Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика

Департамент образования и науки Приморского края

КГБ ОУ СПО

«Приморский промышленно-экономический техникум»

комплекТ методических указаний

по выполнению практических РАБОТ

по дисциплине

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

«Математический и естественнонаучный цикл»

по специальности СПО 230401 «Информационные системы»

для студентов очной формы обучения

Лесозаводск, 2013

Согласовано

Зам.директора по учебно-методической
и научной работе____________/Е.А.Волохотюк/

«____»____________20__ г.

Рассмотрено и утверждено
на заседании УМК
протокол №_______
от «____»______________20__ г.
Председатель УМК ____________/_________/

Пояснительная записка.

Цель настоящего пособия - оказать помощь учащимся в подготовке и при выполнении практических работ, а также облегчить работу преподавателя по организации и проведению практических занятий. Пособие содержит описание всех предусмотренных программой практических работ.

Практические работы по дисциплине предназначены для закрепления и обобщения знаний, полученных по изучаемой теме или нескольким темам, связанным между собой.

Программой учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» предусмотрено выполнение 11 практических работ, направленных на формирование следующих знаний, умений и компетенций:

Умение:

• вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики;

• использовать методы математической статистики.

Знание:

• основ теории вероятностей и математической статистики;

• основных понятия теории графов

компетенции:

Код компетенции

Формируемые компетенции

Общекультурные компетенции

ОК 1.

Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2.

Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3.

Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4.

Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5.

Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6.

Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7.

Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8.

Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9.

Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10.

Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Профессиональные компетенции

ПК 1.1

Собирать данные для анализа использования и функционирования информационной системы, участвовать в составлении отчетной документации, принимать участие в разработке проектной документации на модификацию информационной системы.

ПК 1.2.

Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности.

ПК 1.4

Участвовать в экспериментальном тестировании информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать выявленные ошибки кодирования в разрабатываемых модулях информационной системы.

ПК 2.3

Применять методики тестирования разрабатываемых приложений.

Для более эффективного выполнения практических работ необходимо повторить соответствующий теоретический материал. Для получения более подробной информации по основным вопросам учебной дисциплины в конце методических рекомендаций приведен перечень информационных источников.

В ходе работы разрешается использование калькулятора и справочного пособия.

После работы каждый работы учащийся в специальной тетради составляет отчет по следующей схеме:

1. Дата, наименование работы и её номер

2. Условие задания.

3. Выполненные вычисления.

4. Ответы на контрольные вопросы.

В конце каждого урока преподаватель ставит зачет, который складывается из результатов наблюдения за выполнением практической части работы, проверки отчета, беседы в ходе работы или после нее.

Все практические работы должны быть выполнены и защищены в сроки, определяемые программой или календарным планом преподавателя. Учащиеся, не получившие зачет, к экзамену не допускаются.

Проводить практические работы целесообразно в порядке изучения программного материала.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Практическая работа № 1

«Элементы комбинаторики»

Практическая работа № 2

«Классическая формула вероятности».

Практическая работа № 3

«Вычисление вероятностей сложных событий. Вычисление полной вероятности».

Практическая работа № 4

«Теорема Бернулли»

Практическая работа № 5

«Запись распределения ДСВ, заданных содержательным образом»

Практическая работа № 6

«Численные характеристики ДСВ»

Практическая работа № 7

«НСВ и ее плотность распределения».

Практическая работа № 8

«Числовые характеристики НСВ».

Практическая работа № 9

«Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения, её свойства и график. Статистические оценки параметров распределения»

Практическая работа № 11

«Расчет коэффициентов корреляции и построение уравнения регрессии»

Практическая работа № 1«Элементы комбинаторики»

Цель работы: научиться распознавать типы соединений и вычислять их; научиться решать простейшие комбинаторные задачи.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методическая разработка, конспект лекций.

План работы:

1. Ознакомиться с темой и целью работы.

2. Повторить краткий теоретический материал.

3. Выполнить входной контроль.

4. Ознакомиться с заданием работы.

5. Выполнить работу.

6. Ответить устно на вопросы для самоконтроля.

Теоретический материал.

Комбинаторика- раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

Правило умножения (основной принцип): если из некоторого конечного множества первый объект (элемент )можно выбрать способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент )можно выбрать способами, то оба объекта (и )в указанном порядке можно выбрать способами.

Этот принцип, очевидно, распространяется на случай трех и более объектов.

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2,3,4,5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторятся?

Решение. Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном числе). После того как первое место занято, например, цифрой 2, осталось четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 5 . 4 . 3 = 60 способов расстановки цифр, т. е. искомое количество трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, ... ) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5 . 5 . 5 = 125. (Вот некоторые из них: 255, 333, 414, 111, ... )

Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать способами, а объект можно выбрать способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (или ), можно выбрать способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Пример 2. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14·13 = 182 способами, а двух юношей - 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет 182 + 30 = 212 .

Решение вероятностных (и не только их) задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте (эксперименте), состоящем в выборе наудачу элементов из различных элементов рассматриваемого множества.

Размещениями из элементов поэлементов называются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Число размещений из элементов по элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

(1)

или

, где , . (2)

Пример 3.Составить различные размещения по 2 из элементов множества ; подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: , , , , , . Согласно формуле (1) их число: = 3·2 = 6 .

Перестановками из элементов называются размещения из элементов по элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком элементов.

Число перестановок из элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

. (3)

Пример 4.Составить различные перестановки из элементов множества ; подсчитать их число.

Решение. Из элементов данного множества можно составить следующие перестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По формуле (3) имеем: = 3! = 1·2·3 = 6 .

Сочетаниями из элементов поэлементов называются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. Эти соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается.

Число сочетаний из элементов по элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

. (4)

Пример 5.Составить различные сочетания по 2 из элементов множества ; подсчитать их число.

Решение. Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по два элемента: , , . Их число: .

Входной контроль:

Выполните тест.

№

ВОПРОС, ЗАДАНИЕ

А

В

С

ВЛАДЕНИЕ АЛГОРИТМАМИ

1

Найти значение выражения:

182

27

2184

2

Найти значение выражения

3

Решить уравнение

х=12

х=5

х=6

4

Если объект А можно выбрать х способами, а объект В - у способами, то каким количеством способов можно выбрать объект «А и В» ?

х

х+у

5

Каждое расположение n элементов в определенном порядке называется…

Размещением

Перестановкой

Сочетанием

6

Любое множество, состоящее из элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов, называется…

Размещением

Перестановкой

Сочетанием

7

Любое множество, состоящее из элементов, взятых из данных n элементов, называется…

Размещением

Перестановкой

Сочетанием

8

Если объект А можно выбрать х способами, а объект В - у способами, то каким количеством способов можно выбрать объект «А или В»?

х+у

ху

х или у

9

В команде 15 человек. Сколькими способами тренер может выбрать 5 человек для участия в соревнованиях?

3

273

32760

ПОНИМАНИЕ

10

Из группы учеников, в которую входят А, В, С и К, учитель выбирает двоих для участия в конкурсе. Чем будут отличаться пары?

Только составом

Только порядком

Составом и порядком

11

Из цифр «1», «2» и «3» составили такие комбинации : 12; 13; 23. Как называются такие комбинации?

Размещения

Сочетания

Перестановки

12

Из цифр «1», «2» и «3» составили такие комбинации : 123; 133; 231; 213; 312; 321. Как называются такие комбинации?

Размещения

Сочетания

Перестановки

13

Из цифр «1», «2» и «3» составили такие комбинации : 12; 13; 21; 31; 32; 23. Как называются такие комбинации?

Размещения

Сочетания

Перестановки

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

14

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр «9», «6», «4» и «7» без повторения их в записи числа?

24

120

252

15

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр «9», «6», «4» и «7» без повторения их в записи числа?

24

4

3

16

В классе 10 мальчиков и 11 девочек. Для участия в конкурсе необходимо выбрать трех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

4900

3960

252000

Задания для практической работы..

Вариант 1.

1. Вычислить:

1. 7!

2. 

3. 

2. Сократите дробь:

3. Решите уравнение: 2

4. Решите задачи:

1. Сколькими способами можно расставить девять книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?

2. Необходимо выбрать в подарок четыре книги из десяти. Сколькими способами это можно сделать?

3. По списку в классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать троих дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать при условии, что пару обязательно должны составить мальчик и девочка.

Вариант 2.

1. Вычислить:

1. 4!

2. 6!-5!

3. 

2. Сократите дробь:

3. Решите уравнение: n!=7(n-1)!

4. Решите задачи:

1. Студент сдает в сессию 3 экзамена. Сколько существует различных комбинаций оценок, которые он может получить?

2. Сколькими способами можно купить набор из трех пирожных, если в продаже имеются 4 сорта пирожных и пирожные в наборе могут повторяться?

3. Сколько различных вариантов четных четырехзначных чисел, в записи которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2, 3. 4?

Вариант 3.

1. Вычислить:

1. 6!

2. 

3. 

2. Сократите дробь:

3. Решите уравнение:

4. Решите задачи:

1. Сколькими способами можно выбрать старосту и профорга в группе студентов из 24 человек?

2. Сколькими способами из группы в 24 человека можно выбрать трёх делегатов на конференцию?

3. Сколькими способами можно выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?

Вариант 4.

1. Вычислить:

1. 9!

2. 

3. 

2. Сократите дробь:

3. Решите уравнение:

4. Решите задачи:

1. Имеется пять видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой?

2. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать. Сколькими способами ученик может выбрать из них шесть?

3. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом 1-й и 2-й тома не стояли рядом?

Вариант 5.

1. Вычислить:

1. 5*6!+6*5!

2. 

3. 

2. Сократите дробь:

3. Решите уравнение:

4. Решите задачи:

1. В шахматном кружке занимается 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира:

   1. команду из четырех человек?

   2. команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвертой досках?

2. Сколько различных шестизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры 5 и 6 в числе должны стоять рядом?

Вопросы для самоконтроля.

1. Как называется раздел математики, который занимается решением задач, связанных с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств?

2. Что называют факториалом?

3. Что называют перестановкой?

4. Чем отличается сочетание от размещения?

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности».

Цель: закрепить и проверить ЗУН учащихся по нахождению вероятности события по классической формуле.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методическая разработка, конспект лекций.

План работы:

1. Ознакомиться с темой и целью работы.

2. Повторить краткий теоретический материал.

3. Выполнить входной контроль.

4. Ознакомиться с заданием работы.

5. Выполнить работу.

6. Ответить устно на вопросы для самоконтроля.

Входной контроль:

Выполните тест.

1. Какое из следующих событий достоверное:
   а) попадание в мишень при трех выстрелах
   б) появление 17 очков при бросании трех игральных костей
   в) появление не более 18 очков при бросании трех игральных костей

2. Какое из событий является частью другого события:
   а) попадание в мишень первым выстрелом
   б) попадание в мишень, по меньшей мере, одним из четырех выстрелов
   в) попадание в мишень не более чем 5 выстрелами

3. Событие А - «попадание в мишень первым выстрелом».
   Событие В - «попадание в мишень вторым выстрелом».
   В чем состоит событие А+В?

4. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным: из 25 учащихся класса двое празднуют день рождение:

   1. 30 января;

   2. 30 февраля.

5. Укажите, какие из описанных пар событий являются совместными, а какие - несовместными: брошена игральная кость. На верхней грани оказалось:

   1. 6очков и 5 очков;

   2. 6 оков, четное число очков.

Краткий теоретический материал.

Предмет теории вероятностей - изучение вероятностных закономерностей, возникающих при рассмотрении массовых однотипных случайных событий.

Событие - это любое явление, в отношении которого имеет смысл говорить, наступило оно или ненаступило, в результате определенного комплекса условий или случайного эксперимента. Обозначаются события заглавными латинскими буквами .

Вероятностьюсобытия называется отношение числа - элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события , к числу - всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 1. Найти вероятность, что при бросании монеты выпадет герб.

Решение. При бросании монеты имеются два равновозможных исхода: "выпадение герба" и "выпадение решки" . Для события - "выпадение герба" благоприятен только один из них . Значит, вероятность .

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей

Можно выделить следующие виды случайных событий:

Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит при каждом осуществлении определенной совокупности условий. Вероятность достоверного события равна единице: .

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет ни при одном осуществлении данной совокупности условий. Вероятность невозможного события равна нулю: .

Событие называется случайным, если оно может произойти, а может и не произойти при осуществлении данной совокупности условий.

События называются несовместными, если их одновременное появление при осуществлении комплекса условий невозможно, т.е. появление события в данном испытании исключает появление события в этом же испытании.

События называются единственновозможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Если событие - какое-либо событие, то событие, состоящее в том, что событие не наступило, называется противоположным событию и обозначается как .

События, происходящие при реализации определенного комплекса условий или в результате случайного эксперимента, называются элементарнымиисходами.

Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных элементарных исходов.

Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области g к площади области G, т. е.

Область g называется благоприятствующей (благоприятной) событию A.

Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок) и трехмерной (некоторое тело в пространстве). Обозначая меру (длину, площадь, объем) области через mes, можно записать

Примеры:

1. В некоторой точке C линии AB длины L произошел разрыв. Какова вероятность того, что точка C удалена от точки A на расстояние не меньше ?

Решение.

Расположим отрезок AB на числовой оси Ox так, как изображено на рис. 2.

Рис. 2

Пусть x - координата случайной точки C отрезка AB, . Ясно, что исходов опыта (разрыв линии AB в точке C) бесчисленное множество и все они равновозможны. На отрезке AB возьмем точку M, расстояние которой от точки A, равно .

Очевидно, что событие A={точка C удалена от точки A на расстояние не меньше } произойдет, если точка C попадет на отрезок MB=[,L].

Таким образом, областью, благоприятствующей наступлению события A (на рис. 2 она заштрихована), является отрезок MB, а множеству исходов опыта соответствует отрезок AB=[0,L].

Тогда по формуле (3)

.

2. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 5 элементов (книг), т. е. = 5! = 1·2·3·4·5 = 120.

3. Сколько «слов» по две буквы можно составить из букв a, b, c, d, e, таким образом, чтобы буквы в «словах» не повторялись?

Решение. Т.к. каждое «слово» должно содержать две буквы, то искомое число способов равно числу размещений из 5 элементов (букв) по две, т. е..

4. Сколькими способами можно выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?

Решение. Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то красную гвоздику можно выбрать способами. Выбрать две розовые гвоздики из имеющихся четырех можно способами. Поэтому букет из одной красной и двух розовых гвоздик можно составить, по правилу умножения, способами.

5. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры, и помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что номер телефона набран правильно.

Решение. Благоприятствующий исход здесь один - правильный набор последних цифр . Всех возможных исходов здесь будет столько, сколько можно составить комбинаций из 3 цифр, порядок которых имеет значение, значит . Значит вероятность того, что номер набран правильно (событие ): .

6. Среди 100 колес 5 нестандартных. Для контроля выбирается 7 колес. Найти вероятность того, что среди них ровно 3 будет нестандартных.

Решение. Число всевозможных исходов равно количеству комбинаций из 100 колес по 7 штук, т.к. порядок значения не имеет, то . Благоприятствующий исход состоит в выборе ровно 3 нестандартных колес из 5 и совместном выборе (7-3) стандартных колес из (100-5), порядок значения не имеет. По правилу произведения . Следовательно, вероятность того, что среди взятых для контроля колес будет ровно 3 нестандартных (событие ): .

Задания для практической работы..

Вариант 1.

1. Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что:

1. выпадет четное число очков

2. выпадет число очков, кратное трем.

2. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 р., на четыре билета - выигрыш по 50 р., на 10 билетов - выигрыш по 20 р., на 20 билетов - выигрыш по 10 р., на 165 билетов - выигрыш по 5 р., на 400 билетов - выигрыш по 1 р. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 рублей?

3. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

4. В прямоугольник 5*4 см² вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Вариант 2.

1. Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что:

3. выпадет нечетное число очков

4. выпадет любое число очков, кроме 5.

2. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наугад. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

3. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.

4. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечена точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

Вариант 3.

1. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, м, р, т, ю. карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вытянутых по одной карточке можно прочесть слово «юрта».

2. В партии из 50 деталей имеется 3 бракованных. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.

3. В ящике находиться 4 белых и 1 черный шар. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что вынуты два белых шара.

4. Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены.

Вариант 4.

1. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места?

2. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами А, К, К, Л, У. какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово «кукла»?

3. Из колоды карт в 36 листов наугад вынимают 2 карты. Какова вероятность того, что это дама треф и валет пик?

4. Дано: АВ = 12 см, АМ = 2 см, MN = 4 см. На отрезок АВ случайным образом попадает точка X. Какова вероятность того, что Х попадет на отрезок МВ?

Вариант 5.

1. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой?

2. Найти вероятность того, что наугад выбранное число от 1 до 60 делится на 60.

3. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?

4. В квадрате АВСД случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции АМСД, где точка М - середина стороны ВС;

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое событие?

2. Что называют вероятностью события А?

3. Как вычислить вероятность наступления события?

4. Чему равна вероятность достоверного события? Невозможного события?

5. Что называют сочетанием? размещением? перестановкой?

Практическая работа № 3 «Вычисление вероятностей сложных событий. Вычисление полной вероятности».

Цель: закрепить и проверить знания и умения по нахождению вероятности сложных событий и полной вероятности.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методическая разработка, конспект лекций.

Порядок работы:

1. Внимательно ознакомиться с темой и целью работы.

2. Повторить краткий теоретический материал.

3. Выполнить входной контроль - тест.

4. Внимательно ознакомиться с заданием практической работы и выполнить его.

5. Устно ответить на вопросы для самоконтроля.

Входной контроль.

1. На экзамене 51 билет, Валера не выучил 11 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

2. В каждой шестой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Валя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Валя не найдет приз в своей банке?

3. Родительский комитет закупил 9 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 4 с картинами известных художников и 5 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Ренате достанется пазл с животным.

4. У дедушки 11 чашек: 8 с красными звездами, остальные с золотыми. Дедушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с золотыми звездами.

5. В среднем на 65 карманных фонариков приходится один неисправный. Найдите вероятность купить работающий фонарик.

6. Юра с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе девять кабинок, из них 6 - синие, 2 - зеленые, остальные - оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Юра прокатится в оранжевой кабинке

7. Телевизор у Светы сломался и показывает только один случайный канал. Света включает телевизор. В это время по двум каналам из сорока одного показывают новости. Найдите вероятность того, что Света попадет на канал, где новости не идут.

8. У бабушки 10 чашек: 8 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами

9. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 17.

10. Андрей наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 5.

Краткий теоретический материал.

Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема 2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Пример 1. Найти вероятность суммыпротивоположных событий.

Решение: События А и А несовместны, следовательно Р( А +А ) = Р(А) + Р( А). Сумма двух противоположных событий есть событие достоверное, поэтому Р( А +А )= 1. Тогда Р(А) + Р( А ) =1. Отсюда следует :

Р( А) = 1 - Р(А).

Пример 2. В урне 3 красных, 5 синих и 2 белых шара. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

Решение: Пусть событие А- вынут синий шар, событие В- красный шар. Эти события несовместны. Интересующее событие- вынут цветной шар, означает, что вынут красный или синий, т.е. событие А+В. используем теорему о сумме несовместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В). вычислим вероятности событий А и В:

Р(А)=5/10=1/2; Р(В)=3/10. Тогда искомая вероятность равна Р(А+В) = 1/2+3/10= 8/10=0,8.

Пример 3. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета?

Решение. Пусть событие ={выигрыш по -му билету}, =1, 2, 3, 4. События - совместные, но зависимые.

а) По формулам (8) и (4) вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух билетов

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью Р_А(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. Обозначив условную вероятность , получим формулу

, .

Теорема 3: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)Р_А(В)

Теорема 4: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Пример 4. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут все три.

Решение:

Пусть событие А- попал 1-й, В- 2-й и С-3-й. Эти события независимые, тогда применяя соответствующую теорему получим, что вероятность совместного появления всех трех событий равна: Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)= 0,7·0,8·0,9=0,504.

Пример 5. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является браком, а 75 % небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

Решение.Пусть событие A={выбранное изделие небракованное}, событие B={небракованное изделие удовлетворяет требованиям первого сорта}, событие C={выбранное наудачу изделие первосортное}. Событие C предоставляет собой произведение событий A и B: C=AB. По условию , . Тогда по теореме умножения вероятностей (см. 2.1) искомая вероятность .

Вероятность P(B) появления события B, которое может произойти только совместно с одним из событий, образующих полную группу попарно несовместных событий, т. е. и , вычисляется по формуле полной вероятности

где .

При этом события обычно называют гипотезами, а числа - вероятностями гипотез.

Условная вероятность гипотезы в предположении, что событие B уже имеет место, определяется по формуле Байеса:

, ()

Вероятности , вычисленные по формуле Байеса, часто называют вероятностями гипотез.

Задания для практической работы.

1. Вариант.

1. Какова вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадет не 6 очков?

2. Многократные испытания показали, что для некоторого стрелка вероятность выбить при стрельбе 10 очков равна 0,1 , а вероятность выбить 9 очков равна 0,3. чему равна для этого стрелка вероятность выбить не менее 9 очков?

3. В одной партии электролампочек 3% бракованных, а в другой - 4%. Наугад берут по одной лампочке из каждой партии. Какова вероятность того, что обе лампочки окажутся бракованными?

4. На технический контроль качества предъявляется партия из 1000 деталей, в которой 200 деталей изготовлено на заводе А, 300 деталей - на заводе В, остальные - на заводе С. Доля брака зависит от завода-изготовителя и составляет для завода А и В 15%, а для завода С - 30%. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется отличного качества.

5. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 - во втором, остальные - в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй - с вероятностью 0,6. Взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что деталь изготовлена во втором цехе?

2. Вариант.

1. Вероятность появления бракованной детали в партии равна 0,015. Найти вероятность того, что из партии будет изъята набракованная деталь.

2. Для отправки груза из склада может быть выделено по одной из двух машин различного вида. Вероятность их прихода соответственно равна 0,2 и 0,4.

3. На одной полке стоит 12 книг, две из которых - сборники стихов, а на другой - 15 книг, три из которых - сборники стихов. Наугад берут с полки по одной книге. Какова вероятность того, что обе книги окажутся сборниками стихов?

4. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

5. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К, 30 % - с заболеванием Н, 20% - с заболеванием М. вероятность полного излечения от болезни К равна 0,7, для болезней Н и М эта вероятность соответственно равна 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

3. Вариант.

1. Вероятность выигрыша, приходящаяся на один билет в школьной лотерее, равна . Какова вероятность получения невыигрышного билета в этой лотерее?

2. В коробке лежат 24 одинаковые авторучки. Из них 13 красные, 5 зеленые, остальные - синие. Продавец наудачу достает одну авторучку. Найдите вероятности событий «извлеченная ручка не красная».

3. В мешке находится 5 белых шаров и 3 черных. Из мешка наугад вынимают один шар. Его цвет записывают, шар возвращают в мешок и шары перемешивают. Затем снова из мешка вынимают один шар. Какова вероятность того, что оба раза будут вынуты черные шары?

4. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

5. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку в первом месте, рыба клюет с вероятностью 0,6; во втором месте - с вероятностью 0,9; в третьем - с вероятностью 0,7. Рыбак, выйдя на ловлю рыбы, закинул удочку, и рыба клюнула. Найти вероятность того, что он удил рыбу в первом месте.

4. Вариант.

1. В ящике лежат 3 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Какова вероятность того, что наугад вынутый шар окажется не красным?

2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор работает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

3. В мешке находится 5 белых шаров и 3 черных. Из мешка наугад вынимают один шар. Его цвет записывают, шар возвращают в мешок и шары перемешивают. Затем снова из мешка вынимают один шар. Какова вероятность того, что оба раза будут вынуты белые шары?

4. Электрические лампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит45% общего количества электроламп, второй - 40%, третий - 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80%, третьего - 81%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

5. Пассажир может обратиться за билетом в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их места расположения и равны соответственно 0,3, 0,6 и 0,1. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы 0,4, для второй 0,6, для третьей 0,2. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была третья касса.

5. Вариант.

1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на обеих костях не выпало два одинаковых числа очков?

2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго-0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

3. Монету бросили три раза подряд. Какова вероятность того, что каждый раз выпадет решка?

4. В магазине бытовой техники продаются телевизоры трех производителей: Samsung - 50%, LG - 30 %, Sony - 20%/ вероятность поломки в течении гарантийного срока для них составляет 0,05, 0,03 и 0,06 соответственно. Найти вероятность того, что купленный в магазине телевизор не потребует ремонта в течении гарантийного срока.

5. Три организации поставили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая 15 счетов, вторая - 10, третья - 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет, и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

Вопросы для самоконтроля.

1. Чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий?

2. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

3. Что называют условной вероятностью? Как её вычислить?

4. Чему равна вероятность двух зависимых событий?

5. Что называют условной вероятностью? Как вычислить условную вероятность?

6. Формула полной вероятности.

7. Чему равна вероятность гипотезы после испытания?

Практическая работа № 4«Теорема Бернулли»

Цель: закрепить и проверить ЗУН учащихся по нахождению вероятности события по формуле Бернулли.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методические указания, конспекты лекций.

Порядок работы:

1. Внимательно ознакомиться с темой и целью работы.

2. Повторить краткий теоретический материал.

3. Выполнить входной контроль - тест.

4. Внимательно ознакомиться с заданием практической работы и выполнить его.

5. Сделать вывод по работе.

Входной контроль.

Выполните тест.

1. и - независимые события. Тогда справедливо следующее утверждение: а) они являются взаимоисключающими событиями

б)

в)

г)

д)

2. , , - вероятности событий , , соответственно - приведены в таблице. Отметьте в первом столбце знаками плюс и минус те ситуации, которые могут иметь место, и те, которые не могут произойти, соответственно.

а

0.1

0.3

0.2

б

0.5

0.5

0.5

в

0.8

0.9

0.5

г

0.5

0.6

0.6

д

0.9

0.8

0.8

3. Каждая буква слова «РЕМЕСЛО» написана на отдельной карточке, затем карточки перемешаны. Вынимаем три карточки наугад. Какова вероятность получить слово «ЛЕС»?

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) нет правильного ответа

4. Станок-автомат даёт в среднем 4% брака. Взяли на проверку 30 деталей.

а) Среди них 2шт. - брак. Вероятность этого составляет....
1)2/30 2)0,24 3)0,202 4)0,1

б)Среди них 1 шт. - брак. Вероятность этого составляет....
1)0,2 2) 0,372 3) 1/304)0,04

в)Наивероятнейшее число бракованных деталей в 30шт составляет ....
1) 1 2)2 3)3 4)4

Теория вероятностей имеет дело с такими экспериментами, которые можно повторять, по крайней мере теоретически, неограниченное число раз. Пусть некоторый эксперимент повторяется n раз, причем результаты каждого повторения не зависят от исходов предыдущих повторений. Такие серии повторений часто называют независимыми испытаниями. Частным случаем таких испытаний являются независимые испытания Бернулли, которые характеризуются двумя условиями:

1. результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов, называемых соответственно «успехом» или «неудачей»;

2. вероятность «успеха» в каждом последующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний.

Теорема Бернулли. Если производится серия из n независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых успех появляется с вероятностью р, то вероятность того, что успех в n испытаниях появится ровно m раз , выражается формулой

P_n(m)=C_n^mp^mq^n-m, где q=1-p - где вероятность неудачи.

Эта формула называется формулой Бернулли.

Задача 1. Игральная кость бросается 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».

Решение. Пятикратное бросание кости можно рассматривать как последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха («шестерки») равно 1/6 и вероятностью неудачи - 5/6. Искомую вероятность найдем по формуле.

Задача 2. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.

Решение. Искомая вероятность равна сумме трех вероятностей

Р = Р₆(0) + Р₆(1) + Р₆(2) = .

Наивероятнейшее число успехов.

Число m, при котором биномиальные вероятности P_n(m) достигают своего максимального значения (при фиксированном числе испытаний n) называют обычно наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов. Справедливо следующее утверждение о наивероятнейшим числе успехов:

Наивероятнейшее число успехов m* в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью успеха р в одном испытании) определяется соотношением np-qm*np+p, причем

1. если число np-q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число m*;

2. если число np-q - целое, то существует два наивероятнейших числа

m*=np-q, m*=np+p;

3. если np - целое число, то наивероятнейшее число m*=np.

Задача 3. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).

Решение. Возможными значениями для числа успехов в 3-х рассматриваемых испытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3. Пусть A_m - событие , состоящее в том, что при 3-х подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий A_m (см. таблицу):

m

0

1

2

3

P_n(m)

1/8

3/8

3/8

1/8

Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8). Этот же результат можно получить и из приведенного выше утверждения.

Задача 4.Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна ¾. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 10.

Решение. В этом примере n=10, p=3/4=0,75, q=1/4=0,25. Тогда неравенство для наиболее вероятного числа успехов выглядит так:

np-qm*np+p,

т.е. 10*0,75-0,25 m*10*0,75+0,75,

или 7,25m*8,25.

Существует только одно целое решение этого неравенства, а именно, m*=8.

Задания для практической работы.

Вариант 1

1. Случайным образом называют десять цифр. Какова вероятность того, что цифра 5 встретиться ровно семь раз?

2. Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 4 узла.

3. Тест по теории вероятностей состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос в тесте предлагается 4 варианта ответа, из которых надо выбрать один правильный. Какова вероятность того, что, совершенно не готовясь к тесту, студенту удастся угадать правильные ответы по крайней мере на 6 вопросов?

Вариант 2.

1. «Хорошо» если наудачу выбранная карта из 36 - не бубновая. Карту каждый раз возвращают в колоду. Какова вероятность того, что ровно в 5 случаях из 8 таких вытаскиваний будет «плохо»?

2. Вероятность изготовления на станке стандартной детали равна 0,9. Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными?

3. В коробке 3 детали, вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 10 коробок будет не менее 8 не содержащих бракованных деталей?

Вариант 3.

1. Бросание кубика считается удачным, если выпадет 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 3 бросания из 7 окажутся удачными?

2. Четыре стрелка один независимо от другого производят по одному выстрелу по общей мишени. Вероятность попадания в мишень для каждого стрелка 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет одна пробоина.

3. На аукционе выставлено 12 лотов. Для каждого лота вероятность быть проданным по максимальной цене равна 0,8. Какова вероятность того, что по максимальной цене будет продано более семи лотов?

Вариант 4.

1. Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 6 узлов.

2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

3. При каждом вкладе инвестиций в промышленные проекты вероятность получения с них прибыли равна 0,7. Определить вероятность того, что из 10 проектов прибыль принесут не меньше 4 предприятий.

Вариант 5.

1. Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажется более четырех стандартных.

2. Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 5узлов.

3. На полке магазина располагается 10 продуктов. Вероятность того, что спрос на каждый продукт снизиться, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течении некоторого времени произойдет снижение спроса хотя бы на один продукт.

Вопросы для самоконтроля.

1. В каких случаях целесообразно применить теорему Бернулли?

2. Формула для вычисления вероятности в серии испытаний.

3. Что называют наивероятнейшим числом успехов?

4. Как вычислить наивероятнейшее число успехов?

Практическая работа № 5«Запись распределения ДСВ, заданных содержательным образом»

Цель: закрепить и проверить ЗУН по составлению закона распределения дискретной случайной величины, построению функции случайной величины и ее графика.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методические указания, конспекты лекций.

Порядок работы:

1. Внимательно ознакомиться с темой и целью работы.

2. Повторить краткий теоретический материал.

3. Выполнить входной контроль.

4. Внимательно ознакомиться с заданием практической работы и выполнить его.

5. Ответить на вопросы для самоконтроля.

Входной контроль.

1. Какие из перечисленных случайных величин являются дискретными:

   1. Число попаданий в мишень при десяти независимых выстрелах;

   2. Отклонение размера обрабатываемой детали от стандарта;

   3. Число нестандартных изделий из 100;

   4. Число очков, выпавших на верхней грани при одном подбрасывании игрального кубика.

2. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

x_i

0

2

4

p_i

0,5

0,2

0,3

y_i

-2

0

2

p_i

0,1

0,6

0,3

Х:

У

Найти закон распределения случайных величин:

1. Z=3X; 2) Q=Y²; 3) W=X-Y; 4) G=XY (при составлении таких законов меняются только значения случайных величин, а вероятности им соответствующие остаются постоянными; при этом если получается несколько одинаковых значений случайной величины, то они объединяются в одну, а их вероятности складываются)

Краткий теоретический материал.

Случайная величина Х - это числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий.

Случайные величины, имеющие счетные множества возможных значений, называются дискретными.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Дискретная случайная величина может быть задана таблично (ряд распределения), аналитически и графически.

Х₁

Х₂

…

Х_i

…

X_n

Р₁

Р₂

…

P_i

…

P_n

,где .
Многоугольник или полигон распределения вероятностей - это ломаная, концы звеньев которой есть точки с координатами (х_i, y_i), iN.

Пример 1. Дискретная случайная величина X заданна законом распределения:

X

1

3

6

8

p

0.2

0.1

0.4

0.3

Построить многоугольник распределения заданной величины.

Решение: построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения , а по оси ординат - соответствующие им вероятности , т.е. строим точки

Соединив точки, мы получим многоугольник распределения.

Рассматривая для любого х вероятность события {X<x},получим некоторую функцию действительной переменной, которая называется функцией распределения:

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая вероятность того, что X примет значение, меньшее, чем x:

Функция распределения однозначно задает распределение случайной величины, так как по ней находятся вероятности вида

P {aX<b} = F(b) - F(a).

Рассмотрим основные свойства функции распределения.

1. 1. 0F(x) 1

Действительно, так как значения функции распределения есть вероятности, то неравенство выполняется.

2. Функция распределения есть монотонно неубывающая функция, a<b→ F(a) F(b).

3.

4. Функция распределения непрерывна слева.

Можно показать, что любая действительная функция, удовлетворяющая перечисленным выше свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.

Пример 2. Предприятие выпускает изделия, среди которых 60 % стандартных. Наугад выбираются 5 изделий. Найти функцию распределения числа стандартных изделий в выборке.

Решение. Можно считать, что имеются п = 5 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0.6, тогда q=0.4. Найдем вероятности т успехов (т =) по формуле Бернулли:

Р₅(0) = ** 0.4⁵= 0.01024; Р₅(1)= =0.0768;

Р₅(2)= *0.6² *0.4³ = 0.2304; Р₅(з)= = 0.3456;

Р₅(4)= = 0.2592; Р₅(5)= = 0.07776 .

Тогда:

при х0

F(x) =P{m<x}=0;

При 0 <x1

F(x) = P{m< х}= P{m=0}= 0.01024;

При l<x2

F(x)= Р{m<х}= Р{m = 0,m =1}= P₅(0)+ P₅(l)= 0.08704 ;

При 2<х3

F(x) = Р{m= 0,m= 1,m= 2 }= 0.08704 + Р₅ (2) = 0.31744 ;

При 3<х4

F(x) = P{m<x}=P{m= 0,1,2,3}= 0.31744+ Р₅(3) = 0.66304;

При 4 <х5

F(x) = Р{m<х}= Р{m= 0,1,2,3,4}= 0.66304 + Р₅(4) = 0.92224 ;

при >5

F(x)= Р{m<х}= Р{m = 0,1,2,3,4,5 }= 0.92224 + 0.07776 = 1 .

График функции F{x) имеет вид, изображенный на рисунке.

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Составьте ряд распределения числа работ, оцененных на «отлично» и оказавшихся в выборке. Постройте полигон распределения вероятностей.

2. На связке имеется пять ключей от разных кабинетов. Вынутым ключом пытаются открыть дверь одного из кабинетов. Составить закон распределения случайной величины X - числа попыток открыть дверь. Ключ повторно не используется. Составить функцию распределения случайной величины и построить график функции распределения.

3. Ведется стрельба до первого попадания, но не свыше 5 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. X - число произведенных выстрелов. К = 3. Найти закон распределения случайной величины Х. Построить график функции распределения и найти вероятность события Х К.

Вариант 2.

1. Вероятность того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам математический анализ и алгебра, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составьте закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент. Постройте многоугольник распределения вероятностей.

2. Игральная кость бросается два раза. Составить закон распределения случайной величины X - числа выпадений четного числа очков. Составить функцию распределения случайной величины и построить график функции распределения.

3. У стрелка, вероятность попадания которого в мишень равна 0,65 при каждом выстреле, имеется 5 патронов. Стрельба прекращается при первом же попадании. Х - число оставшихся патронов. К = 3. Найти закон распределения случайной величины Х. Построить график функции распределения и найти вероятность события Х К.

Вариант 3.

1. 1. 1. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных . наудачу отобраны две детали. Составить за он распределения числа стандартных деталей среди отобранных и построить многоугольник распределения.

      2. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,4. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 6 библиотек. Составить функцию распределения случайной величины и построить график функции распределения.

2. Партия из 20 деталей содержит 4 бракованных. Произвольным образом выбрали 5 деталей. Х - число доброкачественных деталей среди отобранных. К = 2. Найти закон распределения случайной величины Х. Построить график функции распределения и найти вероятность события Х К.

Вариант 4.

1. Устройство состоит из 4 независимо работающих приборов. Вероятность отказа каждого прибора в одном опыте составляет 0,2. Составить закон распределения числа отказавших приборов водном опыте и построить многоугольник распределения.

2. Вероятность попадания в мишень для спортсмена при одном выстреле равна 0,7. Составить закон распределения случайной величины X - числа попаданий, если спортсмен сделал три выстрела. Составить функцию распределения случайной величины и построить график функции распределения.

3. В темной комнате 7 красных кубиков и 8 синих, не отличных друг от друга на ощупь. Мальчик вынес 3 кубика. Х - число красных кубиков среди вынесенных. К=2. Найти закон распределения случайной величины Х. Построить график функции распределения и найти вероятность события Х К.

Вариант 5.

1. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X - число появления события А в трех опытах. Составить закон распределения и построить многоугольник распределения.

2. В коробке 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу извлекли три шара. Составить закон распределения случайной величины X - числа появления белых шаров среди извлечённых. Составить функцию распределения случайной величины и построить график функции распределения.

3. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания, но делает не более 5 раз. Вероятность попадания при каждом броске 0,4. X - число сделанных бросков. К = 4.Найти закон распределения случайной величины Х. Построить график функции распределения и найти вероятность события Х К.

Вопросы для самоконтроля.

1. Что называют случайной величиной?

2. Что такое - закон распределения случайной величины?

3. Какими численными характеристиками обладает случайная величина?

4. Что такое функция распределения? Какими свойствами она обладает?

5. Что называют многоугольником распределения?

Практическая работа № 6 «Численные характеристики ДСВ»

Цель: закрепить и проверить ЗУН по вычислению численных характеристик ДСВ.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методические указания, конспекты лекций.

Порядок работы:

1. Внимательно ознакомиться с темой и целью работы.

2. Повторить краткий теоретический материал.

3. Выполнить входной контроль.

4. Внимательно ознакомиться с заданием практической работы и выполнить его.

5. Ответить на вопросы для самоконтроля.

Входной контроль.

Ответьте письменно на вопросы.

1. Какая величина называется случайной?

2. Какая случайная величина называется дискретной?

3. Что называется законом распределения случайной величины?

4. Что называется рядом распределения случайной величины?

5. Что называется функцией распределения случайной величины? Какими свойствами она обладает?

Краткий теоретический материал.

1. 1. Наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, например, числом, имеющим смысл «среднего значения» случайной величины, или же числом, показывающим средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины. Оперируя числовыми характеристиками, можно решать многие задачи, не пользуясь законом распределения.

Одна из самых важных числовых характеристик случайной величины есть математическое ожидание.

Если известна дискретная случайная величина , закон распределения которой имеет вид

Значения

…

Вероятности

…

то математическим ожиданием (или средним значением) дискретной величины называется число

.

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности.

Свойства математического ожидания.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

2. Математическое ожидание постоянной величиныС равно самой этой величине:

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

.

Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины.

Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины относительно ее математического ожидания является дисперсия, которая обозначается через.

Определение. Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием , т.е. .

Отклонениеи его квадрат также являются случайными величинами.

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

.

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величиныС равна 0:

.

2. Если - случайная величина, аС - постоянная, то

.

3. Если и - независимые случайные величины, то

.

4. Для вычисления дисперсий более удобной является формула

.

Пример 3. Дискретная случайная величина распределена по закону:

-1

0

1

2

0,2

0,1

0,3

0,4

Найти .

Решение. Сначала находим .

,

а затем .

.

По формуле имеем

.

Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

Пример 1. 1) Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и 2) функцию распределения дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

х

-5

2

3

4

р

0,4

0,3

0,1

0,2

Решение

1)

1. 2. Будем задавать различные значения х и находить для них

1. Если , то F()=0, F(1)=0;

2. при -5<, F()=P(=-5)=0,4; F(2)=P(<2)=0,4;

3. при , F()=P(X<)=P(=-5)+P(=2)=0,7; F(3)=0,7;

4. при , F(X<)=P(=-5)+P(=2)+P(=3)=0,8; F(4)=0,8;

5. при >4, F()=P(=-5)+P(=2)+P(=3)+P(=4)=1.

F()=

Ответ: -0,3; 15,21; 3,9; F().

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. Найти математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения дискретных случайный величин, закон распределения которых найдены в задачах 1,2,3 на предыдущем занятии.

2. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины по закону ее распределения, заданному рядом распределения (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке - вероятности возможных значений). Составить функцию распределения.

Вариант 2.

1. Найти математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения дискретных случайный величин, закон распределения которых найдены в задачах 1,2,3 на предыдущем занятии.

2. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по закону её распределения, заданному рядом распределения (в первой строке таблицы указаны всевозможные значения, во второй строке- вероятности возможных значений). Составить функцию распределения.

x_i

1,4

2,2

3,5

4,1

5,2

p_i

0,3

0,2

0,3

0,1

0,1

Вариант 3.

1. Найти математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения дискретных случайный величин, закон распределения которых найдены в задачах 1,2,3 на предыдущем занятии.

2. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по закону её распределения, заданному рядом распределения (в первой строке таблицы указаны всевозможные значения, во второй строке- вероятности возможных значений). Составить функцию распределения.

x_i

120

135

150

180

185

p_i

0,1

0,2

0,4

0,2

0,1

Вариант 4.

1. Найти математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения дискретных случайный величин, закон распределения которых найдены в задачах 1,2,3 на предыдущем занятии.

2. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по закону её распределения, заданному рядом распределения (в первой строке таблицы указаны всевозможные значения, во второй строке- вероятности возможных значений). Составить функцию распределения.

x_i

10

13

17

19

22

p_i

0,2

0,1

0,2

0,4

0,1

Вариант 5.

1. Найти математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения дискретных случайный величин, закон распределения которых найдены в задачах 1,2,3 на предыдущем занятии.

2. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по закону её распределения, заданному рядом распределения (в первой строке таблицы указаны всевозможные значения, во второй строке- вероятности возможных значений). Составить функцию распределения.

x_i

12

14

18

24

27

p_i

0,4

0,3

0,1

0,1

0,1

Вопросы для самоконтроля.

1. Какие числовые характеристики случайных величин вы знаете?

2. Что характеризует математическое ожидание?

3. Что характеризует дисперсия?

Практическая работа № 7 «НСВ и ее плотность распределения».

Цель: закрепить и проверить ЗУН по вычислению функции плотности распределения.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методические указания, конспекты лекций.

Порядок работы:

1. Внимательно ознакомиться с темой и целью работы.

2. Повторить краткий теоретический материал.

3. Выполнить входной контроль.

4. Внимательно ознакомиться с заданием практической работы и выполнить его.

5. Ответить на вопросы для самоконтроля.

Входной контроль. Вычислить неопределенные интегралы.

Вариант 1.

Вариант 2

Краткий теоретический материал.

Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если ее функция распределения F(x) непрерывна. Для непрерывной случайной величины вероятность того, что она примет конкретное числовое значение, равна нулю.

Действительно,

{X = х₀}{х₀Х<х₀+Δх},

а тогда р{х = х₀}P{х₀X<х₀+Δх}= f(x₀+Δx)-F(x₀)→0при

Δх→0.

Значит Р{X = х₀}= 0.

Закон распределения НСВ задается либо интегральной функцией распределения либо дифференциальной функцией . Эти функции связаны между собой: , где - плотность вероятности непрерывной случайной величины.

Плотностью вероятности случайной величины (по аналогии с плотностью физических величин) называется предел

Плотность имеет смысл только для случайных величин, у которых функция распределения имеет производную F'(x).

Тогда p(x) (f(x))=F'(x).

.

Формулы (1) и (2) определяют связь между функцией распределения и ее плотностью.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а,b] равна: ;

Основные свойства плотности вероятностей:

1) р(х)0,

2) p(x)dx=1.

На рисунке приведены типичные графики функции распределения иплотности вероятностей для непрерывной случайной величины.

Пример 1.

Случайная величина задана функцией распределения F()=

Найти плотность распределения.

р()=

Пример 2. Задана плотности вероятности случайной величина X(показательный закон распределения):

Найти значения параметра a, функцию распределения F(x), вероятность попадания значения X в промежуток [0;1] двумя способами: при помощи f(x) и при помощи F(x).

Решение.Значения параметра a, найдем из условия

которое выполняется для плотности вероятности.

Следовательно, f(x)= 2e^-2x при x>0.

Если x≤0,то очевидно, F(x)=0. Если же x>0,то

Вероятность p(0≤X ≤1) вычисляем двумя способами:

1)P(0≤X ≤1)=

2. P(0≤X ≤1)=F(1)-F(0)= 1.

Пример 3.Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид . Найдите константу и вероятность .

Задания для практической работы.

1. Плотность распределения f(х) случайной величины X на (а, в ) задана в условии, а при x (а, в ) ; f (x)= 0. Требуется:

1. 1. найти параметр А;

   2. составить функцию распределения;

   3. вычислить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал;

   4. построить графики плотности и функции распределения;

Вариант

f (x)

(а,в)

1

Ах + 1/3

(0,1)

2х+ А

(0,1)

2

Ах²

(0,1)

А(2х + 1)

(0,2)

3

А(х + 2)

(0,2)

A (1-x²)

(0,1)

4

2-Ax

(0,1)

A (2x²+1)

(0,1)

5

A (4+3x)

(0,1)

A(x²+1)

(0,2)

Вопросы для самоконтроля.

1. Какая случайная величина называется непрерывной?

2. Чем она характеризуется?

3. Что называют плотностью вероятности случайной величины? Как ее вычислить?

4. Основные свойства плотности?

Практическая работа № 8 «Числовые характеристики НСВ».

Цель: закрепить и проверить ЗУН по вычислению числовых характеристик функции распределения.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методические указания, конспекты лекций.

Порядок работы:

1. Внимательно ознакомиться с темой и целью работы.

2. Повторить краткий теоретический материал.

3. Выполнить входной контроль.

4. Внимательно ознакомиться с заданием практической работы и выполнить его.

5. Ответить на вопросы для самоконтроля.

Входной контроль.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретных случайных величин.

Х

2

3

5

р

0,1

0,6

0,3

Х

-3

0

1

5

р

0,1

0,5

0,1

0,3

Краткий теоретический материал.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

1. математическое ожидание:

;

2. дисперсия:

,

, .

3) среднее квадратическое отклонение:

.

Пример 1.

Случайная величина задана функцией распределения F()=

Найти

1. плотность распределения;

2. математическое ожидание, дисперсию случайной величины Х.

Решение

1. 1. р()=

   2. M()=

M()=

Ответ: р(х); 2; 0,5.

Задания для практической работы.

Вариант 1.

Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения ; Найдите значение постоянной величины С и постройте график функции . Определить плотность распределения и построить ее график. Найдите матем.ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания случайной величины X на заданный участок значений .

Вариант 2.

Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения ; Найдите значение постоянной величины С и постройте график функции . Определить плотность распределения и построить ее график. Найдите матем.ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания случайной величины X на заданный участок значений .

Вариант 3.

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения ; Найдите значение постоянной величины С и постройте график функции плотности . Определить функцию распределения и построить ее график. Найдите матем.ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания случайной величины X на заданный участок значений .

Вариант 4.

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения ; Найдите значение постоянной величины С и постройте график функции плотности . Определить функцию распределения и построить ее график. Найдите матем.ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания случайной величины X на заданный участок значений .

Вариант 5.

Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения ; Найдите значение постоянной величины С и постройте график функции . Определить плотность распределения и построить ее график. Найдите матем.ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания случайной величины X на заданный участок значений .

Вопросы для самоконтроля.

1. 2. 1. Какими числовыми характеристиками обладает НСВ?

      2. Как вычислить мат.ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение?

Практическая работа № 9 «Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения, её свойства и график. Статистические оценки параметров распределения»

Цель: закрепить и проверить ЗУН по графическому отображению вариационного ряда, построению эмпирической функции распределения и вычислению оценок параметров распределения.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методические указания, конспекты лекций.

Порядок работы:

1. Внимательно ознакомиться с темой и целью работы.

2. Повторить краткий теоретический материал.

3. Выполнить входной контроль.

4. Внимательно ознакомиться с заданием практической работы и выполнить его.

5. Ответить на вопросы для самоконтроля.

Входной контроль.

1. Если генеральная совокупность неоднородна, то способ отбора

1. серийный

2. собственно - случайный

3. типический

4. механический

2. Статистическое распределение выборки - это

   1. соответствие между вариационным и частотным рядами

   2. вариационный ряд

   3. частотный ряд

   4. число вариант в вариационном ряду

3. Ошибкой репрезентативности (выборки) называется

1. ошибка при вычислении характеристик выборочной совокупности

2. отклонение характеристик выборочной совокупности от соответствующих характеристик генеральной совокупности

3. ошибка при вычислении характеристик генеральной совокупности

4. среднее квадратическое отклонение

4. В выборочном методе гистограмма - это графическая иллюстрация функции распределения

   1. функции распределения

   2. плотности распределения

   3. статистического распределения выборки при интервальном задании вариационного ряда

   4. закона распределения дискретной случайной величины

5. К числовым характеристикам выборочной совокупности относится

   1. предельная ошибка выборки

   2. генеральная доля

   3. коэффициент надежности

   4. выборочная доля

6. Выборочная средняя - это

   1. значение изучаемого признака, выбранное из середины вариационного ряда

   2. среднее взвешенное значение признака в выборочной совокупности

   3. среднее арифметическое всех значений признака в выборочной совокупности

   4. среднее взвешенное квадратов отклонений значений признака около среднего

7. При повторном отборе зарегистрированные и обследованные единицы

   1. вновь возвращаются в генеральную совокупность и снова могут принять участие в дальнейшем отборе

   2. в генеральную совокупность не возвращаются

   3. в генеральную совокупность возвращаются, но принять участие в дальнейшем отборе не могут

   4. помечаются специальным знаком

8. Упорядоченная последовательность вариант называется

   1. частотным рядом

   2. числовым рядом

   3. вариационным рядом

   4. функциональным рядом

9. В выборочном методе полигон частот - это графическая иллюстрация

   1. функции распределения

   2. плотности распределения

   3. статистического распределения выборки при интервальном задании вариационного ряда

   4. статистического распределения выборки при задании вариационного ряда в виде последовательности вариант

Краткий теоретический материал.

Генеральная совокупность - все множество имеющихся объектов.

Выборка - набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n - число объектов в рассматриваемой совокупности.

Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х₁ п₁ раз, х₂ - п₂ раз, …, х_к - п_к раз, причем где п - объем выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х₁, х₂,…, х_к называют вариантами, а п₁, п₂,…, п_к - частотами. Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот - статистическим рядом:

x_i

x₁

x₂

…

x_k

n_i

n₁

n₂

…

n_k

w_i

w₁

w₂

…

w_k

Пример 1. Имея конкретную выборку: 2, 6, 12, 6, 6, 2, 6,12, 12, 6, 6, 6, 12, 12, 6, 12, 2, 6, 12, 6 (n=20), записать вариационный ряд и таблицу статистического распределения выборки.

Решение. Составим вариационный ряд - запишем варианты в возрастающем порядке 2, 2, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12.

Статистическое распределение выборки.

Варианты

2

6

12

Абсолютные частоты -

3

10

7

Относительные частоты

Контроль: .

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им частотами.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и непрерывным (интервальным), если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая (кумулята).

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, концы звеньев которой имеют координаты (), i=1,2,…m.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами - отрезки длиной n_i /h (гистограмма частот) или w_i /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором - единице (рис.1).

Рис.1

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом,

,

где п_х - число вариант, меньших х, п - объем выборки.

Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:

1. 0 ≤ F*(x) ≤ 1.

2. F*(x) - неубывающая функция.

3. Если х₁ - наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х₁; если х_к - наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > х_к .

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Варианты

x_i

2

6

10

Частоты

n_i

12

18

30

Решение: Найдем объем выборки: 12+18+30=60. Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0 при x ≤ 2.

Значение х < 6, а именно х₁ = 2 наблюдалось 12 раз, следовательно, F*(x)=12/60=0.2

При и х₂ = 6 наблюдались 12+18=30 раз, следовательно, F*(x)=30/60=0.5

Так как х = 10 - наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>10.

Искомая эмпирическая функция:

1. Числовые характеристики вариационных рядов.

Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака извлечена выборка объема .

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки объема различны, то

.

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

или .

Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят такую характеристику как выборочная дисперсия.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения признака выборки объема различны, то

.

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

. Пример 2. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

1

2

3

4

20

15

10

5

Найти выборочную дисперсию.

Решение.

Найдем выборочную среднюю по формуле (26.2): .

Найдем выборочную дисперсию:

.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. 1. 1. Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот. Построить полигон частот и полигон относительных частот. Вычислить несмещенные оценки данного распределения - выборочное среднее, несмещенную дисперсию и несмещенное среднее квадратическое отклонение.

1. 1. 2. Найти функцию распределения по данному распределению выборки:

         

         1

         2

         5

         

         10

         4

         6

      3. По данным выборочного обследования получено следующее распределение семей по среднедушевому доходу

Среднедушевой доход семьи в месяц, у.е.

до 25

25-50

50-75

75-100

100-125

125-150

150 и выше

Количество обследованных семей

46

236

250

176

102

78

12

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднедушевой доход семьи в выборке, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Вариант 2.

1. Найти функцию распределения по данному распределению выборки:

   

   4

   6

   8

   10

   

   20

   14

   6

   10

2. Построить полигон частот и полигон относительных частот по данному распределению выборки:

Вычислить несмещенные оценки данного распределения - выборочное среднее, несмещенную дисперсию и несмещенное среднее квадратическое отклонение.

3. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную работников одного из цехов промышленного предприятия.

Заработная плата, у.е.

50-75

75-100

125-150

150-175

175-200

200-225

Число работников

12

23

37

19

15

9

Рассчитайте среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение

Вариант 3.

1. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

   

   2

   4

   5

   8

   

   11

   19

   8

   12

2. Найти функцию распределения по данному распределению выборки:

Вычислить несмещенные оценки данного распределения - выборочное среднее, несмещенную дисперсию и несмещенное среднее квадратическое отклонение.

3. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для данных о дневной выручке в магазине электроники.

Выручка, у.е.

0-200

200-300

300-400

400-500

500-600

600-700

Число дней

3

5

9

14

8

3

Вариант 4.

1. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

Номер

интервала,

Частичный интервал

Сумма частот вариант интервала,

1

1 - 5

10

2

5 - 9

20

3

9 - 13

50

4

13 - 17

12

5

17 - 21

8

2. Найти функцию распределения по данному распределению выборки:

   

   1

   3

   5

   7

   

   25

   20

   22

   33

3. Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем покупок товаров, являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких, например, как соль). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в течение января регистрировал частоту покупок стограммовых пакетиков с содой и собрал следующие данные : 18, 14, 14, 19, 13, 13, 11, 12, 10, 14, 12, 13, 15, 17, 10, 16, 15, 17, 13, 12, 19, 18, 11, 14, 16, 15, 14, 12, 11, 10, 18. Постройте интервальный вариационный ряд, определите его числовые характеристики

Вариант 5.

1. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

2. Найти функцию распределения по данному распределению выборки:

3. Число пассажиров компании «Аэрофлот-Дон» одного из рейсов на рейсах между Ростовом и Москвой за 30 дней между апрелем и маем текущего года составило: 128, 121, 134, 118, 123, 109, 120,116,125,128,121,129,130,131, 127, 119, 114, 124, 110, 126, 134, 125, 128, 123, 128, 133, 132,136, 134,129. Составьте интервальный вариационный ряд. Чему равно среднее число пассажиров в рейсе? Рассчитайте показатели вариации.

Сделайте вывод о проделанной работе.

Практическая работа № 10 «Расчет коэффициентов корреляции и построение уравнения регрессии»

Цель: закрепить и проверить ЗУН по вычислению выборочного коэффициента корреляции и составлению уравнения регрессии.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методические указания, конспекты лекций.

Порядок работы:

1. Внимательно ознакомиться с темой и целью работы.

2. Повторить краткий теоретический материал.

3. Выполнить входной контроль.

4. Внимательно ознакомиться с заданием практической работы и выполнить его.

5. Ответить на вопросы для самоконтроля.

Входной контроль.

1. Уравнение регрессии отыскивается

1. -выборочным методом

2. -методом интегрированием по частям

3. -методом наименьших квадратов

4. -методом множителей Лагранжа

2. Корреляционной зависимостью называется статистическая зависимость, при которой каждому значению случайной величины Х ставится в соответствие

1. -определенное значение случайной величины Y

2. -распределение случайной величины Y

3. -корреляционное отношение

4. -числовая характеристика соответствующего распределения случайной величины Y

3. Коэффициент а в уравнении регрессии показывает

1. -тесноту связи между факторным и результативным признаками

2. -на сколько единиц изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1 единицу

3. -на сколько процентов изменится значение результативного признака

4. -изменение факторного признака

4. В случае линейного уравнения регрессии связь между факторным и результативным признаками является тесной, если

1. -r=-1

2. -r=0

3. -r<-1

4. -r>1

5. Корреляционная зависимость называется регрессионной,

1. -если каждому значению случайной величины X соответствует Y

2. -средняя величина распределения случайной величины Y

3. -дисперсия случайной величины Y

4. -среднее квадратическое отклонение случайной величины Y

5. -определенное значение случайной величины Y

Краткий теоретический материал.

Корреляция (от лат. correlatio), корреляционная зависимость - взаимозависимость двух или нескольких случайных величин. Суть ее заключается в том, что при изменении значения одной переменной происходит закономерное изменение (уменьшению или увеличению) другой(-их) переменной(-ых).

Корреляционной зависимостью Y от X называется функциональная зависимость условного среднего от :

Уравнение называется уравнением регрессии, а график данной функции - линией регрессии.

Графическое изображение статистической зависимости точками координатной плоскости называется полем корреляции.

Важно понимать, что корреляционная зависимость отражает только взаимосвязь между переменными и не говорит о причинно-следственных связях.

Показатель корреляции. Коэффициент корреляции () характеризует величину отражающую степень взаимосвязи двух переменных между собой. Он может варьировать в пределах от -1 (отрицательная корреляция) до +1(положительная корреляция).

При положительной корреляции увеличение (или уменьшение) значений одной переменной ведет к закономерному увеличению (или уменьшению) другой переменной т.е. взаимосвязи типа увеличение-увеличение (уменьшение-уменьшение).

При отрицательной корреляции увеличение (или уменьшение) значений одной переменной ведет к закономерному уменьшению (или увеличению) другой переменной т.е. взаимосвязи типа увеличение-уменьшение (уменьшение-увеличение).

Для качественной оценки тесноты корреляционной связи между X и Y можно воспользоваться таблицей Чеддока:

Диапазон изменения коэффициента корреляции

0,1 - 0,3

0,3 - 0,5

0,5 - 0,7

0,7 - 0,9

0,9 - 0,99

Характер тесноты связи

Слабая

Умеренная

Заметная

Высокая

Весьма высокая

Если уравнение регрессии имеет вид , то говорят о линейной регрессии.

Коэффициенты a и b для уравнения линейной регрессии найдем по формулам

Таким образом, уравнение прямой (линейной) регрессии Y на X:

Пример: Дана выборка двумерной случайной величины (n = 10)

Номер опыта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1,2

1,5

1,8

2,1

2,3

3,0

3,6

4,2

5,7

6,3

5,6

6,8

7,8

9,4

10,3

11,4

12,9

14,8

15,2

18,5

Требуется:

1. Построить корреляционное поле.

2. Вычислить выборочный коэффициент корреляции.

3. Составить уравнение линии регрессии и построить линию регрессии.

Решение:

Ранговая корреляция - мера зависимости между случайными величинами (наблюдаемыми признаками, переменными), когда эту зависимость невозможно определить количественно с помощью обычного коэффициента корреляции.

Процедура установления Р. к. заключается в упорядочении изучаемых объектов в отношении некоторого признака, т. е. им приписываются порядковые номера - ранги (по два номера в соответствии с двумя наблюдаемыми признаками, между которыми исследуется корреляция). Напр., наибольшее значение для переменной обозначается номером 1, второе по величине - номером 2 и т. д. Наиболее распространен коэффициент ранговой корреляции - коэффициент Спирмена:

где D_i - разница между рангами, присвоенными каждой из переменных i (i = 1, 2, ..., n); N - размер выборки. Этот коэффициент принимает значения между +1 и -1, показывая тесноту и направление связи между исследуемыми величинами. Метод ранговой корреляции - один из так называемых непараметрических методов математической статистики.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать. Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла:

,

где .

- суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с большим значением рангов Y.

- суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y. (равные ранги не учитываются!);

Задания для практической работы.

1. 1. 1. Дана выборка двумерной случайной величины (n = 20). Требуется: построить корреляционное поле, вычислить выборочный коэффициент корреляции, составить уравнение регрессии Y на X и построить линию регрессии. Сделать вывод о тесноте связи между Y и X.

1. 1. 1. Ранговая корреляция.

1. Вариант.

Получены рейтинги строительства жилья в регионах Центрального федерального округа в 2001 и 2002 годах:

Область

Московская

Тверская

Орловская

Тульская

Рязанская

Владимирская

Калужская

Ярославская

Костромская

Ивановская

2001 г.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2002 г.

1

3

2

9

7

4

8

6

5

10

Найдите коэффициент ранговой корреляции Спирмена для строительства жилья в 2001 и 2002 годах по 10 регионам РФ.

2. Вариант

Команда

Локо

ЦСКА

Спартак

Торпедо

Кр. Сов.

Сатурн

Шинник

Динамо

Ротор

Зенит

Итог 2002

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

круг

1

2

3

10

6

4

8

7

5

9

Определите степень связи итогов чемпионата России по футболу в премьер-лиге и результаты первого круга 2002 года.

3. Вариант

Установить, как коррелируют результаты чемпионата России по хоккею в суперлиге по итогам двух кругов чемпионата 2001 и 2002 годов:

Команда

Ак Барс

Авангард

Мет. М.

Лада

Сев. Ч.

Неф.

Локо.

Мечел

Амур

Мет. Нк.

ЦСКА

Динамо

Место 2001

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Место 2002

4

3

7

5

2

11

1

12

9

8

10

6

4. Вариант

За пять лет ввод общей площади (в тыс. кв. м) жилых домов в области и в городе Ярославле характеризуются следующими данными:

Год

1997

1998

1999

2000

2001

Ярославская область

222,6

231,7

221

130,6

162,3

г. Ярославль

118,6

119,7

113,3

66,5

89

Что можно сказать о степени зависимости ввода жилья в Ярославской области и в городе Ярославле?

5. Вариант

По данным статистического сборника "Социальная сфера регионов Центральной России", денежные доходы и потребительские расходы в расчете на душу населения в ноябре 2002 года составили:

Области

Брянская

Владимирская

Ивановская

Калужская

Костромская

Московская

Орловская

Рязанская

Тверская

Ярославская

Доходы (руб.)

2542

2256

1793

2633

2440

3631

2614

2726

2416

3630

Расходы (руб.)

1666

1259

1241

1693

1459

2788

1868

1673

1620

1902

Проранжируйте полученные данные и найдите коэффициент ранговой корреляции Кенделла для доходов и расходов на душу населения в областях Центрального федерального округа.

Вопросы для самоконтроля.

1. Какая зависимость называется корреляционной?

2. Что такое корреляционное поле?

3. Что характеризует выборочный коэффициент?

4. Для чего предназначена таблица Чеддока?

5. Уравнение прямой линии регрессии и его коэффициенты.

6. Для чего служат выборочные коэффициенты ранговой корреляции?

7. Как получается выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена?

8. В чем отличие коэффициента Кендалла от коэффициента Спирмена?

Практическая работа № 11 «Графы. Способы задания графов. Степени вершин».

Цель работы: рассмотреть различные способы задания графа, закрепить навык вычисления степеней графа и составления матриц смежности и инциденций.

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия.

Порядок выполнения:

1. Ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

2. Входной контроль (письменно):

1. Что такое граф?

2. Что такое петля?

3. Какое ребро называется ориентированным?

4. Что такое неограф?

5. Что такое орграф?

6. Какие вершины называются смежными?

7. Что такое полный граф?

8. Способы задания графов. Приведите примеры.

9. Что такое матрица смежности?

10. Что такое матрица инцидентности?

11. Что такое маршрут? Что такое цикл?

12. Что такое цепь? Что такое путь?

3. Изучить схему решения задач;

4. Выполнить задания практической работы;

5. Сформулировать вывод.

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе.

Краткий теоретический материал.

1. Граф G - совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между которыми определено отношение инцидентности. Если |V(G)|=n, |E(G)|=m, то граф G есть (n,m) граф, где n - порядок графа, m - размер графа.

2. Каждое ребро e из E инцидентно ровно двум вершинам v', v'', которые оно соединяет. При этом вершина v' и ребро e называются инцидентными друг другу, а вершины v' и v'' называются смежными.

3. Ребро (v',v'') может быть ориентированным и иметь начало (v') и конец (v'') (дуга в орграфе).

4. Ребро (v,v) называется петлей (концевые вершины совпадают).

5. Граф, содержащий ориентированные ребра (дуги), называется орграфом.

6. Граф, не содержащий ориентированные ребра (дуги), называется неорграфом.

7. Ребра, инцидентные одной паре вершин, называются параллельными или кратными.

8. Конечный граф - число вершин и ребер конечно.

9. Пустой граф - множество ребер пусто (число вершин может быть произвольным).

10. Полный граф - граф без петель и кратных ребер, каждая пара вершин соединена ребром.

11. Локальная степень вершины - число ребер ей инцидентных.

12. В неографе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер (лемма о рукопожатиях). Петля дает вклад, равный 2 в степень вершины.

13. В орграфе сумма входящих ребер всех вершин равна сумме исходящих ребер всех вершин и равна числу ребер графа.

14. Графы равны, если множества вершин и инцидентных им ребер совпадают.

15. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин и ребер, называются изоморфными.

16. Способы задания графов:

    1. явное задание графа как алгебраической системы;

    2. геометрический;

    3. матрица смежности;

    4. матрица инцидентности

17. Матрица инцидентности: По вертикали указываются вершины, по горизонтали - ребра. aij=1 если вершина i инцидентна ребру j, в противном случае aij=0. Если ребро - петля, то aij=2. Матрицей инцидентности (инциденций) ориентированного графа называется матрица, для которой aij=1, если вершина является началом дуги , aij= - 1, если является концом дуги , в остальных случаях aij=0.

18. Матрица смежности - квадратная симметричная матрица. По горизонтали и вертикали - все вершины.аij= число ребер, соединяющее вершины i,j. Матрицей смежности ориентированного графа называется матрица, для которой aij=1, если вершина является началом дуги, в остальных случаях aij=0.19 Маршрут - последовательность ребер, в которых каждые два соседних ребра имеют общую вершину.

19. Маршрут, в котором начало и конец совпадают - циклический.

20. Маршрут в неографе, в котором все ребра разные - цепь.

21. Маршрут в орграфе, в котором все дуги разные - путь.

22. Вершины связанные, если существует маршрут из одной вершины в другую.

23. Связанный граф - если все его вершины связаны.

24. Плоский граф - граф с вершинами, расположенными на плоскости и непересекающимися ребрами.

25. Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.

26. Дерево - связный граф без циклов.

Примеры решения.

1. Исходные данные:

1. Задать неограф, представленный множеством вершин и ребер, графически и матрицами, преобразовать граф в плоский, вычислить степени его вершин.

V = {1; 2; 3; 4; 5; 6};E = {a; b; c; d; e}

E = {(1; 4); (2; 5); (2; 6); (3; 4); (3; 5)}

Решение:

1. Изобразим граф, соединив вершины: Ребро а соединяет вершины 1 и 4, b соединяет вершины 2 и 5 и т. д. Затем преобразуем этот граф в плоский:

2. Составим матрицу смежности. В первом столбце и первой строке выпишем вершины. Ребру а инцидентны вершины 1 и 4, следовательно, в колонке 1 и строке 4 ставим 1, а также колонке 4 и строке 1 ставим 1. Ребру b инцидентны вершины 2 и 5, следовательно, в колонке 2 в строке 5 и колонке 5 строке 2 ставим 1 и т.д. Остальные ячейки таблицы содержат нули.

3. Составим матрицу инцидентности. В первом столбце выпишем вершины, первой строке - ребра. Ребру а инцидентны вершины 1 и 4, следовательно, в колонке а в строке 1 и строке 4 ставим 1. Ребру b инцидентны вершины 2 и 5, следовательно, в колонке b в строке 2 и строке 5 ставим 1 и т.д. Остальные ячейки таблицы заполняем нулями.

4. Вычислим степени вершин:

ρ (1) = 1ρ (2) = 2ρ (3) = 2ρ (4) = 2ρ (5) = 2ρ (6) = 1

ρ (1) + ρ (2) + ρ (3) + ρ (4) + ρ (5) + ρ (6) = 10 = 2 · q

q = 5 (ребер 5)

2. Исходные данные: Задать граф, представленный матрицей инцидентности, алгебраически, графически и матрицей смежности, преобразовать граф в плоский, вычислить степени его вершин.

1. Количество вершин - 6. V = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

2. Ребро а выходит из вершины 2, т.к. в ячейке (2; 1) стоит 1, а приходит в вершину 1 (в ячейке (1; 1) находится -1) и т.д.

Получим множество E = {(2; 1); (6; 1); (4; 2); (2; 3); (4; 5); (6; 5)}

3. Изобразим граф, соединив вершины, этот граф уже плоский, т.к. ребра не пересекаются:

4. Составим матрицу смежности.

5. Вычислим степени вершин:

-степени полувхода, - степени полуисхода.

ρ1 (1) = 0

ρ1 (2) = 2

ρ1 (3) = 0

ρ1 (4) = 2

ρ1 (5) = 0

ρ1 (6) = 2

ρ2 (1) = 2

ρ2 (2) = 1

ρ2 (3) = 1

ρ2 (4) = 0

ρ2 (5) = 2

ρ2 (6) = 0

ρ1 (1) + ρ1 (2) + ρ1 (3) + ρ1 (4) + ρ1 (5) + ρ1 (6) = 6

ρ2 (1) + ρ2 (2) + ρ2 (3) + ρ2 (4) + ρ2 (5) + ρ2 (6) = 6

q = 6 (ребер 6)

Задания для практической работы.

Задать неограф/орграф, представленный множеством вершин и ребер, графически и матрицами, преобразовать граф в плоский, вычислить степени его вершин.

1 вариант.

3

3.2 вариант.

2.

1.

3.3 вариант.

2.

1.

2.

1.4 вариант.

3.

1.5 вариант.

2.

3.

Сделать вывод о проделанной работе.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Практическая работа № 1

«Элементы комбинаторики»

Практическая работа № 2

«Классическая формула вероятности».

Практическая работа № 3

«Вычисление вероятностей сложных событий. Вычисление полной вероятности».

Практическая работа № 4

«Теорема Бернулли»

Практическая работа № 5

«Запись распределения ДСВ, заданных содержательным образом»

Практическая работа № 6

«Численные характеристики ДСВ»

Практическая работа № 7

«НСВ и ее плотность распределения».

Практическая работа № 8

«Числовые характеристики НСВ».

Практическая работа № 9

«Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения, её свойства и график. Статистические оценки параметров распределения»

Практическая работа № 11

«Расчет коэффициентов корреляции и построение уравнения регрессии»

Информационное обеспечение обучения

Основные источники:

1. Н.И.Самойленко, А.И.Кузнецов, А.Б.Костенко Теория вероятностей: Учебник - Х.: Издательство «НТМТ», ХНАГХ. - 2009. - 200с.

2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: Учеб. для студ. сред.спец. учеб.заведений. - М.: Высшая школа, 2001. - 336 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 2004. - 387 с.

Дополнительные источники:

1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учебное пособие для техникумов, - М.: Высшая школа, 1991. - 480 с.

2. Студенецкая В.Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. - Волгоград: Учитель, 2005. - 429 с.

Интернет - источники:

• ru.wikipedia.org - Википедия;

• newlibrary.ru - новая электронная библиотека;

• edu.ru - федеральный портал российского образования;

• mathnet.ru - общероссийский математический портал;

• elibrary.ru - научная электронная библиотека;

• matburo.ru - матбюро: решения задач по высшей математике;

• nehudlit.ru - электронная библиотека учебных материалов.

• cito-web.yspu.org/cito/ - Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского, ресурс для общего доступа.