10-11 класс раздел алгебры Решение задач с параметрами

71

«Графическое и геометрическое решение задач по математике с параметрами»

учитель математики

высшей квалификационной категории

МБУСОШ№48

г.Нижнеудинска

Иркутской области ШаповаловаР.И.

2014г

Введение

Глава 1.

Основные элементарные функции, их свойства и графики.

§1. Основные понятия.

§2. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

1) Линейная функция.

2) Обратная пропорциональность.

3) Квадратичная функция.

4) Показательная функция.

5) Логарифмическая функция.

6) Тригонометрические функции.

а) Функция у = sin х;

б) Функция у = cos х;

в) Функция у = tg х;

г) Функция у = ctg х;

7) Обратные тригонометрические функции.

а) Функция у = arcsin х;

б) Функция у = arccos х;

в) Функция у = arctg х;

г) Функция у = arcctg х.

§3. Основные способы преобразования графиков

Глава 2.

Графический метод и геометрические соображения при решении уравнений, неравенств и их систем.

§1. Задачи о расположении корней квадратного трехчлена.

§2. Задачи с параметром о количестве корней уравнения.

§3. Применение графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств с параметрами.

§4. Применение графических иллюстраций и геометрических соображений к решению задач высокого уровня сложности.

Глава 3.

Координатно - параметрический метод.

§1. Решение КП - методом уравнений и неравенств с параметром.

§2 Решение текстовых задач на движение на КП плоскости.

Глава 4,

Экзаменационные задачи с параметрами.

Послесловие для читателя.

Список литературы.

Глава 1.

Основные элементарные функции, их свойства и графики.

§ 1. Основные понятия.

Определение: Пусть каждому числу х из множества чисел Х в силу некоторого закона поставлено в соответствии единственное число у. Тогда говорят, что у есть функция от х, определенная на множестве Х; при этом х называют независимой переменной или аргументом, а у - зависимой переменной или функцией от х, множество Х - областью определения функции.

у = f(х), х є Х.

Область определения, область значения и ограниченность функции.

Полной областью определения функции у = f(х), заданной аналитически, называют множество всех действительных значений независимой переменной х, для каждого из которых функция принимает действительные значения. Иногда ее еще называют областью существования функции.

Графически область определения функции есть проекция графика функции на ось абсцисс.

Область изменения (область значений) функции у = f(х) находится по уже заданной области определения: она состоит из всех значений у, каждое из которых есть число f(х) для каждого х из области определения функции.

Графически область значений функции - это проекция графика функции на ось Оу.

Функцию у = f(х), определенную на множестве Х, называют ограниченной снизу, если существует число А, такое, что А≤ f(х) для любого х є Х.

Функцию у = f(х), определенную на множестве Х, называют ограниченной сверху, если существует число В, такое, что f(х) ≤ В для любого х є Х.

Функцию у = f(х), определенную на множестве Х, называют ограниченной, если существует число М > 0, такое, что | f(х) | ≤ М для любого х є Х.

Про функцию у = f(х) говорят, что она принимает на множестве Х наименьшее значение в точке х₀, если х₀ є Х и f(х₀) ≤ f(х) для всех х є Х.

Про функцию у = f(х) говорят, что она принимает на множестве Х наибольшее значение в точке х₀, если х₀ є Х и f(х₀) ≥ f(х) для всех х є Х.

Четность, нечетность , периодичность функций.

Функцию у = f(х) с областью определения Х называют четной, если для любого х є Х число (-х) є Х и справедливо равенство:

f(-х) = f(х).

График любой четной функции у = f(х) с областью определения Х симметричен относительно оси ординат, так как для любого х є Х точки плоскости (х; f(х) ) и (-х; f(х)) симметричны относительно оси Оу.

Функцию f с областью определения Х называют нечетной, если для любого х є Х число (-х) є Х и справедливо равенство:

f(-х) = -f(х).

График любой нечетной функции у = f(х) с областью определения Х симметричен относительно начала координат, так как для любого х є Х точки плоскости (х; f(х) ) и (-х; -f(х)) симметричны относительно начала координат.

Функцию у = f(х) с областью определения Х называют периодической, если существует число Т ≠ 0, такое, что для любого х є Х число (х + Т) є Х, число (х - Т) є Х и справедливо равенство:

f (х + Т) = f(х).

Монотонность функции.

Функцию у = f(х), определенную на промежутке Х, называют возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка выполняется:

х₁ < х₂ <=> f(х₁) < f(х₂).

Функцию у = f(х), определенную на промежутке Х, называют убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка выполняется:

х₁ < х₂ <=> f(х₁) > f(х₂).

Функции возрастающие и убывающие называют строго монотонными функциями.

Функцию у = f(х), определенную на промежутке Х, называют неубывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка выполняется:

х₁ < х₂<=> f(х₁) ≤ f(х₂).

Функцию у = f(х), определенную на промежутке Х, называют невозрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка выполняется:

х₁ < х₂ <=> f(х₁) ≥ f(х₂).

§ 2. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Линейная функция ее свойства и график

Определение: Функция вида у = kх + b , где k и b - числа, называется линейной. Графиком линейной функции является прямая.

Свойства функции у = kх + b

1. D(у) = ( -∞; +∞ )

2. Е(у) = ( -∞; +∞ ), если k ≠ 0 и b, если k = 0

3. у(-х) = -kх + b - функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Периода не имеет

5. у = 0 при х = -b/k , А ( -b/k; 0 )

6. у _наиб , у _наим - не существуют

k > 0 k < 0

Частные случаи.

1. Пусть k = 1, b = 0 , тогда у = х

у(-х) = -х = -у(х) - функция нечетная, график симметричен относительно точки О ( 0; 0)

Пусть k = -1, b = 0, тогда у = -х

2. Пусть k ≠ 0, k ≠ ±1, b = 0, тогда у = kх

при k > 0

Функция возрастает при любом х є R

у > 0 при х є ( 0; +∞ )

у < 0 при х є ( -∞; 0)

при k < 0

Функция убывает при любом х є R

у > 0 при х є ( -∞; 0 )

у < 0 при х є ( 0; +∞ )

3. Пусть k = 0, b ≠ 0, тогда у = b - графиком является прямая, параллельная оси Ох.

При b = 0 у = 0 - графиком функции является прямая, совпадающая с осью Ох.

Функция у = k / х, ее свойства и график.

Определение: Функция вида у = k/х, где k ≠ 0 называется обратной пропорциональностью. Графиком является гипербола.

1. D(у) = ( -∞; 0) U ( 0; +∞)

2. Е(у) = ( -∞; 0) U ( 0; +∞)

3. у(-х) = -k/х - нечетная функция, график симметричен относительно точки О(0;0)

4. Периода не имеет

5. при k > 0

Функция убывает при х є (-∞;0) и х є (0;+∞)

у > 0 при х є (0;+∞)

у < 0 при х є (-∞;0)

при k < 0

Функция возрастает при х є (-∞;0) и х є (0;+∞)

у > 0 при х є (-∞;0)

у < 0 при х є (0;+∞)

х = 0 - уравнение вертикальной асимптоты

у = 0 - уравнение горизонтальной асимптоты

k > 0 k < 0

Квадратичная функция, ее свойства и график.

Определение: Функция вида у = ах² + bх + с, где а, b, с - числа, а ≠ 0, называется квадратичной. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх при а > 0; при а < 0 ветви параболы направлены вниз.

1. D(у) = R

2. у(-х) = ах² + bх + с - функция не является ни четной, ни нечетной

3. Периода не имеет.

4. Нули функции: у = 0; ах² + bх + с = 0;

х_1,2 = , где D = b² - 4ас - дискриминант.

Рассмотрим таблицу:

D > 0 ( 2 различных корня )

D = 0 ( один корень )

D < 0 ( нет корней )

у < 0 при х є ( х₁; х₂)

у > 0 при х є ( -∞; х₁) υ ( х_2; +∞)

у < 0 нет корней

у > 0 при х є ( ­∞; х₀ ) υ ( х₀; +∞)

у < 0 нет решений

у > 0 при любом х є R

Функция убывает при х є ( -∞; х₀ ]

Функция возрастает при х є [ х₀; +∞ )

Е(у) = [ у₀; +∞ )

у < 0 при х є ( -∞; х₁ ) υ ( х₂; +∞ )

у > 0 при х є ( х₁; х₂ )

у < 0 при х є ( -∞; х₀) υ ( х₀; +∞ )

у > 0 нет решений

у < 0 при любом х є R

у > 0 нет решений

Функция убывает при х є ( х₀; +∞ )

Функция возрастает при х є ( -∞; х₀ )

Е(у) = ( -∞; у₀ ]

Показательная функция ее свойства и график.

Определение: Функция вида y = a^x, где а > 0, a ≠ 1, x є R, называется показательной функцией.

1. D(y) = R

2. E(y) = ( 0;+ ∞)

3. y(-x) = a^-x = 1\a^x - функция не является ни четной, ни нечетной

4. периода не имеет

5. Нули функции: а^x = 0 - нет решений, значит, ось Оx график функции не пересекает.

6. Пусть x = 0, тогда y = a⁰ = 1 A( 0 ; 1 )

7. Пусть а > 1, а) у = а^х , где а є ( 1; +∞ )

lim a^х = +∞

^х→∞

lim a^х = 0, значит, у = 0 - уравнение горизонтальной асимптоты

^х→­∞

б) Функция возрастает при любом хєR т.е.

х₁ < х₂ <=> у₁ < у₂

х₁< х₂ <=> а^х₁ < а^х₂, где а > 1

в) у > 0 при любом х є R

у < 0 - нет решений

Пусть 0 < а < 1,

а) у = а^х , где а є ( 0; 1 )

lim а^х = 0, у = 0 - уравнение горизонтальной асимптоты

^х→∞

lim а^х = +∞

^х→­∞

б) Функция убывает при любом хєR т.е.

х₁ > х₂ <=> у₁ < у₂

х₁ > х₂ <=> а^х₁ < а^х₂, где 0 < а < 1.

в) у > 0 при любом х є R.

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Определение: Функция вида у = log_ах, где а > 0, а ≠ 1 называется логарифмической.

1. D(у) = (0;+∞)

2. Е(у) = R

3. у(-х) = log_а(-х) - не имеет смысла, функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Периода не имеет

5. Нули функции: log_ах = 0,

х = 1, А(1;0)

6. Пусть а > 1,

а) Функция возрастает

х₁< х₂ <=> у₁< у₂

х₁< х₂ <=> log_ах₁ < log_ах_2. при а > 1, х₁> 0

б) у > 0 при х є (1; + ∞)

у < 0 при х є (0; 1)

Пусть 0<а<1

а) Функция убывает при любом х є (0; +∞)

х₁< х₂ <=> у₁> у₂

х₁< х₂ <=> log_ах₁ > log_ах₂, при а є (0; 1)

7. Функция непрерывна при любом х є (0; +∞)

8. х = 0 уравнение вертикальной асимптоты.

Тригонометрические функции.

Функция у = sin x, ее свойства и график.

Определение: Если любому х є R поставлено в соответствии значение sin x, то говорят , что задана функция у = sin x. Графиком функции является синусоида.

1. D(у) = R

2. Е(у) = [ -1;1 ]

3. у(-х) = sin(-х) = - sin x.- функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0).

4. Т(sin) = 2π, т.е. sin(х + 2πn), n є Z

5. Нули функции: sin x = 0,

х = πn, n є Z

6. у_{наибольшее} = 1; sin x = 1,

х = π/2 + 2πn, n є Z

у_{наименьшее} = -1; sin x = -1,

х = -π/2 + 2πn, n є Z

7. у > 0, sin х > 0 при х є ( 2πn;π + 2πn), n є Z

у < 0, sin х < 0 при х є (-π + 2πn; 2πn), n є Z

8. Функция у = sin x возрастает при х є [-π/2 +2πn; π/2 +2πn], n є Z

Функция у = sin x, убывает при х є [π/2 +2πn;3π/2 +2πn], n є Z

9. Функция непрерывна при любом х є R.

Функция у = cos х, ее свойства и график.

Определение: Если любому х є R поставлено в соответствии значение cos х , то говорят, что задана функция у = cos х.

1. D(у) = R

2. Е(у) = [ -1;1 ]

3. у(-х) = cos(-х) = cos х. - функция четная, график функции симметричен относительно оси Оу.

4. Т(cos) = 2π, т.е. cos(х + 2πn) = cos х, n є Z

5. Нули функции cos х = 0,

х = π/2 + πn, n є Z

6. у_{наибольшее} = 1; cos х = 1,

х = 2πn, n є Z

у_{наименьшее} = -1; cos х = -1,

х = π + 2πn, n є Z

7. у < 0, cos х < 0 при х є (π/2 + 2πn; 3π/2 +2πn), n є Z

у > 0, cos х > 0 при х є (-π/2 +2πn; π/2 +2πn), n є Z

8. у = cos х возрастает при х є [-π + 2πn; 2πn], n є Z

у = cos х убывает при х є [2πn; π + 2πn], n є Z

9. Функция непрерывна при любом х є R.

Функция у = tg х, ее свойства и график.

Определение: Если каждому действительному числу х, отличному от х = π/2 + πn, n є Z, поставлено в соответствие число у, равное тангенсу угла в х радиан, то говорят, что этим определена функция у = tg х.

1. D (у) = (-π/2 + πn; π/2 + πn), n є Z.

Точки х = π/2 + πn, n є Z - точки бесконечного разрыва функции

Уравнения х = π/2 + πn, n є Z - уравнения вертикальных асимптот

2. Е(у) = (-∞; +∞)

3. у(-х) = tg(-х) = sin(-х) /cos(-х) = -sin х/ cos х = -tg х - функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0)

4. Т(tg) = π, т.е. tg(х + πn) = tg х, n є Z

5. tg х = 0,

х = πn, n є Z

6. у_наиб; у_наим - не существуют.

7. у > 0, tg х > 0 при х є (πn; π/2 + πn), n є Z

у < 0, tg х < 0 при х є (-π/2 + πn; πn), n є Z

8. у = tg х возрастает при любом х є (-π/2 + πn; π/2 + πn), n є Z

Функция у = ctg х, ее свойства и график.

Определение: Если каждому действительному числу х, отличному от х = πn, n є Z, поставлено в соответствие число у, равное котангенсу угла в х радиан, то говорят, что этим определена функция у = ctg х.

1. D(у) = (πn;π + πn), n є Z;

х = πn, n є Z - точки бесконечного разрыва функции.

х = πn, n є Z - уравнения вертикальных асимптот

2. Е(у) = (-∞;+∞)

3. у(-х) = ctg(-х) = cos(-х)/sin(-х) = cos х/- sin х = - ctg х - функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0).

4. Т(ctg) = π, т.е. ctg(х + πn) = ctg х, n є Z

5. ctg х = 0 при х = π/2 + πn, n є Z

6. у_наиб; у_наим - не существуют.

7. у > 0; ctg х > 0 при х є (πn;π/2 + πn), n є Z

у < 0; ctg х < 0 при х є (-π/2 + πn; πn), n є Z

8. у = ctg х убывает при х є (πn; π + πn), n є Z

Обратные тригонометрические функции.

Функция у = arcsin х, ее свойства и график.

Определение: Если каждому действительному числу х из отрезка [ -1;1 ] поставлено в соответствие число arcsin х, то говорят, что этим определена функция у = arcsin х.

1. D(у) = [ -1;1 ]

2. Е(у) = [-π/2;π/2]

3. у (-х) = arcsin(-х) = - arcsin х - функция нечетная, график симметричен относительно точки О(0;0).

4. arcsin х = 0 при х = 0.

5. arcsin х > 0 при х є (0;1]

arcsin х < 0 при х є [-1;0)

6. у = arcsin х возрастает при любом х є [-1;1]

-1 ≤ х₁ < х₂ ≤ 1 <=> arcsin х₁ < arcsin х₂ - функция возрастающая.

Функция у = arccos х, ее свойства и график.

Определение: Если каждому действительному числу х из отрезка [-1;1] поставлено в соответствие число arccos х, то говорят, что этим определена функция у = arccos х.

1. D(у) = [-1;1]

2. Е(у) = [0;π]

3. у(-х) = arccos(-х) = π - arccos х - функция не является ни четной, ни нечетной.

4. arccos х = 0 при х = 1

5. arccos х > 0 при х є [-1;1)

arccos х < 0 - нет решений

6. у = arccos х убывает при любом х є [-1;1]

-1 ≤ х₁ < х₂ ≤ 1 <=> arcsin х₁ ≥ arcsin х₂ - убывающая.

Функция у = arctg х, ее свойства и график.

Определение: Если каждому действительному числу х из интервала (- ∞;+∞) поставлено в соответствие число arctg х, то говорят, что этим определена функция у = arctg х.

1. D(у) = R

2. Е(у) = (-π/2;π/2)

3. у(-х) = у = arctg(-х) = - arctg х - функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0).

4. arctg х = 0 при х = 0

5. Функция возрастает при любом х є R

-∞ < х₁ < х₂ < +∞ <=> arctg х₁< arctg х₂

6. Функция непрерывна при любом х є R.

Функция у = arcctg х, ее свойства и график.

Определение: Если каждому действительному числу х из интервала (- ∞;+∞) поставлено в соответствие число arсctg х, то говорят, что этим определена функция у = arсctg х.

1. D(у) = R

2. Е(у) = (0;π)

3. у(-х) = arcctg(-х) = π - arcctg х - функция не является ни четной, ни нечетной.

4. arcctg х = 0 - не существует.

5. Функция у = arcctg х убывает при любом х є R

-∞ < х₁ < х₂ < + ∞ <=> arcctg х₁ > arcctg х₂

6. Функция непрерывна при любом х є R.

§3. Основные способы преобразования графиков.

1. Симметрия относительно осей координат.

Функции у = f(х) и у = -f(х) имеют одну и ту же область определения. Их графики симметричны относительно оси Ох и график функции у = -f(х) получается из графика функции у = f(х) симметричным отображением последнего относительно оси Ох.

Функции у = f(х) и у = f(-х) имеют области определения, симметричные относительно точки О. Графики этих функций симметричны относительно оси Оу, поэтому график функции у = f(-х) получается из графика функции

у = f(х) симметричным отображением последнего относительно оси Оу.

2. Сдвиг вдоль осей координат(параллельный перенос).

График функции у = f(х - а) получается сдвигом вдоль оси Ох на величину |а| графика функции у = f(х) вправо, если а > 0, и влево, если

а < 0

Например,

х^{2 вправо по Ох на 2 единицы} (х - 2)²

График функции у = f(х) + В получается сдвигом графика функции у = f(х) вдоль оси Оу на величину |В| вверх, если В > 0, и вниз, если В < 0.

Например,

х^{2 вниз по Оу на 4 единицы} х² - 4

3. Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат.

График функции у = Вf(х) получается растяжением в В раз (В > 1) вдоль оси Оу графика функции у = f(х).

Если 0 < В < 1, то график функции у = Вf(х) получается из графика функции у = f(х) сжатием в 1/В раз вдоль оси Оу графика функции у = f(х).

Например,

sin х ^{растяжение в 2 раза вдоль Оу} 2 sin х

График функции у = f(kх) получается сжатием в k раз (при k > 1) или растяжением в 1 /k раз (при 0 < k < 1) вдоль оси Ох графика функции у = f(х).

Например,

sin х ^{сжатиеме в 2 раза вдоль Ох} sin 2х

4. Построение графика функции у = Аf(k(х - а)) + В .

График функции у = Аf(k(х - а)) + В строится по графику функции у = f(х) последовательным применением рассмотренных выше преобразований графиков.

у = f(х) → у = f(kх) → у = Аf(kх) → у = Аf(k(х - а)) → у = Аf(k(х - а)) + В.

Например: у = 3sin(2х - π/3) + 1, у = 3sin(2(х - π/6)) + 1.

sin х ^{сжатие в 2 раза вдоль Ох} sin 2х ^{сдвиг вправо на π/6 по Ох} sin(2х - π/3) ^{вверх по Оу на 1 единицу}sin(2х - π/3) + 1

5. Графики функций, связанных с модулем.

Для построения графика функции у = |f(х)| надо сохранить ту часть графика функции у = f(х), точки которой находятся на оси Ох или выше этой оси, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции у = f(х), которая расположена ниже оси Ох.

Для построения графика функции у = f(|х|) надо сохранить ту часть графика функции у = f(х), точки которой находятся на оси Оу или справа от нее, и симметрично отразить эту часть относительно оси Оу.

Глава 2.

Графический метод и геометрические соображения при решении уравнений, неравенств и их систем.

§ 1. Задачи о расположении корней квадратного трехчлена.

Квадратный трехчлен вполне можно назвать главной функцией всей школьной математики. Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого учащегося. Задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена, занимают особое положение на выпускных и вступительных экзаменах. Для решения задач такого типа можно сформулировать теоремы, но, однако, количество требуемых теорем будет практически необозримо. И остается только одно - научиться придумывать теорему самим каждый раз, в каждой конкретной задаче.

Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного трехчлена, но и умение мыслить одновременно на двух языках - алгебраическом и геометрическом. Это означает, что для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию на графике и, наоборот. Например:

• Старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля - значит, ветви параболы направлены вниз;

• Трехчлен не имеет действительных корней - значит, парабола не пересекает ось Ох и не касается ее;

• График функции у = ах² + bх + с находится выше оси абсцисс - значит, а > 0 и b² - 4ас < 0 и т. д.

Прежде чем переходить к конкретным примерам, покажем методику решения задач такого типа на нескольких примерах теоретического характера.

Пусть у = f(х) = ах² + bх + с, где а, b, с - числа, а ≠ 0.

Все рассуждения будем вести в предположении, что а > 0.

Если а < 0, то нижеследующие рассуждения проводятся аналогично.

Обозначим корни квадратного трехчлена через х₁ и х₂, а дискриминант - через D, D = b² - 4ас и х_1,2 = - b/2а ± D/ 2а.

1. При каких условиях оба корня квадратного уравнения

ах² + bх + с = 0, необязательно различные, больше некоторого данного числа m?

Чтобы сформулировать требуемые условия, нарисуем график функции у = f(х), удовлетворяющий данному требованию.

Во - первых, он пересекает ось абсцисс или касается ее - D ≥ 0;(уравнение имеет корни)

во - вторых, f(m) > 0,

в - третьих, т.к. квадратный трехчлен, график которого изображен на рисунке пунктиром, также обладает этими свойствами, то необходимо указать, что условию задачи удовлетворяет парабола, абсцисса вершины которой лежит правее точки m, т.е. - b/2а > m.

Тем самым мы нашли требуемое условие: оба корня больше m в том и только том случае, когда

D ≥ 0,

f(m) > 0,

- b/2а > m.

Можно провести доказательство полученных условий.

2. При каких условиях корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 лежат по разные стороны от числа m?

Эту задачи можно переформулировать следующим образом: при таких условиях число m лежит между корнями уравнения?

График функции у = ах² + bх + с, удовлетворяющей данному условию, для случая а > 0 изображен на рисунке .

Откуда получаем неравенство f(m) < 0, требуемое условие равносильно системе:

D > 0,

f(m) < 0,

3. При каких условиях два (не обязательно различных) корня квадратного уравнения лежат в интервале (m; n)?

Графики квадратных трехчленов, удовлетворяющих требуемым условиям, для случая а > 0 изображены на рисунке .

Нетрудно получить, что оба корня (различные или нет) лежат в интервале (m; n), если а > 0, в том и только том случае, когда

D≥0,

f(m)≥0,

f(n)≥0,

m ≤ х₀ ≤ n.

4. При каких условиях ровно один корень уравнения ах² + bх + с = 0, имеющего различные корни, лежит в интервале (m; n)?

Графики квадратных трехчленов, удовлетворяющих данному требованию, для случая а > 0, изображены на рисунках.

(1) (2)

D > 0, D > 0

f(m) < 0 (1) f(m) > 0 (2)

f(n) > 0 f(n) < 0

Очевидно, если f(m) < 0, f(n) > 0, то в рассматриваемом интервале лежит больший корень, а если f(m) > 0, f(n) < 0, то меньший корень. Если же для решения задачи эти два случая различать не нужно, то требуемое условие - f(m) ∙ f(n) < 0.

D > 0

f(m) ∙ f(n) < 0

Пример 1:

Найти все значения а, при которых корни уравнения х² + х + а = 0 действительные, различные и оба больше а.

Решение:

Дадим геометрическую интерпретацию поставленной задачи. Очевидно, если f(а) > 0, х₀ > а и D > 0, где f(х) = х² + х + а, то оба корня действительны, различны и оба больше а. Запишем эти условия системой неравенств:

а² + а + а > 0 а(а + 2)>0

-1/2 > а < = > а <-1/2 -2 -1/2 0 х

1-4а > 0

Решаем систему методом интервалов, решением является множество (-∞; -2)

Ответ. а є (-∞; -2)

Пример 2:

Найти все значения а, при которых корни квадратного уравнения ах² + 2(а + 3)х + а + 2 = 0 неотрицательны.

Решении:

Так как уравнение квадратное, то а ≠ 0. Возможны два случая.

1. а > 0. Корни уравнения будут неотрицательны тогда и только тогда, когда D≥0, х₀ ≥ 0, f(0) ≥ 0, где f(х) = ах² + 2(а + 3)х + а + 2; т.о. имеем систему неравенств

а > 0

(а + 3)² - а(а + 2) ≥ 0 • ○

а + 2 ≥ 0 -3 0 ^х

(-а - 3) / а ≥ 0

которую решаем методом интервалов. Решением системы является пустое множество.

2. а < 0.

Аналогично имеем систему:

а < 0

(а + 3)² - а(а + 2) ≥ 0 -3 -9/4 -2 0 х

а + 2 ≤ 0

(-а - 3) / а ≥ 0

которая имеет решение, а є [-2,25; -2].

Ответ. [-2,25; -2].

§ 2. Задачи с параметрами о количестве корней уравнения.

После изучения темы « Производная и ее применение к построению графиков функций » задачи о количестве корней уравнения f(х) = а, где а - параметр, не вызывали у меня никаких вопросов. Они решались по алгоритму:

1. Исследовать с помощью производной функцию у = f(х) и построить ее график.

2. Графиком правой части уравнения является прямая у = а, параллельная оси Ох.

3. Количество корней уравнения f(х) = а определяется количеством точек пересечения графика левой части уравнения и прямой у = а.

4. Выписать ответ.

Пример. Сколько неотрицательных корней имеет уравнение

(х² - 5х + 6)/ (х² + 1) = а ?

Исследуем функцию у = (х² - 5х + 6)/ (х² + 1) на промежутке [0; + ∞) с помощью производной и построим ее график.

1. D(у) = R, значит, на промежутке [0; + ∞) функция определена и дифференцируема.

2. Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.

3. у(-х) = (х² - 5х + 6)/ (х² + 1) - функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Периода не имеет

5. Точки пересечения с осями координат: А(0;6), В(2;0), С(3;0).

6. Найдем критические точки функции:

у^' = ((х² - 5х + 6)/ (х² + 1)' = (5(х² - 2х -1)/(х² + 1)²);

D(у') = R.

у' = 0 при х = 1 ± √2, 1 + √2 є (0;+ ∞), х = 1 + √2 - критическая точка.

1 - √2 не принадлежит (0;+ ∞)

7. Промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

^- ₊

у'(х)_{-•----•-----→} у(х) ⁰ ↓ ^{1 + √2} ↑ у'(1) < 0, у'(3) > 0.

Вычислим у(1 + √2) = (7 - 5√2)/2, М (1 +√2; (7 - 5√2)/2 )

8. Уравнение невертикальной асимптоты: у = кх + в, где к = limf(х)/х = lim (х² - 5х + 6)/ х³ + х = 0; ^{‫‫‫‫‫‫‫‫‫‫‫‫‫‫‫ х → + ∞ х → + ∞} в = lim(f(х) - кх) = lim(х² - 5х + 6)/ х² + 1 = 1

у = 1 - уравнение горизонтальной асимптоты.

9. у_{наименьшее} = у(1 + √2) = (7 - 5√2)/ 2

у_{наибольшее} = у(0) = 6

Графиком правой части уравнения является прямая у = а, параллельная оси Ох. Информацию о количестве точек пересечения графиков левой и правой частей уравнения вынесем на ось параметра а:

Ответ: нет корней , если а є (-∞;(7 - 5√2)/ 2) υ(6; + ∞),

1 корень, если а = (7 - 5√2)/ 2, а є [1; 6]

2 корня, если а є ((7 - 5√2)/ 2; 1).

В одном из сборников « Экзаменационные задачи по алгебре » мне встретилась такая задача:

При каких значениях параметра а прямая у = ах - 5 касается кривой у = 3х²- 4х - 2?

Конечно же, первая мысль, пришедшая в голову, была о применении графического метода решения.

Графиком функции у = 3х² - 4х - 2 является парабола, ветви направлены вверх, вершина в точке А(х₀; у₀):

х₀ =- b/ 2а = 4/6=2/3,

у₀ = 3 · 4/9 - 4 · 2/3 - 2 = - 10/3, А(2/3; - 10/3)

х = 2/3 - уравнение оси параболы .

А как построить множество прямых у = ах - 5 при различных значениях а?

Решение:

Для того, чтобы прямая у = ах - 5 касалась кривой у = 3х² - 4х - 2 в точке с абсциссой х₀, необходимо и достаточно, чтобы значения обеих функций при х = х₀ совпадали и значение а (угловой коэффициент прямой) было равно значению производной функции у = 3х² - 4х - 2 при х = х₀.Производная этой функции равна y´=6x-4.Значит, искомые значения а должны удовлетворять системе.

ах₀ - 5 = 3х₀²- 4х₀ -2,

а = 6х₀ - 4.

Подставив выражение для а в первое уравнение системы, получим:

3х₀² - 3 = 0, х₀ = -1, х₀ = -1,

а = - 10,

< = > х₀ = 1,

х₀ = 1,

а = 6х₀ - 4 а = 6х₀ - 4, а = 2.

Итак, искомые значения а = - 10 и а = 2

Ответ: - 10; 2.

Так впервые пришло сомнение: все ли задачи с параметрами решаются графически? Может, я плохо владею графическим методом?

§ 3. Применение графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств с параметрами.

Так я преодолела первый рубеж - поняла, как решаются задачи о расположении корней квадратного трехчлена. В это время мы на школьных уроках перешли к изучению показательной функции, стали решать показательные уравнения и неравенства. На одном из заключительных уроков по этой теме нам была предложена задача 1:

При каких значениях параметра а уравнение

2(а² + 1)4^х + 4а² · 2^х + 1 = 0 (1)

не имеет решений?

Решение.

Введем замену 2^х = t, где t > 0, тогда

4^х = (2^х)² = t²

И уравнение примет вид

2(а² + 1)t² + 4а²t + 1 = 0.

Условие задачи можно переформулировать так: при каких значениях параметра а уравнение

2(а² + 1)t² + 4а²t + 1 = 0.(2)

не имеет положительных решений?

Очевидно, что уравнение (2) является квадратным относительно t, т.к.

а² + 1 ≠ 0 ни при каком значении а. Квадратное уравнение (2) не имеет положительных решений в двух случаях:

а) Уравнение (2) вообще не имеет корней, что выполняется при D < 0 (условие δ)

б) Уравнение (2) имеет корни, необязательно различные, но оба корня неположительны, что выполняется при условиях (β):

D ≥ 0

(β) t₀ ≤ 0 , где

f(0) ≥ 0

f(t) = 2(а² + 1)t² + 4а²t + 1.

Вычислим: D = (4а²)² - 4 · 2 · (а² + 1)1 = 16а⁴ - 8(а² + 1) = 8(2а⁴ - а² - 1) =

=16(а² - 1) (а² +1/2);

t₀ = (-4а²)/2 · 2(а² + 1) = (-а²)/(а² + 1)

f(0) = 1

Таким образом,

условие (δ): 16(а² - 1)(а² + 1/2) < 0 <=> а² - 1 < 0

(а + 1)(а - 1) < 0

а є (-1;1), значит,

при а є (-1;1) уравнение (2), а, значит, и уравнение (1) корней не имеет.

Условия (β):

16(а² - 1)(а² + 1/2) ≥ 0 а²- 1 ≥ 0 (а + 1)(а - 1) ≥ 0

(-а²) /( а² + 1) ≤ 0 <=> а² / (а² + 1) ≥0 <=>

1 ≥ 0 а є R а є R

а є (- ∞; - 1] υ [ 1; +∞)

а є (- ∞; - 1] υ [ 1; +∞)

При выполнении условий (β) квадратное уравнение (2) имеет корни, но оба они не являются положительными, значит, уравнение (1) корней иметь не будет.

Объединяя результаты решений (δ) и (β), получим а є R, т.е. , при любом

а є (-∞;+ ∞) данное уравнение решений не имеет.

Ответ: (-∞;+ ∞)

Замечание. Безусловно, задача (случай (β)) может быть решена значительно короче, если исследовать корни квадратного уравнения (2) по теореме Виета: пусть D ≥ 0 и t₁ и t₂ - корни квадратного уравнения (2), тогда

t₁ + t₂ = (-4а²)/ 2(а² + 1)

t₁ ·t₂ = ½(а² + 1)

t₁+ t₂ = (- 2а²)/а² + 1

t₁ · t₂ = 1/ 2(а² + 1)

Очевидно, t₁ · t₂ > 0,значит, корни одного знака

t₁ + t₂ < 0, значит, оба корня отрицательны при D ≥ 0, т.е. при

16(а² - 1)(а² + 1/2) ≥ 0

а²- 1 ≥ 0

(а + 1)(а - 1) ≥ 0

а є (- ∞; - 1] υ [ 1; +∞)

Через небольшой промежуток времени, при изучении темы

« Тригонометрические уравнения » нам предложили задачу :

Задача 2

При каких действительных значениях параметра а уравнение

2(а² + 1)cos²х + 4а² · cos х + 1 = 0

не имеет решений?

Решение: 2(а² + 1)cos²х + 4а² · cos х + 1 = 0 (1)

Обозначим cos х = t, где |t| ≤ 1.

Уравнение примет вид

2(а² + 1)t² + 4а² t + 1 = 0 (2) - квадратное уравнение относительно t.

Переформулируем условие задачи:

При каких действительных значениях параметра а уравнение (2) не имеет корней из промежутка [-1; 1]?

Очевидно, условие задачи выполняется в двух случаях:

а) квадратное уравнение (2) вообще не имеет корней при D < 0 (α)

б) квадратное уравнение (2) имеет корни, но ни один из них не входит в промежуток [-1; 1]. Это возможно, если:

(β) D > 0 (γ) D≥0 или (θ) D≥0

f(0) < 0 t₀ < -1 t₀ >1

f(-1) < 0 f(-1) > 0 f(1) > 0

f(1) < 0

где f(t) = 2(а² + 1)t² + 4а² t + 1

Вычислим:

D = (4а²)² - 4 · 2 · (а² + 1)1 = 16(а² - 1) (а² +1/2);

f(0) = 1

t₀ = (-а²)/( а² + 1)

f(1) = 2(а² + 1) + 4а² + 1 = 6а² + 3 = 3(2а² + 1)

f(-1) = 2(а² + 1) - 4а² + 1 = - 2а² + 3 = - 2(а² - 3/2);

Решим системы:

(β) 16(а² - 1) (а² +1/2) > 0

1 < 0 - система несовместна

3(2а² + 1) < 0

- 2(а² - 3/2) < 0

(γ) 16(а² - 1) (а² +1/2) ≥ 0 а² - 1 ≥ 0

1 < 0 <=> (а²)/ (а² + 1) > 1 - система несовместна

(-а²)/( а² + 1) < -1 а² - 3/2 < 0

- 2(а² - 3/2) > 0

(θ) 16(а² - 1) (а² +1/2) ≥ 0 а² - 1 ≥ 0 (а + 1)(а - 1) ≥ 0

(-а²)/( а² +1) > 1 <=> (а²)/ (а² +1) < -1 <=> а² < - а² - 1 <=>

3(2а² + 1) > 0 а є R

<=> (а + 1)(а - 1) ≥ 0 - система несовместна

2а² + 1 < 0

Значит, случай б) - квадратное уравнение (2) имеет корни, но они не входят в промежуток [-1; 1], невозможен.

Случай а) возможен при D < 0, т.е. при

16(а² - 1) (а² +1/2) < 0

(а + 1)(а - 1) < 0

а є (-1; 1)

Уравнение (2) не имеет корней при а є (-1; 1), значит, и уравнение (1) не имеет корней при а є (-1; 1).

Ответ: (-1; 1)

Надеюсь, от вашего внимательного взгляда не ускользнуло, что после замены переменной в двух последних задачах мы работали с одним и тем же квадратным уравнением, только на переменную t были наложены различные условия. Приведенные выше примеры показывают, как важно уметь заметить « скрытую » в задаче квадратичную функцию. Это прием достаточно распространенный и в немалой степени эффективный.

Как правило, показательные и логарифмические уравнения с помощью тождественных преобразований и замен приводятся к алгебраическим уравнениям первой или второй степени с параметрами, решение которых достаточно подробно рассмотрено ранее.

Задача 3.

Решить уравнение

9^{-|х - 2|} - 4 · 3^{-|х - 2|} - а = 0 (1)

3^{-2|х - 2|} - 4 · 3^{-|х - 2|} - а = 0

Обозначим: 3^{-|х - 2|} = у, где 0 < у ≤ 1;

т.к. 3^{-|х - 2|} = (1/3)^{|х - 2|} и |х - 2| ≥ 0 при любом х є R,

тогда 0 < (1/3)^{|х - 2|} ≤ 1, получим уравнение

у² - 4у - а = 0 (2) или у² - 4у = а

Переформулируем условие задачи.

Найдем а, при которых а корни уравнения (2) удовлетворяют условиям

0 < у ≤ 1.

Корни уравнения (2) у = 2 ± √(4 + а)

Получим систему:

у = 2 ± √(4 + а) < = > у = 2 - √(4 + а) < = >

0 < у ≤ 1 0 < у ≤ 1

0 < 2 - √(4 + а) ≤ 1

- 2 < - √(4 + а) ≤ - 1

1 ≤ √(4 + а) < 2

1 ≤ а + 4 < 4

- 3 ≤ а < 0, тогда т.к. у = 3^{-|х - 2|}, то по определению логарифма

-|х - 2| = log₃у

|х - 2| = - log₃у

х - 2 = - log₃у

х - 2 = log₃у

х = 2 - log₃у

х = 2 + log₃у ,

где у = 2 - √(4 + а)

Таким образом, х = 2 ± log₃(2 - √(4 + а)) при а є [ - 3; 0).

Ответ: при а є [ - 3; 0) х = 2 ± log₃(2 - √(4 + а))

Задача 4.

Сколько действительных корней имеет уравнение ln х = ах?

Построим графики функций у₁ = ln х и у₂ = ах. Графиком функции у₂(х) будет прямая, проходящая через начало координат. Причем наклон этой прямой определяется параметром а. Видно, что в зависимости от а возможны четыре случая. В случаях (а;в) уравнение имеет единственное решение, в случае (б) - два решения, в случае (г) - нет решений.

Рассмотрим случай (в). Тогда прямая у₂ является касательной для графика функции у₁. Пусть касание происходит в точке с абсциссой х₀. Найдем производную у₁′ = (ln х)′ = 1/х и вычислим ее значение в точке х_0.

Имеем у₁′ (х₀) = 1/х₀. Найдем у₁ (х₀) = ln х₀.

Уравнение касательной примет вид

у = 1/ х₀(х - х₀) + ln х₀ или

у =1/ х₀ • х + (ln х₀ - 1).

При всех значениях х эта функция должна совпадать с функцией у₂ = ах. Поэтому должны равняться угловые коэффициенты и свободные члены функций. Получаем системы уравнений

1/ х₀ = а;

ln х₀ - 1 = 0

Значит, х₀ = e , а = 1/e.

Ответ: при а є ( - ∞; 0 ] U {1/e} - одно решение,

при а є (0; 1/e) - два решения,

при а є (1/e; + ∞) - нет решений

Задача 5.

Найти все значения параметра k, при которых уравнение

log_{kх + 2}(4х - 3 - х²)=1

имеет единственное решение.

ОДЗ уравнения определяется условиями:

Решать эту систему неравенств не будем. Запишем данное уравнение в виде

4х - 3 - х² = kх +2.

Будем исследовать это уравнение графически и рассмотрим функции

В силу равенства

на значения функции у₁ существуют ограничения

.

Построим график этой функции с учетом ограничений.

Графиком функции у₂ является прямая, проходящая через точку (0; 2) при любых значениях k. Параметр k влияет на наклон этой прямой. Все возможные положения прямой, при которых данное уравнение имеет единственное решение, изображены на рисунке.

Найдем значения параметра k, при которых прямая

у₂ = kх + 2 проходит через точки А (1;0), В (3;0), С (2;1). Имеем:

для точки А: 0 = k · 1 + 2 (тогда k = -2),

для точки В: 0 = k ·3 + 2 (откуда k = -2/3),

для точки С: 1 = k · 2 + 2 (тогда k = -1/2).

Поэтому данное уравнение имеет один корень при к є (-2; -2/3] U {-1/2}.

Также единственное решение будет и в случае касания (точка D) графиков у₁ и у₂. Определить значение k, для которого это выполняется, можно разными способами.

Данное уравнение запишем в виде 0 = х² + (k - 4)х + 5

Это уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант

D = (k - 4)²- 4 · 5 = 0

Тогда: (k - 4)² =4 · 5 или и k = 4 ± 2√5.

Из рисунка видно, что прямая у₂ образует тупой угол с осью абсцисс и k < 0.

Ответ: при k є (-2; -2/3] U {-1/2; 4 - 2√5} уравнение имеет единственное решение.

Задача 6.

При всех значениях параметра а решить уравнение

и указать, при каких а оно имеет единственное решение.

Решение:

Тогда уравнение примет вид:

Пусть f(у) = у² - (а - 1)у + 2а + 3 = 0

Рассмотрим два случая:

1. Больший из указанных корней положителен, а меньший не положителен. Возможны два варианта:

а) Корни имеют разные знаки. Это утверждение эквивалентно условию

f

(0) < 0,

2а + 3 < 0

а < -3/2.

б) Меньший корень равен нулю, а больший положителен.

Таким образом, при а < -3/2 имеется единственный положительный корень

2. Оба корня квадратного уравнения положительны, что эквивалентно выполнению условий

В этом случае существуют два решения исходного уравнения:

При этом, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю (а = 11), эти решения совпадают.

Ответ:

§ 4. Применение графических иллюстраций и геометрических соображений к решению задач высокого уровня сложности.

Несмотря на то, что задачи на построение графиков не предлагаются на экзаменах, использование хотя бы схематических графических иллюстраций в некоторых случаях помогает определить направление исследований, а иногда и позволяет сразу подобрать ключ к решению задачи. Для определенных типов задач даже примитивный рисунок, далекий от настоящего графика, дает возможность избежать различного рода ошибок и более простым способом получить ответ к уравнению или неравенству.

Опыт экзаменов и олимпиад показывает, что учащиеся довольно неохотно прибегают к построению графиков, видимо, из-за слабой подготовки в этом вопросе. Какие же навыки нужны выпускнику, чтобы свободно строить графики функций? Нужно, во - первых , хорошо знать свойства и графики основных функций; во - вторых, уметь производить стандартные преобразования графиков в соответствии с преобразованиями самих функций. Сюда относятся сдвиги, растяжения (сжатия) вдоль осей координат, а также отражения относительно этих осей или относительно биссектрисы угла между ними. Именно данные вопросы я и рассмотрю.

Рассмотрим в качестве примера неравенство:

6 / (2х + 1) > ( 1 + log₂(2 + х)) / х.

В этой ситуации приходит на выручку метод подбора. Какая - то часть значений неизвестной удовлетворяет неравенству, и такие значения нужно просто угадать. А так как их оказалось бесконечно много, то обыкновенной подстановкой их в неравенство факт пригодности этих значений подтвердить не удается - его придется доказывать иначе. Другая же часть значений неизвестной неравенству не удовлетворяет, что также нуждается в доказательстве.

«Но ведь уч-ся не учили угадывать решения, особенно если их много». Конечно, это упражнение «трансцендентное», как, между прочим, и само исходное неравенство. Но для его выполнения несомненную пользу оказывает умение строить графики.

Перепишем неравенство в виде:

6х / (2х + 1) > 1 + log₂(2 + х)

Построим графики левой и правой частей неравенства.

у₁ = 6х / (2х + 1) = (3(2х + 1) - 3) / (2х + 1) = 3 - 3 / (2(х + 1/2))

1/х ^{симметр. относит. Оу}→ - 1/х ^{сжатие в 2 р вдоль Ох}→ -1/2х^{растяжение в 3 р вдоль Оу} -3/2х ^{сдвиг влево}

^{по Ох на ½} → → -3/2(х + 1/2) ^{вверх по Оу на 3 ед}→ -3/2(х + 1/2) + 3

у₂ = 1 + log₂(2 + х)

log₂х ^{влево по Ох на 2 ед}→ log₂(2 + х) ^{вверх по Оу на 1 ед}→ log₂(2 + х) + 1

Исходное неравенство рассмотрим при различных значениях х с учетом его

ОДЗ: х є (-2; -1/2) U (-1/2; 0) U(0; + ∞)

х > 0 -1/2 < х < 0 -2 < х < -1/2

(1) (2) (3)

у₁(х) > у₂(х)у₁(х) < у₂(х) у₁(х) < у₂(х)

Рассматривая случаи (1), (2), (3), учитывая полученную нами графическую иллюстрацию, делаем вывод, что х є (-1/2; 0).

Но это только предполагаемое решение. Для доказательства истинности сделанного предположения рассмотрим данное неравенство на каждом из промежутков.

1. Пусть -2 < х < -1/2, тогда

6х / (2х + 1) = 3 - 3 / (2х + 1) > 3 > 1 + log₂2 > 1 + log₂(2 + х), т.е. неравенство не выполнено

2. Пусть -1/2 < х < 0, тогда

6х / (2х + 1) < 0 < 1 + log₂(2 - 1/2 ) < 1 + log₂(2 + х), т.е. неравенство выполнено

3. Пусть 0 < х ≤ 1, тогда

6х / (2х + 1) = 3 - 3 / (2х + 1) ≤ 3 - 3/3 = 2 < 1 + log₂(2 + х), неравенство не выполнено

4. Пусть 1 < х ≤ 2, тогда

6х / (2х + 1) = 3 - 3 / (2х + 1) ≤ 3 - 3/5 < 1 + log₂3 < 1 + log₂(2 + х),

(т.к. 2⁷ = 128 < 243 = 3⁵ = > 7 < 5 log₂3 = > 12/5 < 1 + log₂3), т.е. неравенство не выполнено.

5. Пусть х > 2, тогда

6х / (2х + 1) = 3 - 3 / (2х + 1) < 3 = log₂ х < 1 + log₂(2 + х), неравенство не выполнено.

Использование графиков, по существу, помогло нам в задаче разрешить целый ряд проблем технического характера: начиная от угадывания ответа и кончая разбиением оси абсцисс на удобные для исследования промежутки.

Пример.

Верно ли, что уравнение log_1/16х = (1/16)^х имеет ровно один корень?

Поскольку в задаче не требуется решать уравнение, для получения ответа на поставленный вопрос достаточно оценить количество точек пересечения графиков функций

у₁(х) = log_1/16х и у₂(х) = (1/16)^х

Обычно нам вполне достаточно построить схематичные графики и моментально ответим, что «на вопрос задачи следует положительный ответ».

Давайте подставим в уравнение значение х = ½:

у₁(1/2) = log_1/161/2 = ¼ = (1/16)^1/2 = у₂(1/2).

Замечательно, - единственный корень уравнения даже удалось указать явно! И вот, когда уже предъявлено «бесспорное» решение задачи, вдруг выясняется, что значение х = ¼ также удовлетворяет уравнению:

у₁(1/4) = log_1/161/4 = 1/2 = (1/16)^1/4 = у₂(1/4).

Такой поворот событий заставит учеников несколько раз безуспешно перепроверять произведенные выкладки и внимательно всматриваться в график. Однако на графике не видно двух найденных аналитически точек пересечения (1/2; 1/4) и (1/4; 1/2). Более того, ни одна из них, как показывает проверка, не лежит на биссектрисе первого квадранта, задаваемой уравнением у = х и непременно содержащей одну точку пересечения графиков. Таким образом, ответ на вопрос задачи: нет.

Иногда графическая иллюстрация придает условию задачи совершенно неожиданный смысл, позволяя переформулировать исходную задачу на иной лад и в результате привлечь к решению какие - либо факты из тех разделов математики, которые поначалу никакого отношения к задаче не имели. Особенно эффективным бывает использование геометрического материала в отдельных задачах аналитического характера.

Пример.

Среди всех решений (х, у, а, b) системы

х² + у² = 3

а² + b² = 25

хb + уа ≥ 5√3

найти такие, при которых выражение х + а принимает наибольшее значение.

С каждой парой чисел х, у свяжем вектор

z = ОZ с координатами (х; у), а с каждой парой чисел а и b - вектор с = ОС с координатами (а; b). Теперь исходную систему можно переписать на векторном языке

|z| = √3

|с| = 5 , где

z·с = 5√3

|z| - длина вектора ОZ

|с| - длина вектора ОС

z·с - скалярное произведение

Обозначив φ = ∕_СОZ и воспользовавшись представлением скалярного произведения в виде

zс = |z|·|с| · cos φ

получим равносильную систему

т.к. |cosφ| ≤ 1, то cosφ = 1 и z ↑↑ с

Т.о. исходной системе удовлетворяют те и только те значения х, у, а, b, для которых

Очевидно, что без привлечения наглядных геометрических соображений эта задача решается существенно сложнее.

Выражение х + а = √3/5 b + а представляет собой скалярное произведение вектора с и вектора d = ОD с координатами (√3/5; 1) и абсолютной величиной √28/5. Поэтому величина

х + а = сd = 5 · √28/5cos СОD

принимает наибольшее значение, когда векторы с и d одинаково направлены, т.е. когда

Глава 3.

Координатно - параметрический метод.

§ 1. Решение КП - методом уравнений и неравенств с параметрами.

Рассмотрим решение логарифмического неравенства с параметром.

Пример 1.

Решить неравенство

2log₄(х - а + 1) + log_1/2(х - 3 - 2а) ≥ 2

Решение.

ОДЗ неравенства определяется условиями:

Перейдем в логарифмах к основанию 4 и получим:

или

или

откуда

Так как в соответствии с ОДЗ то можно умножить обе части полученного неравенства на

Тогда имеем или

Получаем, что исходное неравенство эквивалентно системе линейных неравенств

Или

которую проще всего решить графически в системе координат аОх.

Область значений х и а, удовлетворяющих всем неравенствам системы, заштрихована.

Ответ: при

при

Решение данным методом, например, уравнения, содержащего параметр, приводит к необходимости рассмотрения на координатной плоскости однопараметрического семейства линий и связан с построением множеств и графиков функций.

Поэтому иногда этот метод относят к графо - аналитическим методам.

Можно, по аналогии ввести понятие координатно - параметрической плоскости хОа или аОх, где х - координата, а - параметр, и построить координатно параметрический метод (КП - метод ) решения широкого класса задач с параметрами.

Метод решения задач с параметрами, использующий КП - плоскость, назовем координатно - параметрическим, или КП - методом.

Он основан на нахождении множества всех точек КП - плоскости, значения координаты х и параметра а каждое из которых удовлетворяют заданному в условиях задачи условию (соотношению).

Если указанное множество точек найдено, то можно каждому допустимому значению параметра а = const поставить в соответствие координаты х точек этого множества, дающие искомое решение задачи, или указать те значения параметра, при которых задача не имеет решения.

При решении КП - методом уравнений и неравенств с параметрами применяется метод «частичных областей».

Идея этого метода заключается в том, что решение задачи в исходной области сводится к решению ее или совокупности более простых задач в каждой из «частичных областей», из которых составляется или которыми покрывается исходная область.

Пример 2.

Для каждого значения параметра а решить уравнение.

|х| + |а| = 1

Решение:

Изобразим на КП - плоскости хОа множество точек (х; а), значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют заданному уравнению.

^у

_{х = 1 + а х = 1 - а}

Х

_{х = - 1 - а х = -1 + а}

В первой четверти КП - плоскости при х ≥ 0, а ≥ 0 уравнение принимает вид

х + а = 1

Значит, это множество в первой четверти изображается отрезком прямой х = 1 - а, а следовательно в силу симметрии относительно осей Ох и Оа искомое множество всей КП - плоскости представляет собой контур квадрата.

Ответ: если

Пример 3.

Для каждого значения параметра а решите уравнение

Решение.

На КП - плоскости хОа прямые х = - а и х = а пересекаются в точке О и разбивают КП - плоскость на четыре «частичные» области 1 - 4. Рассмотрим исходное уравнение в каждой из этих областей, заменив его равносильной совокупностью смешанных систем:

Следовательно, на КП - плоскости множество всех точек (х; а), значение координаты х и параметра а каждой из которых удовлетворяют рассматриваемому уравнению, представляет собой контур квадрата с центром в точке О и сторонами, параллельными осям Ох и Оа.

Ответ:

Пример 4.

Для каждого значения параметра а решите уравнение.

Решение:

Применяя метод «частичных областей» и определения абсолютной величины, заменим уравнение совокупностью трех систем

Построим прямые х = (1 - а) / 3, х = а - 1, х = (1 + а) / 3 в областях (1), (2), (3),

соответственно. Получим рисунок:

Ответ:

Пример 5.

При каких значениях параметра а все решения уравнения

удовлетворяют неравенству ?

Решение:

Обозначим F(х;а) = 3|х + 2а|- 3а + х - 15;

Решим уравнение F(х;а) = 0

Прямая х + 2а = 0 разбивает КП - плоскость хОа на две «частичные» области I и II. (Пусть эта прямая принадлежит как I, так и II области) Часть прямой

принадлежащая I «частичной» области, дает решения системы (I), а часть прямой

принадлежащая II «частичной» области, дает решение системы (II).

Следовательно, решение системы (I) , удовлетворяющее условию на КП - плоскости есть отрезок луча с началом в точке а = -3, х = 6 и концом

а = -1/3, х = 4.

Аналогично, решение системы (II), удовлетворяющее условию есть также отрезок луча с началом а = -3, х = 6 и концом а = -1/3, х = 4.

Оба решения удовлетворяют неравенству при всех значениях параметра а из отрезка[-3; -23/9].

Ответ:

Пример 6.

Для каждого значения параметра а решить неравенство

Решение:

Применяя логическую схему решения типового иррационального неравенства, получим

На КП - плоскости решением системы (I) есть область I, ограниченная отрезком прямой с концами, имеющими координаты х = -1 и х = 1, и полупрямыми х = -а и х = а.

Решением системы (II) является прямая II, ограниченная отрезком прямой

а = -1 и частью параболы

проходящей через концы этого отрезка и имеющей вершину с координатой

х = 0 и значением параметра а = -1/2.

Уравнение верхней ветви параболы

а нижней -

х = х₂(а) = -

Решением исходного неравенства является объединение областей I и II.

Ответ: Если а < - 1, то а ≤ х ≤ - а;

если -1 ≤ а ≤ -1/2, то - ≤ х ≤

если а = -1/2, то х = 0;

если а > -1/2, то решений нет.

Пример 7.

Найти все значения параметра , при которых уравнение

имеет решение, принадлежащее промежутку [0;1].

Решение:

Применяя логическую схему алгоритма решения типового иррационального уравнения, заменим данное уравнение равносильной системой

На КП - плоскости хОа множество точек (х;а), значения координаты и параметры каждой из которых удовлетворяют рассматриваемой смешанной системе, состоит из точек расположенных в верхней полуплоскости и на параболе а = х² - х.

Искомые значения параметра а ищутся из условия нахождения части этой параболы (с вершиной в точке х = 1/2 , а = -1/4) в полосе 0 ≤ х ≤ 1.

Ответ: -1/4 ≤ а ≤ 0.

Пример 8.

При каждом значении параметра а найти все решения неравенства

Решение:

Применяя логическую схему, сведем решение данного неравенства к решению системы рациональных неравенств:

На КП - плоскости решение полученной системы неравенств представляет собой множество, состоящее при а = 0 из луча х > 0, а при а > 0 - из всех точек I четверти без точек параметрической оси х = 0, а также точек угла

(без его стороны х = -а.)

Ответ:

Пример 9.

Для каждого значения параметра а решить неравенство

Решение:

Заменим неравенство равносильным

Применяя КП - метод, получим ответ.

Ответ: если 0 < а < 1, то а < х < ;

если а > 1, то х > .

Пример 10.

Для любых допустимых значений а решить неравенство

Решение:

В силу логической схемы решения типового логарифмического неравенства имеем:

0 < а ≠ 1

log _а f(х) < log _а g(х) < = > f(х) > 0

(а - 1)( f(х) - g(х)) < 0

На КП - плоскости tОа решение совокупности смешанных систем заштриховано.

Ответ:

§ 2.Решение текстовых задач на движение на КП - плоскости.

Решая текстовые задачи на движение, изобразим на КП-плоскости зависимость координат от времени для каж­дого из движущихся тел. Получим простой алгоритм по­строения системы уравнений и неравенств для определения искомых величин.

Задача 1. Из городов А и В навстречу друг другу од­новременно вышли два товарных поезда. Они двигались без остановок, встретились через 24 часа после начала движе­ния и продолжали свой путь, причем первый поезд прибыл в пункт В на 20 часов позднее, чем второй поезд прибыл, в А. Сколько времени был в пути первый поезд?

Решение: Пусть t - время, затраченное вторым поездом на весь путь из В в А. Тогда (t+20) - время, затраченное первым поездом на весь путь из А в В (Рис.)

Точка D на рисунке соответствует моменту встречи поездов и имеет, согласно условию задачи, абсциссу, равную 24. Из подобия треугольников BDC и EDA имеем:

Из подобия треугольников ACG и ADF имеем:

Так как верно соотношение

получаем уравнение:

Значит, первый поезд затратил на весь путь t + 20 = 60 часов.

Ответ: 60 часов.

Задача 2. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут - мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?

Решение: Пусть t - время прибытия мотоциклиста в пункт В (Рис).

При этом мы будем считать, что пешеход из пункта А от­правился в нулевой момент времени. Тогда, согласно условию задачи, (t + 1) - время прибытия пешехода в пункт В. Пусть (t+t1) - время прибытия велосипедиста в пункт В. Из подобия треугольников ADE и CDH имеем:

Из подобия треугольников EDF и HDG имеем:

Из полученных соотношений следует уравнение:

Это значит, что пешеход прибыл в пункт В позже велосипедиста на часа , т.е. на 48 минут.

Ответ: На 48 минут.

Задача 3. По шоссе в одну сторону с постоянными ско­ростями движутся мотоциклист и пешеход, а навстречу им с постоянной скоростью движется автомобиль. Когда мото­циклист и пешеход были в одной точке, до автомобиля было 48 км. Когда пешеход и автомобиль встретились, пешеход отстал от мотоциклиста на 16 км. На сколько километров отставал пешеход от мотоциклиста в момент встречи ав­томобиля и мотоциклиста?

Решение: Пусть t₀ - момент времени, когда пешеход и мото­циклист находились в одной точке, t₁ - момент времени, когда встретились мотоциклист и автомобиль, а t₂ - момент времени, когда встретились пешеход и автомобиль (Рис). Пусть в момент времени t₁ расстояние между пешеходом и мо­тоциклистом было равно х км (длина отрезка CD). Согласно условиям задачи, в момент времени t₀ расстояние между мо­тоциклистом и автомобилем было равно 48 км (длина отрезка АВ), а в момент времени t₂ - 16 км (длина отрезка EF). Из подобия треугольников ABC и ECF имеем:

Из подобия треугольников ACD и AEF имеем:

Ответ: На 12 километров.

Задача 4.

Из города В в город А в 5 ч 30 мин вылетел самолёт. В 8 ч 30 мин из А в В вылетел вертолет. Скорости самолета и вертолёта на всём пути постоянные, и они летят по одной трассе. После их встречи вертолёт прибыл в В че­рез 9 ч, а самолёт прибыл в А через 2 ч. Найти время при­бытия самолёта в город А.

Решение.

Направим координатную ось от А к В с на­чалом в А. Отсчёт времени t будем проводить от момента вылета самолёта из города В.

Изобразим на КП-плоскости xAt зависимости от време­ни t координат х самолёта (прямая BD ) и вертолёта (пря­мая EN).

Обозначим через τ (час) (τ > 0) время полёта вертолёта из города А до встречи с самолётом в С.

Из подобия двух пар прямоугольных треугольников СЕР и CNM, CDP и СВМ имеем пропорцию

Отсюда находим положительное τ = 3. Следовательно, самолёт прибудет в город А через 8 ч, то есть в 13 ч 30 мин.

Ответ. 13 ч 30 мин.

Задача 5.

Из города А в город В, расстояние между которыми 200 км, мотоциклист ехал

6 ч. Сначала он дви­гался со скоростью V_l, превышающей 15 км/ч, а потом со скоростью V₂, причём время движения с каждой скоростью пропорционально этой скорости. Через 4 ч после выезда мотоциклист был в 120 км от города А. Определить скоро­сти V_l и V₂.

Решение.

Изобразим на КП - плоскости xAt две воз­можные зависимости координаты х от времени t, обозначив через t_l (ч) время движения мотоциклиста со скоростью V_l

По условию задачи имеем уравнения

200 = V_lt_l +V₂(6- t_l) (V_l > 15) (1)

(2)

Если

4 ≤ t_l < 6, (3)

то 120 = 4 V_l, то есть V_l - 30 (км/ч).

Исключив из уравнений (1) и (2) V₂, получим для опре­деления t_l, квадратное уравнение

3 t₁² - 28 t_l + 54 = 0 .

Корни этого уравнения не удовлетворяют условию (3). Следовательно, первый случай не может иметь место.

Если 0< t_l <4, (4)

то по условию задачи имеем уравнение

l20 = Vt_l +V(4-t_l), (5)

откуда, с учётом уравнений (1) и (2), получим

V₂ = 40, t₂ = 2 и V_r = 20.

О т в е т. V₁ = 20 (км/ч), V₂ = 40 (км/ч)

Глава 4.

Экзаменационные задачи с параметрами.

Задача 6.226 Найдите, при каких значениях а уравнение

log₂(4^х-а)=х

имеет единственный корень.

Решение:

log₂(4^х-а)=х (1)

По определению логарифма

4^х-а=2^х

4^х-2^х-а=0

Обозначим 2^х=t, t>0, тогда t²-t-а=0 (2) и рассмотрим функцию у= t²-t-а.

Уравнение (1) имеет единственный корень, если:

а) уравнение (2) имеет единственный положительный корень

(1) t_o>0

f(о)>0

D=0

б) уравнение (2) имеет различные корни, ровно один из которых положительный

D > 0

2) f(о) < 0

Вычислим

D = 1+4а;

t_o = ½;

f(о) = -а.

Система (1): 1+4а=0 а = -¼

½ > 0 < = > а є R < = > а = -¼.

-а > 0 а < 0

Система (2) 1+4а > 0 а > -¼ а > -¼

f(о) < 0 < = > -а < 0 < = > а > 0

а є (0;+∞).

Объединив полученные решения, получим: а є{-¼}U(0;+∞)

Ответ. (0;+∞) U {-¼}.

На одном из первых занятий по решению задач с параметрами мною была предложена такая задача:

Исследовать зависимость множества решений системы уравнений

|х| + |у|=1

х² + у^²=а

от параметра а.

Условие задачи было сформулировано, на мой взгляд, очень деликатно. Нет слов «решить…» или «при каких значениях параметра а…»

Прозвучавшее именно как предложение подумать, порассуждать, «исследовать зависимость…», условие задачи не испугалоуч-ся. А вот идея, которая сразу пришла в голову, выглядела абсолютно логично: надо «нарисовать ситуацию». Решать-то систему никто не требует.

у

х

Графиком первого уравнения является граница квадрата, а второго, в зависимости параметра а, множество концентрических окружностей с центром в 0 (0,0), радиуса √а.

1 Система не имеет решений, если а≤0 или √а < r, т.е. где r- радиус окружности, которая касается границы квадрата изнутри (нетрудно найти, что r=1/√2), или √а>1 (радиус окружности больше окружности, которая касается границы квадрата снаружи), следовательно, система не имеет решений, если а є (-∞;½) U (1;+∞).

2. Система имеет четыре решения (на графике четыре точки касания), если √а=1/√2 либо √а=1, т.е. а = ½ и а=1.

3. Система имеет восемь решений, если радиус окружности √а є (½;1).

Ответ. при а є (-∞;½) U (1;+∞)- нет решений;

при а = ½, а=1; - четыре решения;

при а є (½;1)- восемь решений.

Задача 6. 230.

Для каждого значения а найти число корней уравнения

|х+1|=3-ах.

Рассмотрим 2 способа решения этого задания.

I способ (аналитический).

Воспользуемся определением модуля и равносильностью уравнений системам

х+1≥0; х ≥ -1 х ≥ -1

|х+1|=3-ах < = > 3-ах=х+1, < = > х(а+1)=2 < = > х=2/а+1 (1)

х+1< 0, х < -1 х < -1

-х-1=3-ах х(а-1)=4 х=4/а-1 (2)

Система (1): х ≥ -1 х ≥ -1 а ≤ -3

х=2/(а+1) < = > (а+3)/(а+1)≥ 0 < = > а > -1

2/(а+1)≥ -1 х=2/(а+1) х=2а+1;

Система (2): х < -1 (а+3)/(а-1)< 0 -3<а< 1

4/(а-1)< -1 < = > х=4/(а-1) < = > х=4/(а-1)

х=4/а-1

Объединим полученные решения, используя для иллюстрации ось параметра а:

Ответ: при а є (-∞; -1] U [1;+∞) - 1 корень;

при а є (-1;1) - 2 корня.

II способ (графический).

Построим графики левой и правой частей уравнения.

у₁= |х+1| - графиком является ломаная, график функции у = |х|, смещенный влево по Ох на 1 единицу.

у₂ =3-ах; у₂ = -ах+3 - графиком является прямая, проходящая через точку (0;3) с угловым коэффициентом - а

Если прямая у₂ = -ах+3 параллельна прямой у = -х-1(левая ветвь графика функции у₁, т.е. при а = 1) или параллельна прямой у = х+1(правая ветвь графика функции у₁, при а = -1) уравнение имеет 1 корень (одна точка пересечения графиков левой и правой частей уравнения).

Если а є (-1;1), график правой части уравнения прямая у = -ах+3 пересекает оба звена ломаной, т.е. график левой части уравнения пересекается прямой в 2 точках. Уравнение имеет 2 корня.

Если а є (-∞; -1) или а є (1;+∞), графики левой и правой частей уравнения пересекаются в 1 точке, значит, уравнение имеет 1 корень.

Ответ: при а є (-∞; -1] U [1;+∞) - 1 корень;

при а є (-1;1) - 2 корня.

Конечно, второе решение дает ответ на вопрос задачи значительно быстрее, оно наглядно и технических трудностей при построении графиков не возникает. Но, если бы задание звучало так:

« При каждом значении параметра а решить уравнение |х+1|=3-ах», мне кажется , разумнее и надежнее было бы применить аналитический метод решения.

И еще я хочу обратиться к своим коллегам при подготоке к сдаче выпускных экзаменов использовать сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы (Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Е.А. Седова).

И буду очень рада, если мои размышления, решенные задачи или задачи, взятые из методической или справочной литературы окажутся вам полезными.

Список литературы.

1.С.М. Никольский М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин «Алгебра и начала анализа». Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений, Серия «МГУ-школе»

Москва, «Просвещение», 2005г.

2. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин «Алгебра и начала анализа». Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений, Серия «МГУ-школе»

Москва, «Просвещение», 2009г.

3. В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич «Задачи с параметрами»

Минск, «Асар», 2006г.

3. Э.Н. Балаян «Репетитор по математике для поступающих в ВУЗЫ»

Ростов-на-Дону, «Феникс», 2009г.

3. В.М. Говоров, П.Т. Дымов, Н.В. Мирошин, С.Ф. Смирнова «Сборник конкурсных задач по математике»

Москва, «Наука»,2008г.

3. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами»

Москва-Харьков «Илекса», «Гимназия» 2005г.

3. Г.В. Дорофеев и др. «Сборник заданий для подготовки и проведения

письменного экзамена по математике за курс средней школы»

Москва, «Дрофа», 2008г.

8. В.К. Егерев, В.В. Зайцев и др. Под редакцией М.И. Сканави «Сборник задач по математике для поступающих во Втузы»

Минск, «Высшая школа», 1990г.

Москва, «Высшая школа», 1988г.

8. И.И. Мельников, и.Н. Сергеев «Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах»

Москва, УНЦ ДО, 2004г.

8. Ю.Б. Митбрейт «Решаем примеры с параметрами»

Санкт-Петербург, Издательство «Нева-Визит», 2000г.

8. В.П. Моденов «Задачи с параметрами»- учебное пособие для школьников и абитуриентов.

Москва, Издательство «Экзамен», 2006г.

8. А.Н. Рурукин «Математика»- пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике.

Москва, «Вако», 2004г.

13. А.Р. Рязановский «Алгебра и начала анализа: 500 способов и методов решения задач по математике»

Москва, «Дрофа», 2001г.

14. Ю.В. Садовничий «Математика. Конкурсные задачи по алгебре». Учебное пособие, части 1-5.

Москва, УНЦ ДО, 2006г.

14. О.Черкасов, А.Якушев «Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену»

Москва, «Айрис-пресс»2011г.

16. Материалы ЕГЭ