Конспект урока по математике для 11 класса «Логарифмические уравнения и методы их решения»

Пилишкина Нина Николаевна

учитель математики высшей категории

ГУ лицей город Аксу

Павлодарская область г.Аксу ул.Энтузиастов 16 кв 28

телефон 68141

11 класс

Тема: Логарифмические уравнения и методы их решения.

Задача: 1. Сформировать умения и навыки решения логарифмических

уравнений.

2. Развитие продуктивного мышления и навыков самоконтроля в

процессе выполнения упражнений.

3. Развитие умений логически мыслить и аргументировано отстаивать

свои убеждения

Основные знания и умения:

Знать: определение логарифмического уравнения; основные методы решения логарифмических уравнений.

Умения: уметь решать логарифмические уравнения.

Ход урока

Ι. Организация урока.

Подготовка необходимых письменных принадлежностей, тетрадей, учебников.

ΙΙ. Актуализация опорных знаний.

Повторить: 1) Определение и свойства логарифмической функции;

2) Формулы логарифмирования и формулу перехода от одного

основания логарифма к другому;

3) Понятие о равносильности уравнений.

Устно: Используя основные свойства логарифмической функции и правила логарифмирования, установите закономерность заполнения таблицы и найдите х.

1 группа

1

2

8

3

х=5 ^{log 2}=2 х=2

5

Х

log2

2

3

2

9

х^lg3=3 х=10

Х

lg3

3

3

64

4

3

2^{log 7}=7 х=2

7

2

log7

2группа

1

5

Х

log6

х=5^{log 6} х=36

3

81

4

2

lg5

Х

lg7

х=lg5+lg7=lg35 х=lg35

7

12

5

3

log27

log3

X

х= =3 х=3

6

3

2

3 группа

1

Х

2log5

х== х=5

2

32

5

2

7

2

5

х=log₃24-3log₃2 = log_{3 =}log ₃3 =1 х =1

log24

3log2

x

3

3

5

125

3 ^{log 5} =5 х=3

log_х 5

3

5

ΙΙΙ. Изучение нового материала.

Учащиеся работают в группах. Каждая группа должна определить метод решения и решить предложенные уравнения.

Решить уравнения:

1группа

1

log₃(1-2x)=1

ОДЗ: 1-2х0 х0,5

1-2х=3¹х=-1

Ответ: х= -1

2

log₂(x-12)=2

ОДЗ: х12

х-12=2х=16

Ответ: х=16

3

log_x( )=-1,5

ОДЗ:

х^-1,5=5^-1,5х=5

Ответ: х= 5

4

log_x=-0,4

ОДЗ:

х^-0,4=6^-0,4х=6

Ответ: х= 6

Вывод: Уравнения, решаемые с помощью определения логарифма.

2 группа

1

log₂x-log₂11=log₂19-log₂(30-x)

ОДЗ: 0

х(30-х)=11*19

х ² -30х+209=0

х₁=11, х₂=19

Ответ:

2

log₅x-log₅(2x-5)=log₅8-2log₅

ОДЗ:

х²-3х=4х-10

х²-7х+10=0

х₁=2

х₂=5

Ответ: х=5

3

lg(x+1)+lgx=lg6

ОДЗ:х

х(х+1)=6

х²+х-6=0

х₁=-3

х₂=2

Ответ: х=2

4

log₃(x-6)-log₃2=1+log₃(x-10)

ОДЗ: х10

2log₃(x-6)-log₃2=2+log₃(x-10)

х²-30х+216=0

х₁=12, х₂=18

Ответ:

х₁=12,

х₂=18

Вывод: Уравнения, решаемые потенцированием.

3 группа

1

log₃²(x+2)=5log₃(x+2)

ОДЗ: х+20, х

log₃(x+2)(log₃(x+2)-5)=0

1. log₃(x+2)=0 x+2=3⁰

x=-1

2. log₃(x+2)=5 x+2=3⁵

x=241

Ответ: х₁=-1

х₂=241

2

log₂x lg(x+1)-2log₂x=0

ОДЗ: х0

log₂x(lg(x+1)-2)=0

1. log₂x=0 x₁=2⁰=1

2. lg(x+1)=2 10²=x+1

x₂=99

Ответ:

х₁=1

х₂=99

3

2log₃x log₂-

ОДЗ:

2log₃x log₂-5log₃x=0

log₃x(log₂(x-5)-5)=0

1. log₃x=0x₁=3⁰=1

2. log₂(x-5)=5x=2⁵+5

т.е. х=37

Ответ: х=37

4

log₄²x=6log₄

ОДЗ: х0

log₄x(log₄x-3)=0

1. log₄x=0x₁=4⁰=1

2. log₄x-3=0 log₄x=3

x=4³=64

Ответ:

х₁=1,х₂=64

Вывод: Уравнения, решаемые путем разложения на множители.

4 группа

1

log₃²x-3log₃x+2=0

ОДЗ: х0

Пусть у= log₃x, тогда получим уравнение

у²-3у+2=0 у₁=1 у₂=2

1. log₃x=1 х₁=3

2. log₃x=2 х₂=3²=9

Ответ: х₁=3 х₂=9

2

log_x²-log_x3+=0

ОДЗ:

log_x²3-log_x3+=0

Пусть у= log_x3, тогда получим уравнение

у²-6у+5=0у₁=1;у₂=5

1. log_x3=1 т.е. х=3

2. log_x3=5 т.е.х⁵=3 х=

Ответ:

3

ОДЗ:

2(lgx+2)+3(lgx+1)=2(lg²x+3lgx+2)

2lg²x+lgx-3=0

1. lgx=-x₁=10^-3/2

2. lgx=1 x₂=10

Ответ:

4

log₃x+log_x3=2

ОДЗ:

log₃x+

log₃²x-2log₃x+1=0

log₃x=1 x=3

Ответ: х=3

Выод: Уравнения, решаемые введением вспомогательной переменной

Общий вывод: Определение: Логарифмическими уравнениями называются уравнения, в которых неизвестная содержится только под знаком логарифма (в частности в основании логарифма)

Например: lg(x-3)=2, log_x5=3log₅(2x), log₅x log₂(x-3)=2log₅x.

Методы решения:

• Уравнения, решаемые с помощью определения логарифма;

• Уравнения, решаемые потенцированием;

• Уравнения, решаемые разложением на множители;

• Уравнения, решаемые введением вспомогательной переменной.

ΙΥ. Как решить следующие уравнения?

1. х^{lg x+lg x -12}=10^2lgx

Данные уравнения называются показательно - логарифмическими.

ОДЗ: х0

Способ решения: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.

(lg²x+5lgx-12)lgx=2lgx

lgx(lg²x+5lgx-14)=0

а) lgx=0 x=10⁰=1

б) lg²x+5lgx-14=0 lgx=-7 , т.е. х₁=10^-7

lgx=2, x₂=10²=100

Ответ:

2. Решите уравнение: log₂(x-3)+x=9 (*)

Данные уравнения называются трансцендентные уравнения

Способ решения: Графический способ решения.

Преобразуем данное уравнение, к виду log₂(x-2)=9-x

На одном чертеже построим графики функций у=log₂(x-3) и у=9-х

Графики пересекаются в точке А(7;2).

Следовательно, х=7 - корень уравнения.

Ответ: х=7

ΥΙ. Подведение итогов урока.

1. Ответить на вопросы учащихся.

2. Что нового узнали на уроке? Сформулируйте определение логарифмического уравнения и перечислите методы их решения.

3. Объявить оценки за урок.

ΥΙΙ. Задание на дом:

Решить уравнение (*)

А.Абылкасымов глава ΙΙΙ, §17, №278(1), №279(3), №281(1)