- Преподавателю
- Математика
- Пределы функции одной переменной
Пределы функции одной переменной
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Луконина С.А. |
Дата | 11.02.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Лекция 4.2
Тема 4 . Пределы и непрерывность функции одной переменной.
Время: 2 часа
Цель лекции: Познакомить с понятиями числовой последовательности, предела числовой последовательности; пределом функции в точке.
План лекции:
-
Числовая последовательность.
-
Предел числовой последовательности.
-
Предельный переход в неравенствах.
-
Предел функции в точке.
-
Односторонние пределы.
-
Предел функции при .
-
Бесконечно большая функция.
-
Бесконечно малые функции.
-
Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией
-
Основные теоремы о пределах.
-
Признаки существования пределов.
-
Числовая последовательность.
Под числовой последовательностью х1, х2,…,хп… понимается функция заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается Число х1 называется первым членом (элементом) последовательности,…, хп ‒ общим или п-ым членом последовательности.
Чаще всего последовательность задаётся формулой её общего члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру п. Например, ;
;
;
.
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что выполняется неравенство В противном случае последовательность называется неограниченной. В нашем примере последовательности и ограничены, а и ‒ неограничены.
Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если выполняется неравенство . Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.
Все эти последовательности называются монотонными. В нашем примере только не монотонная последовательность.
Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу с, то её называют постоянной.
-
Предел числовой последовательности.
Можно заметить, что все члены последовательности неограниченно приближаются к числу 1.
Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдётся такое натуральное число N, что при всех выполняется неравенство: В этом случае пишут или . Говорят также, что последовательность сходится к а.
Коротко определение предела можно записать так:
Пример 1: Доказать, что .
Решение: По определению число 1 будет пределом последовательности если для любого положительного числа найдётся такое натуральное число N, что при всех выполняется неравенство: т.е. . Оно справедливо для всех т.е. для всех . Если то в качестве N можно взять , где целая часть числа (целая часть числа х, обозначаемая , есть наибольшее целое число, не превосходящее х, так ). Итак, указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что .
Выясним геометрический смысл определения предела последовательности. Неравенство равносильно неравенствам или , которые показывают, что элемент хп находится в -окрестности точки а.
хп
О а х
Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки а найдётся натуральное число N, что все значения хп, для которых , попадут в -окрестность точки а.
Ясно, что чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри -окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне её может быть лишь конечное число.
Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Постоянная последовательность =с имеет предел, равный с.
-
Предельный переход в неравенствах.
Рассмотрим последовательности , и .
Теорема 1: Если , и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то .
Допустим, что . Из равенств и следует, что и , т.е.
и .
Возьмём . Тогда , т.е.
, т.е. . Отсюда следует, что . Это противоречит условию (). Следовательно .
Теорема 2: Если , и справедливо неравенство (начиная с некоторого номера), то .
-
Предел функции в точке.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.
Определение 1 (на «языке» последовательностей, или по Гейне). Число А называется пределом функции в точке х0 (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента хп, ( ), сходящейся к х0, (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу А (т.е. ).
В этом случае пишут или при . Геометрически смысл предела функции означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Определение 2 (на «языке », или по Коши). Число А называется пределом функции в точке х0, если для любого положительного найдётся такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Или короче:
,
Геометрический смысл предела функции: , если для любой -окрестности точки А найдётся такая -окрестность точки х0, что для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки А.
Пример 2: Доказать, что
Решение: Возьмём произвольное , найдём такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство т.е. Взяв видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Следовательно
-
Односторонние пределы.
В определении предела функции считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки х0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела функции.
Число А1 называется пределом функции в точке х0 слева, если
.
Аналогично определяется предел функции справа:
.
Пределы функции справа и слева называются односторонними пределами. Очевидно, что если существует , то существуют и оба односторонних предела. Справедливо и обратное: если существую оба односторонних предела и они равны, то существует
.
Если же , то не существует.
-
Предел функции при .
Пусть функция определена на промежутке . Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .
.
Геометрически смысл этого определения таков: , что при или соответствующие значения функции попадают в -окрестность точки А.
у
‒М О М х
-
Бесконечно большая функция (ББФ).
Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа , существует число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают или при . Коротко:
.
Функция , заданная на всей числовой прямой называется бесконечно большой при если для любого числа найдётся такое число , что при всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:
.
Очевидно, всякая ББФ в окрестности точки х0является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть ББФ (например, ).
Однако, если , где А ‒ конечное число, то функция ограничена в окрестности точки х0.
-
Бесконечно малые функции (БМФ).
Функция у= называется бесконечно малой при , если
По определению предела функции, это означает: найдётся число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Аналогично определяются бесконечно малые функции при : во всех этих случаях .
Примерами б.м.ф. служат функции при ; при ; при
Теорема 3: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Теорема 4: Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
Следствие 1: Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы 4 вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие 2: Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
Следствие 3: Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
Теорема 5: Если функция ‒ бесконечно малая , то функция есть бесконечно большая функция и наоборот: если ‒ бесконечно большая, то ‒ бесконечно малая.
-
Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией
Теорема 6: Если функция имеет предел, равный А, то её можно представить как сумму числа А и б.м.ф. ,
т.е., если , то =А+.
Теорема 7 (обратная): Если функцию можно представить в виде суммы числа А и б.м.ф. , то число А является пределом функции ,
т.е., если =А+, то .
-
Основные теоремы о пределах.
Теорема 8: предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
Теорема 9: Функция может иметь только один предел при .
Теорема 10: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности .
Теорема 11: Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если последний не равен нулю:
, .
Пример 3: Вычислить .
Решение: .
Пример 4: Вычислить .
Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при , равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на ( т.к. , но ).
Пример 5: Вычислить .
Решение: Здесь мы имеем дело с неопределённостью вида . Для нахождения предела дроби разделим числитель и знаменатель на х2:
.
Функция есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому . Аналогично, .
-
Признаки существования пределов.
Теорема 12 (о пределе промежуточной функции): Если функция заключена между двумя функциями и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е., если
, , , то .
Теорема 13 (о пределе монотонной функции): Если функция монотонна и ограничена при или при , то существует соответственно её левый предел или её правый предел.
Теорема 14: Ограниченная монотонная последовательность хп, , имеет предел.
9