Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства

МАОУ ЛИЦЕЙ №44 г. Липецка

Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.

Уроки математики в 11 классе

(социально-экономический профиль)

Задачи с параметрами

по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

Цель:

• Углубить знания учащихся по теме иррациональные уравнения и неравенства.

• Показать как одна из линий курса математики средней школы "Уравнения и неравенства с параметрами" реализуются в содержании ЕГЭ.

• Развивать практические навыки в решении иррациональных неравенств с параметрами.

• Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки самостоятельной работы, самоконтроля.

• Воспитывать познавательный интерес, творческие способности, ответственное отношение. Повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

Пояснительная записка.

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами. Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.

Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.

Иррациональные уравнения и неравенства.

При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q - некоторые функции, , тогда:

1). , f ≥ 0; q ≥ 0.

2). , f ≥ 0; q > 0.

3). , q ≥ 0.

4). , , q ≠ 0.

5). , fq ≥0.

Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.

Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

Уравнение вида, равносильно системе:

Пример 1.

Решить уравнение .

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе:

=> =>

Находим значения а, при которых

Ответ:

Пример 2.

Решить уравнение .

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе:

=>

,

х₁, х₂ являются действительными числами при а ≤ 9/16. При значениях а > 9/16 решений нет.

Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.

а) ≥ ½

≥ а

Если а ≤ 9/16, то 8а-5<0 и неравенство справедливо при всех допустимых а.

б).

а ≥ ½ (а ≤ 9/16)

Следовательно, х₂ является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16

Ответ:, если а < ½;, если ½ ≤ а ≤ 9/16; нет решений, если а>9/16.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение.

ОДЗ: х - а ≥ 0, х ≥ а

х₁ = 1, х₂ = а

Если а = 1, то х₁ = х₁ = 1.

Если а < 1, то х₁ = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.

Если а > 1, то х₁ = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.

Ответ: 1) если а < 1; то х₁ = 1; х₂ = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.

Пример 4.

При каких а уравнение имеет один корень?

Решение.

х₁ = 4, х₂ = а

Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а < 0.

Ответ: а = 4 или а < 0.

Пример 5.

Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0

D =

а >16 (а < -16 не входит в ОДЗ)

, . А = 17 - минимальное целое число.

Ответ: 17.

Пример 6.

Найти все значения параметра а, при которых корни уравненияпринадлежат отрезку [2;17].

Решение.

Пусть

, t ≥ 0, х - 1 = t²

,

,

|t - 2| + |t - 3| = а

1) => => =>

2) => =>

3) => => =>

Ответ: .

Пример 7.

Решить уравнение.

Решение.

х ≥ 2

(х + 1)(х - 2) = а; х² - х - 2 = а, х² - х - 2 - а = 0.

, .

Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х₂.

Ответ: при а ≥ 0 .

Пример 8.

Решить уравнение.

Решение.

. Так как , то m > 0. Пусть у = , тогда х = у² + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:

т.е. <=> <=> ,

, , .

Ответ: при m < 0, m>3 решений нет, при .

Пример 9.

Решить уравнение.

Решение.

Пусть , тогда ,

, , а т.к. t > 0, то ,

, , . ( а > ¼)

х = .

Ответ: х = при а > ¼.

Пример 10.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение.

Решение.

Если изобразить графики функций и , то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при .

1

у

х

-а а 1 -а 10=-а

3

Пример 11.

При каких значениях а решением неравенства является промежуток [2;18)?

Решение.

ОДЗ: 3 - а > 0, а < 3.

х - 2 < (3 - а)²,

х < (3 - а)² +2,

х < 11 - 6а +а², т.к. , то

а = -1.

а = 7 - не подходит в ОДЗ.

Ответ: а = -1.

Пример 12.

Решить неравенство , где а - параметр.

Решение.

При любом значении а, если правая часть х + а - 1 < 0, т.е. х < 1 - а, заданное неравенство справедливо.

При х ≥ 1 - а равносильная система имеет вид :

=> (*)

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если а > 1, то 1 - а ≤ х < . Объединяя с множеством х < 1 - а, получим х < .

2. Если а = 1, то х ≥ 1 - решение системы (*). Объединяя с множеством х< а - 1 (а = 1), находим: х - любое число.

3. Если а < 1, то решение системы (*) х ≥ 1 - а. Присовокупив х < 1 - а, имеем: х - любое число.

Ответ: , если а > 1; , если а ≤ 1.

Пример 13.

Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

Из данного уравнения следует:

1 - х² = х² + 2ах + а²,

2х² + 2ах + а² - 1 = 0.

D/4 = 2 - а². D > 0 при |a| <.

Затем если изобразить графики функций и , то видно как меняется количество решений в зависимости от значений а.

у

х

-1

1

-1

у = а + х

Ответ: при нет решений; прии одно решение; при два решения.

Задание на дом:

1). Решить уравнение .

Ответ: .

2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение имеет различные положительные корни.

Решение.

ОДЗ:

, х > 0, а ≥ 0.

7х - а = ах²,

ах² - 7х + а = 0,

D = 49 - 4a² > 0

а = -3, 5 не входит в ОДЗ.

Ответ: 0 и 3,5.

3). Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение равносильно системе:

=>

При а = 2 второе уравнение имеет вид , т.е. .

При а ≠ 2 .

Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.

.

Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 ; при 1/3 < а ≤ 2 уравнение не имеет решений.

4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения принадлежит отрезку [-4;44].

Ответ: .

5). При всех а решить неравенство .

Решение.

ОДЗ:

а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех .

б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.

=> .

Ответ: при; при.