Ход урока.

Перед началом урока класс делится на 4 команды. Парты расставляются таким образом, чтобы члены каждой команды могли общаться друг с другом. Каждой команде выдается сигнальная табличка, с помощью которой они будут показывать готовность к ответу. Каждый из ответов команды учитель оценивает и выдает соответствующую цветную карточку (красная карточка - 5, зеленая - 4, желтая - 3 и черная - 2).

Учитель показывает листочки с фигурами:

Задача: узнать площади этих фигур.

Чтобы узнать, надо - ? ... [измерить].

? Площади каких из этих фигур вы можете узнать сейчас?.

Итак, площади фигур 1 и 2 мы можем узнать, измерив длины их сторон и использовав формулы площадей прямоугольника и квадрата; площадь фигур 3 и 4 мы можем узнать, используя вторую аксиому площадей.

Чтобы узнать площадь фигуры 5 мы тоже могли бы воспользоваться 2 аксиомой площадей, т.е. разбить фигуру на более простые фигуры, площади которых мы можем измерять.

? Можно ли данную фигуру разбить на прямоугольники? на квадраты?

? На какие многоугольники можно разбить любой n-угольник? [треугольники]

Если бы мы смогли найти способ измерения площади треугольника, то мы бы нашли способ измерения площади любого n-угольника. Цель нашего урока - найти такой способ.

Любой исследование начинается с обобщения уже имеющихся знаний. Давайте вспомним, что мы знаем о треугольниках. (несколько фактов ребята предлагают сами, затем учитель задает наводящие вопросы)

? Вспомним, что называется высотой треугольника (отвечает команда, первая поднявшая сигнальную табличку).

На доске изображены треугольники:

В каждом треугольнике необходимо опустить высоту из вершины А на прямую, содержащую сторону ВС ( по 1 человеку от команды; команда 1 - первый треугольник, команда 2 - второй треугольник и т.д.).

? Как в данных случаях будет называться сторона ВС треугольника АВС. [основание]

? Вспомним, по какой формуле вычисляется площадь прямоугольника. (необходим ответ, в котором прозвучали бы "смежные стороны").

Командам выдается листочек с планом исследования. Выполняя задания в соответствии с этим планом, ученики все промежуточные действия и конечные выводы записывают в тетради.

План исследования.

I этап.

Конечная цель: формула площади прямоугольного треугольника.

Ход исследования.

1. Изобразить прямоугольник АВСD. Провести диагональ АС.

2. Сравнить треугольники АВС и ACD. Сравнить их площади.

3. На основе полученного вывода, второй аксиомы площадей и формулы для площади прямоугольника получить формулу площади прямоугольного треугольника.

II этап.

Конечная цель: выявить зависимость между высотой, основанием и площадью остроугольного треугольника.

Ход исследования.

1. Изобразить произвольный остроугольный треугольник.

2. Опустить высоту.

3. Используя вывод I этапа, получить формулу площади треугольника, в которой будут присутствовать высота и основание треугольника.

III этап.

Конечная цель: проверить, является ли полученная формула верной для тупоугольного треугольника, т.е. в том случае, когда высота треугольника не принадлежит его внутренней области.

Ход исследования составить самостоятельно.

После того, как команда получит конечную цель исследования этапа, капитан команды поднимает сигнальную карточку. Учитель вызывает 1 из членов команды к доске. Тот записывает на доске полученный результат, а в это время учитель проверяет записи в тетради ученика.

Итак, для того, чтобы узнать площадь треугольника, надо узнать его высоту и основание. Попробуйте измерить площади фигур, изображенных на рисунке, применив полученные на уроке знания. (командам выдаются картинки:

а)

в)

б)

г)

д)

е)

Площадь клетки считать равной 1ед².

На это задание отводится 5 мин. Подводятся итоги.

Конечное задание: измерить площадь фигуры 5. с точностью до 0,1.

П: №468; 469

Д/з : п.52, разобрать теорему и ее доказательство,№470, 472

Литература

1. Айзенк Ганс Ю., Эванс Д. Как проверить способности вашего ребенка. - М.: АСТ, 1998.
2. Безрукова В.С. Директору об исследовательской деятельности школы/Библиотека журнала «Директор школы»- М.: Сентябрь, 2002. №2.
3. Белов А. Об организации учебно-исследовательской деятельности в области математики// Внешкольник.1997. №7-8.
4. Брагинский И.А. Исследования юных. Научные общества учащихся в России. История и современность. - М.: Просвещение, 1997.
5. Дереклеева Н.И. Научно-исследовательская работа в школе. - М.: Вербум - М, 2001.
6. Долгих С. Школа собственных открытий// Народное образование. 2003. №6.
7. Журнал «Директор школы». Спецвыпуск.1997. №25.
8. Журнал «Директор школы»: 1998 №6; 2002 №2; 2003 №2.
9. Журнал «Математика в школе»: 2000 №5,6,9; 2001 №7; 2003 № 2-3; 2004 № 2.
10. Загвязинский В.И. Учитель как исследователь. - М.: Просвещение, 1980.
11. Поволяева М.Н. Творчество педагога - творчество ребенка//Внешкольник. 2000. №11.
12. Русских Г.А. Развитие учебно-исследовательской деятельности учащихся// Дополнительное образование.2001. №7-8.
13. Савенков А.И. Одаренный ребенок в массовой школе/ Библиотека журнала «Директор школы» - М.: Сентябрь, 2001.
14. Счастная Т.П. Рекомендации по написанию научно-исследовательских работ// Исследовательская работа школьников. 2003. №4.
15. И.В. Усачева, И.И. Ильясов. Формирование учебной исследовательской деятельности. - М., 1986.
16. Шумакова Н.Б. Исследование как основа обучения// Одаренные дети и современное образование. 2003. №5.