- Преподавателю
- Математика
- Рабочая программа элективного курса по математике 11 класс Решение задач повышенной трудности по математике
Рабочая программа элективного курса по математике 11 класс Решение задач повышенной трудности по математике
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Рабочие программы |
Автор | Фарихьянова А.Р. |
Дата | 24.10.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа д.Нуркеево
муниципального района Туймазинский район
Республики Башкортостан
-
Утверждаю:
Согласовано:
Рассмотрено на
Директор школы
Заместитель
заседании ШМО
МБОУ СОШ д. Нуркеево
директора по УВР
Гордеева О. А.
Фарихьянова А. Р.
Протокол № 1 от
___________
____________
25 августа 2015 г.
Приказ № 257 од от
2 сентября 2015 г.
2 сентября 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ
«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ»
11 КЛАСС
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ
НА 2015-2016 УЧЕБНЫЙ ГОД
Разработчик программы:
Фарихьянова А. Р.
учитель математики
высшей
квалификационной категории
д. Нуркеево
2015
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В соответствии с концепцией модернизации школьного образования элективные курсы являются обязательным компонентом школьного обучения.
Необходимость такого курса вызвана несколькими причинами:
-
результаты ЕГЭ приводят к выводу о том, что выпускники испытывают серьезные затруднения при решении уравнений с параметрами.
-
необходимостью формирования логического мышления и математической культуры у школьников;
-
тесной взаимосвязью таких задач с физическими процессами и геометрическими закономерностями.
Данный элективный курс знакомит учащихся с функционально-графическими методами решения алгебраических задач с параметрами и модулем. К сожалению, в школьной программе этим заданиям мало уделяется времени и практикум призван восполнить данный пробел. Одновременно, элективный курс призван, не только дополнять и углублять, знания учащихся, но и развивать их интерес к предмету, любознательность, логическое мышление.
Решение уравнений, неравенств и систем с параметрами и модулем открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.
Элективный курс рассчитан на 34 часа учебных занятий в 11 классе согласно учебного плана школы на 2015-2016 учебный год.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА:
-
изучение методов решения задач избранного класса и формирование умений, направленных на реализацию этих методов;
-
сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами и модулем, как задачах исследовательского характера, показать их многообразие;
-
научить применять аналитический метод и решение задач с параметрами и модулем;
-
научить приемам выполнения изображения на плоскости и их использованию в решении задач с параметрами и модулем;
-
научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор;
-
пробуждение и развитие устойчивого интереса к математике, повышение математической культуры учащихся;
-
привитие навыков употребления функционально-графического метода при решении задач;
-
способствовать подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.
ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ:
-
лекция;
-
беседа;
-
практикум;
-
консультация;
-
работа на компьютере.
ФОРМА ОБУЧЕНИЯ:
-
коллективная
-
групповая.
КОНТРОЛИРУЮЩИЙ МАТЕРИАЛ:
-
тесты.
Требования к знаниям и умениям: в результате изучения курса учащиеся должны уметь
-
решать линейные и квадратные уравнения с параметром;
-
строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;
-
решать иррациональные, логарифмические, тригонометрические, показательные уравнения с параметром как аналитически, так и графически;
-
применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач;
-
иметь четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.
ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ: в результате изучения курса учащиеся должны:
-
уметь решать линейные, квадратные уравнения и неравенства, система двух линейных уравнений с двумя переменными, несложные иррациональные уравнения с одним параметром при всех значениях параметра;
-
использовать в решении задач с параметром свойства квадратичной и линейной функции;
-
устанавливать свойства функции у = хр, у = и изображать их графики при различных значениях р и п;
-
изображать графики функции у = f(x-a) + b, y = af(bx) по известному графику функции у = f(x);
-
изображать графики функции
и уравнений
по известному графику функции у = f(x);
-
использовать графики функции и уравнений при изображении множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами неравенств;
-
овладеть методами решения задач с параметрами и модулем с использованием графических интерпретаций;
-
осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;
-
владеть техникой использования каждого метода.
ФОРМЫ КОНТРОЛЯ: домашние контрольные работы, рефераты и исследовательские работы.
СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
11 класс (34 часа)
1. Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля (2 часа). Что такое модуль числа? Модули и расстояния. Освобождение от модулей в уравнениях. Методы решения уравнений содержащих несколько модулей. Параллельное раскрытие модулей. Метод интервалов в задачах с модулями. Модули и квадраты.
2. Построение графиков, содержащих знак модуля (2 часа). Графики элементарных функций, содержащие знак модуля, как у аргумента, так и у функции; двойные модули; графики уравнений и соответствий, содержащие знак модуля. Знакомство и работа с компьютерными программами для построения графиков.
3. Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений (3 часа). Рациональные уравнения, однородные уравнения, симметрические уравнения, возвратные уравнения. Иррациональные уравнения: простейшие, уравнения с несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций. Показательные и логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.
Основная цель - систематизировать умения в решении рациональных и иррациональных уравнений; сформировать умения решать уравнения указанных видов с параметрами и модулем.
Изучение темы начинается с повторения курса основной школы - решения линейных, квадратных, дробных, иррациональных уравнений. Решению дробных уравнений предшествует введение понятий равносильности. Его появление требует обработки: основное внимание следует уделить процессу осмысления учащимися выполнение преобразований в ходе решения уравнений, приводящих к равносильным уравнениям.
4. Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов (2 часа). Решение неравенств методом интервалов. Неравенства с одним модулем. Освобождение от модуля в неравенствах. Способы решения рациональных неравенств: разложение на множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю и алгебраическое сложение дробей и т.д.
5. Простейшие задачи с параметрами (1 час). Понятие параметра. Две основных формы постановки задачи с параметром. Графическая интерпретация задачи с параметром. Методы решения простейших задач с параметрами.
6. Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена (2 часа). Условия существования корней квадратного трехчлена. Знаки корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка. Графическая интерпретация.
Основная цель - сформировать представление о методах решения задач с параметрами с использованием графических интерпретаций; научить анализировать исходные данные и на основе анализа осуществлять выбор метода решения.
7. Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами (2 часа). Решение задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или неравенства и «считывания» нужной информации с рисунка. Область определения. Множество значений. Четность. Монотонность. Периодичность. Симметрия графика относительно начала координат или оси ординат в зависимости от четности функции.
8. Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений. (1 час). Демонстрация приёма составления задач с параметром методом «от картинки к задаче».
9. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств (2 часа). Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство. «Полезные неравенства»: сумма двух взаимно обратных чисел, неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.
10. Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а (2 часа). Основные приемы решения уравнений: тождественные преобразования, замена переменной. Равносильность уравнений. Исключение «посторонних» корней. Приемы решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
11. Графический способ решения уравнений и неравенств (2 часа). Работа по построению графиков с помощью компьютерных программ Advanced Grapher, школьный графопостроитель - 1С, Математика + от AV.
Основная цель - систематизировать знания учащихся о функциях у = хр (р R, р0), у = (п N, п2); научить выполнять построение графиков с использованием параллельного переноса , растяжения и сжатия, симметрии.
При изучении делается акцент на обоснование каждого из преобразований графиков. Далее отрабатываются правила построения.
Особое внимание уделяется обработке навыков: построения области, заданных неравенствами, системами неравенств; выполнение необходимых преобразований ( в том числе выражений, содержащих несколько модулей), Направленных на приведение уравнений или неравенств к виду, удобному для изображения линий или областей, заданных уравнениями или неравенствами соответственно.
12. Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений (2 часа). Основные приемы решения систем уравнений и неравенств: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Системы неравенств с одной и двумя переменными. Сравнение графического и алгебраического способов решения уравнений и неравенств. Уравнения, неравенства и системы с параметрами, их решение и исследование.
13. Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум (2 часа). Производная сложной функции. Производная и касательная. Вторая производная. Исследование функций с помощью производной. Применение производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.
14. Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей (4 часа). Перенос метода интервалов с прямой на плоскость. Обобщенный метод областей. Нахождение площади фигур, ограниченных неравенством. Применение метода областей к решению уравнений и неравенств с параметрами и модулем, и их комбинации.
15. Нетрадиционные задачи. Задачи группы "С" из ЕГЭ (5 часа). Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. Задачи с параметром. От общего к частному и обратно. Задачи с: логическим содержанием. Практикум по решению задач, относящихся к группе «С», входящих в контрольно измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Разбор методов и способов решения заданий.
Возможные критерии оценок.
Критерии при выставлении оценок могут быть следующие.
Оценка «отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно.
Оценка «хорошо» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.
Оценка «удовлетворительно» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ.
-
Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрамив ЕГЭ.
Санкт- Петербург, Москва. 2006.
-
Шахмейстер А.Х. Урвнения и неравенства с параметрами.
Санкт- Петербург, Москва. 2006.
-
Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. - Минск.: Асар, 1996.
-
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для школ и классов с угулб. изуч. матем. - М.: Просвещение, 1995.
-
Гуськова Л.Н. Уравнения с параметрами. Методическое пособие. Казань 2006.
-
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия решения. -М.: Школа-Пресс, 1994.
-
Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе: Пособие для учителя. -М.: Просвещение, 1996.
-
Иванов А.П. Тесты и контрольные работы для систематизации знаний по математике: Учебное пособие для абитуриентов. Ч. 1 и 2. - Пермь: Изд-во Перм. Ун-та, 2000.
-
Литвиенко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. - М.: ABF, 1995.
-
Лысенко Ф.Ф. ЕГЭ. Тесты. 2010.
-
Федеральный институт педагогических измерений. ЕГЭ математика. Новая версия. 2010.
-
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. - М.: Просвещение, 1999.
-
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 1995.
-
Фельдман Я.С., Жаржевский А.Я. Математика. Решение задач с модулями: Пособие для абитуриентов и старшеклассников. - СПб.: Оракул, 1997.
Календарно-тематическое планирование
§
Тема
Кол-во часов
Дата по плану
Дата фактически
Приложение
1 модуль - 5 часов
1
Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.
1
2.09
2
Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.
1
9.09
3
Построение графиков, содержащих знак модуля
1
16.09
4
Построение графиков, содержащих знак модуля
1
23.09
5
Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.
1
30.09
2 модуль - 4 часов
6
Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.
1
14.10
7
Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.
1
21.10
8
Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.
1
28.10
9
Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.
1
11.11
3 модуль - 6 часов
10
Простейшие задачи с параметрами.
1
25.11
11
Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.
1
2.12
12
Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.
1
9.12
13
Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.
1
16.12
14
Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.
1
23.12
15
Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений.
1
30.12
4 модуль - 6 часов
16
Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.
1
13.01
17
Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.
1
20.01
18
Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а.
1
27.01
19
Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром а.
1
3.02
20
Графический способ решения уравнений и неравенств.
1
10.02
21
Графический способ решения уравнений и неравенств.
1
17.02
5 модуль - 6 часов
22
Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.
1
2.03
23
Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.
1
9.03
24
Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.
1
16.03
25
Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.
1
23.03
26
Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей
1
30.03
27
Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей
1
6.04
6 модуль - 6 часов
28
29
Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей
1
20.04
30
Нетрадиционные задачи.
Задачи группы "С" из ЕГЭ.
1
27.04
31
Нетрадиционные задачи.
Задачи группы "С" из ЕГЭ.
1
4.05
32
Нетрадиционные задачи.
Задачи группы "С" из ЕГЭ.
1
11.05
33, 34
Нетрадиционные задачи.
Задачи группы "С" из ЕГЭ.
2
18.05
25.05
Приложение
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Задание 1. Решите при всех значениях параметра а уравнение
ах = 2х + 5.
Решение.
Необходимо решить линейное уравнение с параметром. Сначала перенесем все неизвестные слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые. Получим (а - 2) х = 5.
Чтобы найти значение х, в данном случае надо разделить уравнение на (а - 2). При всех ли значениях параметра а мы можем уравнение разделить на (а - 2)? Нет.
При а = 2 выражение а - 2 обращается в нуль, поэтому значение параметров а = 2 является «особым» - контрольным значением параметра. Рассмотрим это значение отдельно.
При а = 2 (2 - 2)х = 5; 0х = 5 - уравнение решений не имеет.
Теперь а 2, и, чтобы выразить х, делим обе части уравнения на
(а - 2).
При а 2 получим х = .
Ответ: при а = 2 решения нет; при а 2 х = .
Задание 2. Решите при всех значениях параметра а неравенство
ах 2х + 5.
Решение.
Необходимо решить линейное неравенство с параметром. Перенесем все неизвестные слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые. Получим (а - 2)х 5.
Чтобы найти значение х, надо разделить обе части неравенства на
(а - 2). При всех ли значениях параметра а мы можем неравенство разделить на (а - 2)?
При а = 2 выражение а - 2 обращается в нуль.
Рассмотрим это значение отдельно.
При а = 2 (2 - 2)х 5; 0х 5. Это неравенство верно при любых значениях х, поэтому решением исходного неравенства при а = 2 является промежуток (-.
Теперь а 2. Для того чтобы выразить х, надо разделить неравенство на (а - 2).
Существенным отличием решения линейного неравенства с параметром от решения линейного уравнения с параметром является то, что знак неравенства при делении обеих частей неравенства на выражение с неизвестным может измениться на противоположный или не изменится.
Поэтому при делении неравенства на выражение с параметром надо учитывать знак этого выражения.
Если а - 2 < 0, то знак неравенства придется изменить; если а - 2 > 0, то знак неравенства не меняется.
При а < 2 х (знак неравенства изменился)
При а > 2 х (знак неравенства не изменился).
Ответ: при а = 2 х (); при а < 2 х ; при а > 2 х .
Найдите все значения a, при каждом из которых решения неравенства
УРАВНЕНИЕ С МОДУЛЕМ
Уравнения и неравенства с модулем можно решать графически. Для этого выражения, содержащие параметр, переносят в одну часть уравнение (неравенства) и строят графики функции левой и правых частей уравнения (неравенства)
Задание 3. Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства
образуют отрезок длины 1.
Решение.
Перенесем единицу:
.
Построим схематично графики функции и .
На рисунке видно, что неравенство имеет решение только при или .
1)
Решения образуют отрезок длины 1, если - (а + 4) = 1, откуда
а =
2)
Решения образуют отрезок длины 1, если а + 2 , откуда
Ответ: а =
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Число корней квадратного уравнения определяют по знаку дискриминанта:
Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня;
Если D = 0, то уравнение имеет один корень (или два совпавших);
Если D < 0, то уравнение не имеет корня.
Задание 4. При каких значениях параметра а уравнение
4х2 - 4ах + 1 = 0: 1) имеет два различных корня; 2) имеет два корня; 3) не имеет корней?
Решение.
Найдем дискриминант исходного уравнения.
D = 16 а2 - 4 • 4 • 1 = 16 а2 - 16.
1) Так как уравнение имеет два различных корня, то
D = 16 а2 - 16 > 0, а2 > 1. Получим
а
2) Так как уравнение имеет два корня, не обязательно различных, то
D = 16 а2 - 16, а2 1 и а
3) Так как уравнение не имеет корней, то
D = 16 а2 - 16 < 0, а2 < 1 и а(-1;1).
Ответ: при а уравнение имеет два различных корня; при а уравнение имеет два корня; при а(-1;1) уравнение не имеет корней.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим решение иррационального уравнения с параметром.
Задание 5. Укажите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет единственное решение.
Уравнение имеет единственное решение, если:
-
D = 0 и х1 = х2 3.
-
D > 0 и один из корней меньше 3, а другой больше 3, то есть, как говорят, 3 разделяет корни.
1.
При а = - х1 = х2 = .
2. Рассмотрим функцию f(x) = x2-7x + 9 - 2a. Изобразим схематично график функции f(x) (параболу) с указанными свойствами (3 разделяет корни).
Имеем следующее условие: f(3)< 0.
Решим неравенство: f(3)< 0, так как f(3) = -3 - 2а < 0, то а > - 1,5.
Итак, условиям задачи удовлетворяют следующие значения а: , а > - 1,5. Наименьшее целое из них равно -1.
Ответ: - 1.
Задачи с параметром
1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение
(a - 1)x2 + 2x + a - 1 = 0
имеет ровно один корень?
1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a2 - 8a = 0,
откуда a = 0 или a = 2.
1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a {0; 1; 2}.
2. Задача.
Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение
x2+4ax+8a+3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a2-4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда
a < 1 -
7
2
или a > 1 +
7
2
2. Ответ:
a (-; 1 -
7
2
) (1 +
7
2
; ).
3. Задача.
Известно, что
f2(x) = 6x-x2-6.
а) Постройте график функции f1(x) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+cимеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.
4. Задача.
Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a 0 содержит отрезок [3;6].
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x) 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем
a 3,
f(3) = 9-9a 0,
3 < a < 6,
D = 4a2+12a 0,
a 6,
f(6) = 36-15a 0.
Решением первой системы является множество (-∞,1]. Вторая и третья система решений не имеют.
4. Ответ: a (-,1].
5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение
x2+2ax-3a+7 = 2x
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.
5. Ответ: 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a, при которых график функции
f(x) =
x2+ax+2
a-1
проходит через точку с координатами (-1;1).
6. Решение.
Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение
1 =
1+-a+2
a-1
,
или, после очевидных преобразований, a-2 = 2-a. Последнее уравнение равносильно неравенству a 2.
6. Ответ: a [2;).
7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения
x2-2ax+a2-a = 0
больше чем 12?
7. Решение.
Дискриминант уравнения x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 =a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a 0, являются числа a > 2.
7. Ответ: a > 2.
Контрольные материалы.
Самостоятельная работа 1.
Решить и исследовать уравнения с параметром:
I. ;
II. ;
III. ;
IV. ;
Самостоятельная работа 2.
Решить и исследовать уравнения с параметром:
I. ;
II. ;
III. ;
IV. ;
Тренировочная работа
-
Исследуйте уравнение на знаки корней в зависимости от значений параметра .
-
При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей?
-
Выяснить, при каких значениях параметра оба корня уравнения меньше единицы?
-
Выяснить, при каких значениях параметра оба корня уравнения больше .
Самостоятельная работа 3.
Решить и исследовать уравнения с параметром.
I.
II.
III.
IV.
Зачётная работа.
-
Исследовать и решить уравнения с параметром
-
Исследовать и решить систему с параметром
-
при каких значениях параметра уравнение имеет корни и такие, что , ?
-
Исследовать и решить неравенство с параметром
.
Итоговая контрольная работа (2ч)
( I уровень)
1.Исследовать и решить уравнение с параметрами.
2.Исследовать и решить систему уравнений с параметром.
3. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет только два решения.
-
Уравнение имеет решения. Найдите эти решения и укажите, при каких это возможно
II уровень
1.Исследовать и решить уравнение с параметрами.
-
Исследовать и решить систему уравнений с параметром.
-
При каких значениях параметра уравнение имеет только два корня.
-
При каких значениях параметра уравнение имеет решение.