Исследовательская работа по теме Применение производной

Районная научно-практическая конференция учащихся и педагогов.

Исследовательская работа на тему

«Применение производной»

Предмет - математика

Номинация - исследовательская работа

Автор: Емельянов Дмитрий,

учащийся 11 класса МОУ «Платовская

средняя общеобразовательная школа»

Руководитель Емельянова

Ирина Анатольевна,

учитель І квалификационной категории.

2010 год

Содержание.

Введение…………………………………………………………………………3

Глава Ι. Производная……………………………………………………………4

§1. Элементы дифференциального исчисления………………………..4

§2. Исторические аспекты развития понятия производной……………5

Глава ІІ. Применение понятия производная………………………………….11

Глава ІІІ. Заключение…………………………………………………………..14

Литература………………………………………………………………………15

Введение.

В преддверии нового 2009 года министр образования и науки Российской Федерации Андрей Александрович Фурсенко на встрече с главным редактором журнала «Математика в школе» Евгением Абрамовичем Бунимовичем сказал: «Новая жизнь потребовала новых знаний. Люди должны в принципе уметь считать свои налоги, понимать как распоряжаться своими деньгами и как оценить имущество, т.е. знать математику для экономики, для повседневной жизни. Это сегодня важно».[4,с.3]

Если спросить естествоиспытателей, какая из математических операций является одним из наиболее распространенных инструментов исследования, то большинство из них, почти не задумываясь, ответит, что это дифференцирование, или операция нахождения производной. В терминах производных формулируются основные законы природы. На основе этих законов составляются дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию подлежащих изучению объектов. Решая полученные дифференциальные уравнения, исследователь имеет возможность достаточно полного описания многих аспектов изучаемых явлений, включая предсказание ещё неоткрытых научных фактов. Чтобы начать двигаться вдоль этой цепочки, необходимо прежде всего определить, что понимать под производной.

В 10 классе мы приступили к изучению раздела математики, который обычно называют «Математический анализ». Естественно, что в школе мы ограничиваемся в изучении лишь отдельных элементов математического анализа. Это первое знакомство с серьезным разделом высшей математики. В этом разделе «анализируют» довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения, но и около конкретной точки. Такой анализ практически всегда связан с понятием предела, только затем мы изучали производную - важную математическую модель, построение которой также основано на понятии предела.

Но будучи десятиклассником, не владея знаниями о теории вещественных чисел, теории предела и непрерывности, мне было трудно освоить новое понятие. Поэтому назрел естественный вопрос «А зачем эта производная нужна?»

Объектом моего исследования явилась производная в школьном курсе математики, ряд упражнений, которые решались бы легче и проще с использованием производной.

Глава Ι. Производная.

§1. Элементы дифференциального исчисления.

Важнейшими понятиями анализа, обладающими вместе с тем огромной общекультурной значимостью, являются производная, интеграл (определенный интеграл) и дифференциальное уравнение. Они напрямую связаны с универсальными проблемами движения, развития, поисками характеристик сложных объектов, прогнозированием будущего.

По мнению Б.В.Гнеденко [2,с.122] появление дифференциального и интегрального исчислений, а вместе с ними и теории дифференциальных уравнений привело к резкому увеличению роли математики как при изучении процессов природы, так и в инженерном деле. Математический анализ стал языком науки ΧVIII - ΧΧ веков, а вместе с тем и мощным оружием инженерных исследований.

Производная характеризует тенденцию изменения процесса, отнесенную к данному моменту времени или данной точке пространства. Сама необходимость и возможность характеризовать тенденцию изменения, например, скорость, в данный момент времени не самоочевидна. Ведь можно себе представить дело таким образом, что в данный момент, двигающееся тело просто где-то находится и потому якобы нет смысла говорить о движении в данный момент времени, искать характеристику движения (скорость) в данный момент, поскольку путь, пройденный в данный момент времени, равен нулю, равна нулю и временная протяженность момента, а делить ноль на ноль, вычисляя скорость по обычным правилам, нельзя. Но также нельзя отрывать движение от «нахождения». В данный момент времени тело и движется, и где-то находится. Если так, то нужно попытаться охарактеризовать быстроту движения в данный момент времени. Производная функции, описывающей движение, создает эту возможность (и реализует понятие мгновенной скорости).

По мнению А.Д. Мышкиса, дифференциальное исчисление имеет многочисленные приложения к исследованию изменения функций.[9, 135]

Таким образом, производная и её применение является одним из основных разделов начал математического анализа, связана с универсальными проблемами движения, развития.

§2. Исторические аспекты развития понятия производной.

Конец XVΙ - середина XVΙΙ в. ознаменовались огромным интересом ученых к объяснению движения и нахождению законов, которым оно подчиняется.

Именно в это время как никогда остро встали вопросы об определении и вычислении скорости движения и его ускорении. Решение этих вопросов привело к установлению связи между задачей о вычислении скорости движущегося тела и задачей о проведении касательной к кривой, описывающей зависимость пройденного расстояния от времени.

Действительно, когда материальная точка (рис.1) движется по кривой линии, вектор скорости v в каждый момент времени направлен по касательной МТ к кривой.

Используя эту связь, Э.Торричелли вычислил вектор скорости тела, брошенного под углом к горизонту, и получил изящный способ построения касательной к параболе.

Задача о нахождении касательной к кривой выходит в это время в математике на первый план.

Рис 1.

Первые общие методы построения касательных к широкому классу кривых были даны Р.Декартом и П.Ферма. Однако их методы, как и методы древних геометров, умевших строить касательные к окружностям, эллипсам, параболам, гиперболам и еще некоторым кривым, требовали специальных подходов в каждом конкретном случае. Все эти разнообразные способы не укладывались в единую схему вычисления. Чтобы найти единый подход к решению задачи об определении касательной, нужно было вскрыть то общее, что лежало за калейдоскопом решенных задач. Это и было сделано в конце XVII в. почти одновременно и независимо друг от друга английским физиком и математиком И.Ньютоном и немецким философом и математиком Г. Лейбницем.

Ньютон шел к решению задачи, отправляясь от описания движения, скорости и ускорения.

Лейбниц же продвигался к решению, отправляясь от изучения касательных к кривым.

Так бывает, что решая задачи, очень далекие друг от друга по содержанию, мы приходим к одной и той же математической модели. Сила математики состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования с той или иной математической моделью, которыми потом пользуются в других областях знаний.

В качестве введения в дифференциальное исчисление рассматриваются задачи, связанные с формированием основного понятия дифференциального исчисления. Многие задачи, разные по своему содержанию, приводят к необходимости рассмотрения предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это, в частности, задачи о касательной к линии, о скорости неравномерного прямолинейного движения, и др.

1. Примеры, приводящие к понятию производной.

Задача о скорости движущейся точки. Пусть s = v(t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Это уравнение выражает путь s, пройденный точкой, как функцию времени t. Обозначим через △s путь, пройденный точкой за промежуток времени △t от момента t до t + △t, т. е. △s = s(t + △t) - s(t).

Отношение называется средней скоростью точки за время от t до t + △t. Чем меньше △t, т.е. чем короче промежуток времени от t до t + △t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t. Поэтому естественно ввести понятие скорости v в данный момент t, определив ее как предел средней скорости за промежуток от t до t + △t, когда △t→ 0:

Величину v называют мгновенной скоростью точки в данный момент t.

Задача о силе электрического тока. Пусть q = q(t) - количество электричества (в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время t; количество электричества есть функция времени, так как каждому значению времени t соответствует определенное значение количества электричества. Для определения скорости изменения количества электричества с течением времени пользуются понятием силы тока. Обозначим через △q количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени △t от момента t до момента t + △t. Отношение называется средней силой тока за время от t до t + △t и обозначается через Iср. В случае постоянного тока Iср, будет постоянной. Если в цепи переменный ток, то Iср будет различна для различных промежутков времени. Поэтому для цепи переменного тока вводят понятие силы тока I в данный момент t, определив ее как предел средней силы тока за промежуток времени от t до t + △t, когда

Аналогично задаче о скорости прямолинейного движения рассматривается задача о скорости химической реакции.

Задача о скорости химической реакции. Пусть дана функция т = m(t), где т - количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Приращению времени △t будет соответствовать приращение △m величины m. Отношение - средняя скорость химической реакции за промежуток времени △t. Предел этого отношения при стремлении △t к нулю, т.е. , есть скорость химической реакции в данный момент времени t.

Аналогично этим задачам рассматривается задача о скорости роста популяции. Пусть p = p(t) - размер популяции бактерий в момент t. Тогда, рассуждая, как и выше, получаем, что есть скорость роста популяции бактерий в данный момент t.

Задача о касательной к данной кривой. Пусть на плоскости xOy кривая задана уравнением y = f(x) . Требуется провести касательную к данной кривой в данной точке M₀(x₀,f(x₀)).Так как точка касания M₀ дана, то для решения задачи потребуется найти угловой коэффициент искомой касательной, т.е. tgφ - тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox.

Рис.2

Через точки M₀(x₀,f(x₀)) и M ' (x₀+△x,f(x₀+△x)) проведем секущую M₀M'. Из рис. 2 видно, что угловой коэффициент tgα секущей M₀M ' равен отношению tgα = , где △y = f(x₀+△x) - f(x₀).

Угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке может быть найден на основании следующего определения: касательная к кривой в точке M₀ называется прямая M₀T, угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей M₀M', когда △x→0. Отсюда следует, что tgφ==.

2. Определение производной. Математическая операция, требуемая для решения рассмотренных выше трех задач, одна и та же. Выясним аналитическую сущность этой операции, отвлекаясь от вызвавших её конкретных процессов.

Пусть функция y=f(x) определена в промежутке (a;b). Возьмем какое-нибудь значение x из (a;b). Затем возьмем новое значение аргумента x+△x из этого промежутка, придав первоначальному значению x приращение △x (положительное или отрицательное). Этому новому значению аргумента соответствует и новое значение функции y +△y = f(x + △x),

где △y = f(x + △x) - f(x).

Теперь составим отношение

Оно является функцией от △x.

Еcли существует предел отношения приращения функции △y к вызвавшему его приращению аргумента △x, когда △x стремится к нулю, то этот предел называется производной от функции y=f(x) в данной точке x и обозначается через y' или f '(x) (читается «игрек штрих» или «эф штрих от икс»): y'= f '(x)= =.

Для обозначения производной принят также и следующий символ (читается «дэ игрек по дэ икс»). Эту запись надо рассматривать пока как целый символ, а не как частное.

Если существует предел справа (или предел слева ) , то он называется правой (или левой) производной функции f(x) в точке x.

Действие нахождения производной функции называется её дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. При этом если промежуток от a до b есть отрезок [a;b], то в точке a речь идет о правой производной, а в точке b - о левой производной.

Пример 1. Найти производную функции y = C, где C - постоянная. Имеем, y+△y = C, △y = 0, = 0, = 0, т.е. y' = 0. Следовательно, производная постоянной равна нулю.

Пример 2. Найти производную функции y=x. Имеем y+△y=x+△x, △y=△x, = 1, =1,т.е. y'=1.

Пример 3. Найти производную функции y = . Имеем

y +△y=, △y== 2,

= ,

= .

Из рассмотренных выше задач, приводящих к понятию производной, есть следствия.

1. Скорость прямолинейного движения есть производная пути по времени t: v = . В этом состоит механический смысл производной. Скорость v химической реакции есть производная количества вещества m по времени t: v = . Скорость роста популяции есть производная размера популяции p по времени t: v = . Сила переменного тока I есть производная количества электричества q=q(t) по времени t, т.е. I =

По аналогии с этим производную любой функции часто называют скоростью изменения этой функции.

2. Угловой коэффициент касательной к кривой y = f(x)в точке с абсциссой x есть производная f '(x). В этом состоит геометрический смысл производной.

Задача 1. Точка движется по прямой по закону s = t, где s - путь (см), а t - время (с). Найти скорость движения точки в момент t = 3.

Решение: Имеем v = s' =1(см. пример 2). В частности, при t = 3, v=1(см/с).

Задача 2. Размер популяции бактерий в момент t (время выражено в часах) задается формулой p(t) = 3000 + 100 t². Найти скорость роста популяции в момент t = 5.

Решение: Имеем p'(t) = = = 100=200t. В частности, при t=5 скорость роста составляет 1000 бактерий в час.

Задача 3. Найти уравнение касательной и нормали (прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной к касательной к данной кривой в точке А) к кривой y = x² + 1 в точке A(1;2).

Решение: Найдем производную функции y = x² +1:

y'= = = =2x.

В точке касания А х=1 и, следовательно, угловой коэффициент касательной k₁=2, а нормали k₂= - . Поэтому искомые уравнения запишутся в виде y - 2 = 2(x - 1), y - 2 = - ½(x - 1) или y = 2x, y = -½ x + 2,5.

Б.В.Гнеденко [2,с. 109] отмечал, что резкое расширение арсенала средств прикладной математики принес ΧVIII век, когда трудами Ньютона и Лейбница. А также их предшественниками - Кавальери, Кеплера, Ферма, Барлоу и других были заложены основы грандиозного математического здания - анализа, т.е. дифференциального и интегрального исчислений. Их появление стимулировалось постановкой важных задач, связанных с изучением движения и необходимостью вычисления площадей и объемов. В частности, требовалось дать точное определение скорости точки в данный момент времени.

Наиболее успешно реализуются связи математики и физики по ряду причин:

1. Физика относится к естественным наукам. Наряду с биологией, химией, астрономией и другими науками она изучает окружающий мир. Математику не относят к естественным наукам, она непосредственно не изучает окружающий мир. «Царство математики - возможные миры» (Лейбниц).

2. При изучении математики преобладает дедуктивный характер (от общего к частному). При изучении физики - индуктивный (от частного к общему). Здесь четко просматривается цепочка: наблюдение явлений, нахождение причинных связей, лежащих в основе этих явлений, переход к закономерностям; на всех этапах используются математические методы и модели. Во многих задачах физики приходится в одних случаях по заданной функции находить производную, а в других - по заданной производной восстанавливать функцию, т.е. находить первообразную. Кажется целесообразным «отрабатывать цепочку» в двух направлениях.

Из вышесказанного видно, что физический материал широко применяет арсенал математики. Вместе с этим можно использовать физический материал при введении понятия производной. Наряду с понятиями предела числовой последовательности и предела функции это понятие одним из наиболее важных специфических понятий математического анализа.

К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, понятие мгновенной скорости неравномерно движущегося тела (мы знакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения), о средней силе электрического тока, о скорости химической реакции, скорости роста популяции.

Во время интегрированного урока в 11 классе по теме «Применение производной в различных областях науки», отводилось время презентациям, выполненным самими учащимися: «Применение физического смысла производной при решении физических задач», «Решение химических и биологических задач с помощью производной», «Решение задач с географическим содержанием». В результате на доске и в тетрадях заполнили таблицу:

Глава ІІ. Применение понятия производная.

В курсе «Алгебра и начала анализа» при обобщении материала темы «Производная и её применение» можно с позиций теории дифференциального исчисления показать, как с помощью понятия производной получают единую трактовку такие понятия, как скорость химической реакции, мгновенная скорость прямолинейного неравномерного движения, линейная плотность неоднородного стержня, сила тока в цепи, теплоемкость тела и т. д.. Целесообразно также более тесно связать понятие производной с такими содержательно-методическими линиями курса математики, как линия уравнений и неравенств, линия тождественных преобразований.

Так, понятие производной функции может быть использовано при доказательстве тождеств, при этом усилится прикладная направленность курса, расширится класс решаемых задач.

Рассмотрим решение некоторых задач, которые могут быть решены учащимся с помощью производной.

1. Докажите тождество

cos⁴ х - cos 4х - 2 cos² х + cos 2х= - .

Для доказательства рассмотрим функцию

f(x) = cos⁴ х - cos 4х - 2 cos² х + cos 2х.

Доказать данное тождество - это значит показать, что при любом х значения функции f (х) равные - , т. е. следует установить, что эта функция постоянна и ее значение есть число - .

Найдем производную функции f (x):

f '(х) = - 4 cos³ х sin х + 0,5 sin 4х+4 cos x sin x - sin 2x =

= - 4 cos³ x sin x + sin 2xcos 2x + 2 sin 2x - sin 2x=

= -2 cos² x sin 2x + sin 2х cos 2x + sin 2x =

= sin 2x( - 2 cos² x + cos²x - sin² x) + sin 2x=

= - sin 2x (cos² x + sin² x) + sin 2x= - sin 2x + sin 2x=0.

Так как f '(x)=0 для любого x Є R, то это означает, что на множестве R функция f (x) есть постоянная. Чтобы найти эту постоянную, вычислим значение функции в любой точке, например в точке х=0.

f (0) = cos⁴ 0 - cos 0 - 2 cos² 0 + cos 0 = 1 - - 2 + = -

Итак, можно сделать вывод, что на множестве R данное равенство есть тождество.

2. Докажите, что для всех неотрицательных х справедливо

неравенство: ln(l+x) ≥

Рассмотрим функцию f (x) = ln(l+x) - на промежутке [0; ∞). Найдем производную этой функции:

f '(x)= - = - = - = = .

При любом значении х>0 справедливо неравенство f '(х)>0. Это значит, что на промежутке (0; ∞) функция f (x) возрастает. В то же время замечаем, что функция f (х) на промежутке х ≥ 0 есть непрерывная функция, как сумма непрерывных функций. А это значит, что она на левом конце этого промежутка при х = 0 принимает свое наименьшее значение.

А так как f(0) = ln(1+0) - = 0, то для любого х≥0 f(х) ≥ 0,

т.е. ln(l+x) - , откуда ln(l+x) ≥ .

3. При каких действительных b уравнение = b имеет решение?

Найдем область определения данного уравнения, для чего решим систему:

2х - 4≥0, х≥2,

7 - х≥0; х

Рассмотрим на отрезке функцию f(x) = и найдем её производную:

f ' (x) = - = .

Найдем точки, в которых эта производная на отрезке равна 0, 2 = 0, 2 = , -6х = -32 , х = .

f ' () = 0 и (2;7), а значит, х = - единственная критическая точка.

Найдем значения функции f(x) в точке х= и на концах отрезка :

f(2) = ; f(7) = ; f() .

Учитывая, что функция f(x) непрерывна на отрезке, её наибольшим значением будет число , а наименьшим - число . Так как функция f(x) непрерывна, то область её значений целиком лежит между наименьшим и наибольшим значениями и представляет отрезок [;]. Следовательно, b, стоящее в правой части исходного уравнения, должно принимать значения из этого промежутка.

Итак, исходное уравнение имеет решение при .

Рассмотрим еще один пример.

Петров В.А. [10, с. 21] отмечает, что производная помогает получать для нужд техники неправдоподобно простые и очень удобные для вычислений формулы.

Обобщая материал о применении производной к приближенным вычислениям, можно показать учащимся идею линеаризации функции. Суть этой идеи состоит в следующем.

В случае непрерывности функции y = f(x) в некоторой точке х₀ ее значения для всех значений аргумента из достаточно малой окрестности точки х₀ приближенно равны значению f (x₀). Если же к свойству непрерывности функции в точке х₀ добавить еще одно свойство, а именно ее дифференцируемость в этой точке, то значения функции y = f(x) в достаточно малой окрестности точки х₀ приближенно могут быть заменены значениями некоторой линейной функции y = kx+b (как впоследствии будет выяснено, это уравнение есть уравнение касательной к кривой у = f (x), проведенной к ней в точке с абсциссой х₀).

Фактически это следует из разложения функции в ряд Тейлора. Действительно, пусть мы имеем разложение

f (х)= f(x₀) + △x + △x² +…+ △xⁿ

Если бы функция f(х) обладала лишь свойством непрерывности

в точке х₀, то мы имели бы приближенное равенство f (x) f (х_о).

Если же функция f (х) в точке х₀ имеет первую производную,

то приближение будет более точным; к правой части равенства f (x)f (х_о) добавится ещё одно слагаемое△x, т.е. имеет место приближенное равенство: f(x) f(x₀) + △x. При наличии второй производной функции f(x) в точке x₀ будем иметь f (х)= f(x₀) + △x + △x².

Следовательно, если функция бесконечно дифференцируема, то приближение может быть сделано с любой степени точности.

Однако в курсе алгебры и начал анализа рассматривается лишь понятие первой производной. Поэтому при изучении применений производной к приближенным вычислениям ограничиваются лишь двумя первыми слагаемыми ряда Тейлора, т.е. используют приближенное равенство:

f (х) f(x₀) + △x.

Так как правая часть этого равенства есть линейная функция относительно △х, то фактически мы заданную функцию у = f (х)= f(x) приблизили этой линейной функцией. Отсюда и название - линеаризация функции.

В учебнике в качестве иллюстрации дана формула приближенного вычисления 1 + ½△х, вывод которой основан на равенстве

f (х) f(x₀) + △x.

Аналогично выводится формула (1 +△х)ⁿ1 + n△х.

При таком обобщении материала формула приближенных вычислений предстает не как обособленный факт, а как частное проявление общего факта теории линеаризации функции.

Заключение.

Актуальность темы "Производная в школьном курсе математики" следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Изучение производной позволяет:

• показать школьникам комплексность использования математических закономерностей в современном производстве и его структурных частях (технике, технологии, экономике, организации труда и др.);

• убедить школьников в том, что рабочим различных профессий необходима не только специальная, но и математическая подготовка, без которой нельзя заниматься рационализацией, изобретательством, творчески трудиться;

• формировать у учащихся общетрудовые (планирование, самоконтроль) и некоторые общепроизводственные (измерительные, вычислительные, графические, исследовательские) умения.

Использование физического материала содействует развитию навыков в применении математического аппарата, дает возможность применять различные методы (векторный, координатный и др.) для решения прикладных задач, помогает формировать у учеников представление о роли математики в изучении окружающего мира, видеть разницу между реальным и идеальным, между физическим явлением и его математической моделью, вызывает дополнительный интерес и мотивацию к учению.

Опыт показал, что тесная связь с другими предметами позволяет более интересно воспринимать уроки, рационально распределять время, повышать активность учащихся.

Проведенное автором исследование по изучению понятия производной позволило сделать вывод о том, что усвоение понятия производной и знакомство с областями применения производной способствует:

• развитию учащихся с привлечением материала по физике, биологии, химии;

• развитию познавательной активности,

• умению наблюдать окружающий мир, задумываться над его внутренней сутью, причинами изменений, анализировать условия, определяющие различные тенденции его развития;

• улучшению результатов обучения.

Литература.

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы / Под ред. А.Н.Колмогорова. М.: Просвещение, 1990.

2. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М.: Просвещение, 1985. - 192 с.

3. Дорофеев Г.В. Применение производных для решения задач в школьном курсе математики// Математика в школе, 1980.№5.с.12-21.

4. Лаврентьев А.А. Логику происходящего в мире нельзя постичь без математических знаний. // Математика в школе. 2009. №1.с.3-6.

5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 6-е изд. - М.: Мнемозина, 2005. - 375 с.: ил.

6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова, Т.М.Мишустина, Е.Е.Тульчинская; Под ред. А.Г.Мордковича. - 7-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2006. - 315 с.: ил.. - 6-е изд. - М.: Мнемозина, 2005. - 375 с.: ил.

7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Контрольные работы для общеобразоват. учреждений. Учеб. пособие / А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2005. - 62 с.

8. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Тематические тесты и зачеты для общеобразоват. учреждений / Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова; Под ред. А.Г.Мордковича. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2005. - 102 с.

9. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. Учеб. пособие для студентов высших технических учебных заведений.- 4-е изд. - М.: «Наука», 1973. - 640 с.

10. Петров В.А. Производная на службе у техники.// Математика в школе. 2006. №8.с.20-24.

11. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.: ил.

Стр. 17