Методическая разработка Многоуровневая система задач по теме Треугольник

Многоуровневая система задач по теме «Треугольник»

В методике обучения математике выработаны представления о системе учебных задач, создано необходимое учебно-методическое обеспечение школьных курсов, имеется совокупность разноуровневых задач, позволяющих достигать заданные образовательные цели. Предметная учебная задача возникла как особая форма передачи социального опыта, накопленного человечеством, позволяющая передавать знания в их деятельностном виде. Известные факты и способы деятельности в учебной задаче скрыты, свернуты; чтобы стать обладателем этих знаний, ученик должен заново их распредметить в собственной деятельности. Поэтому предметная учебная задача есть также средство передачи социального опыта. Ее основные функции - реконструировать и перевести известные формы уже имеющегося опыта в процесс познавательной активности учащихся и содержание их умственной деятельности, стать средством развития. Иными словами, сущностью учебной деятельности является деятельность по присвоению обобщенных способов действий на основе решения специально поставленных учебных задач. Поэтому обучение математике через решение целесообразно подобранных задач, которое естественно назвать задачным подходом, - наиболее естественная реализация системно деятельностного подхода в обучении. Любая учебно-математическая задача является предметной (математической) задачей. В то же время с помощью нее в обучении достигаются определенные дидактические цели. Одна и та же предметная задача позволяет решать разные дидактические задачи, и, наоборот, одну и ту же дидактическую задачу можно решить с помощью разных предметных задач. Любая система учебных задач курса является большой открытой многоуровневой системой, которая зависит от целей и задач обучения, конкретных методических подходов и субъективных воззрений. При построении системы задач могут применяться различные системообразующие основания и критерии. Однако каждая система учебных задач должна характеризуется следующими основными инвариантными признаками:

а) целостность, т.е. наличие явных и латентных горизонтальных и вертикальных интегрирующих предметно-содержательных и дидактических связей;

б) дидактическая полнота (функциональная достаточность), позволяющая реализовать стимулирующую, обучающую, развивающую, воспитывающую, прагматическая, контролирующую, оценочную, прогностическую и коммуникационную функции учебных задач;

в) предметно-содержательная полнота относительно требований к нормативным уровням обученности по завершению учебного курса, выраженная в наличии задач разных уровней сложности и трудности;

Решение учебной задачи направлено на усвоение школьниками обобщенных способов предметных действий и служит основой изменения субъекта учебной деятельности. Поэтому выбор предметной учебной ситуации в качестве единицы содержания образования на уровне учебного материала позволяет провести четкую грань между понятиями «единица» и «элемент». Задачная ситуация является носителем как предметно-содержательной, так и процессуальной сторон обучения. Ситуация, возникающая при решении предметной учебной задачи, как единица содержания образования является подсистемой соответствующей предметной методической системы обучения, в то время как элемент характеризует эту систему только со стороны ее состава. Последовательности целесообразно подобранных задач, т.е. задачный подход, позволяют естественным образом моделировать учебные ситуации, в которых могут быть реализованы заданные цели обучения математике. Отсюда делается вывод о том, что системообразующим принципом системы учебных задач курса может стать принцип единства деятельности и процессуальной сторон обучения.

Система ключевых задач темы, являясь подсистемой системы задач всего курса, служит своеобразным остовом, на котором при задачном подходе строится изучение темы. Ключевые задачи разных уровней позволяют дифференцировать по уровням всю совокупность системы задач темы, т.е. эти задачи являются базисными элементами системы, их последовательное развертывание на одном уровне актуализирует наиболее важные горизонтальные связи понятий, теорем; а переход на следующий уровень объективирует вертикальные связи.

В основе методики обучения на базе разработанной многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач. Благодаря этому осуществляется движение в предметно-содержательном и процессуально-деятельностном направлениях.

Ведущим элементом методики является работа с ключевыми задачами. Эта работа выстраивается на постепенном переходе от совместных форм деятельности к индивидуальным.

Введение новых понятий и теоретических фактов предваряется созданием проблемных учебных ситуаций, которые адекватно отражают и раскрывают содержание формируемого понятия (теоремы). Это позволяет представить новый теоретический материал в виде задачи или серии задач, которые нужно решить, для того чтобы справиться с проблемной ситуацией. Иными словами, изучаемый теоретический факт предстает перед учащимися в виде ключевых задач. Такой подход естественно и наиболее полно отражает сущность математической (и, вообще, познавательной) деятельности.

Другим основополагающим элементом является работа с ключевыми задачами. Эта работа выстраивается на постепенном переходе от совместных форм деятельности к индивидуальным. На начальных этапах изучения курса предпочтение отдается фронтальному разбору отдельных ключевых задач. На следующей стадии разбор отдельных задач сменяют уроки решения ключевых задач темы. На заключительных этапах изучения курса учащиеся выполняют групповые и индивидуальные проекты по самостоятельному решению и составлению целесообразной последовательности ключевых задач темы.

В основе методики обучения на базе разработанной многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций (знакомая, модифицированная и незнакомая задача), возникающих при решении задач.

Овладев на первом этапе(ЗЗ- знакомые задачи) приемами решения задач, с очевидностью сводящихся к ключевым, ученик завершает этап чисто репродуктивной деятельности. Теперь перед ним простирается множество задач, для решения которых мало знания стандартного (алгоритма в; стандартной .ситуации; необходимо научиться приспосабливать алгоритм или видоизменять задачную ситуацию к знакомой, для этого требуются анализ, синтез, обобщение и аналогия. Это многообразие задач, полученных путем модифицирования в направлении изменения алгоритма, технической сложности или формы представления условия задачи- модифицированные задачи (МЗ). Такие задачи лежат в зоне ближайшего математического развития ученика, т.е. это задачи, которые он теперь сможет решить самостоятельно или с некоторой дозой помощи учителя.

Наконец, третий уровень задач (НЗ- незнакомые задачи) предполагает исследовательскую деятельность ученика, самостоятельный перенос приема на неизвестную ситуацию, модернизацию (в случае необходимости) приема. Применение уровневых заданий при обучении в настоящее время весьма актуально, поскольку не все учащиеся имеют одинаковый интерес к изучаемому предмету, у них разные способности, а значит, не каждый может проявить собственное «Я» на том или ином уроке. Такой подход помогает ученикам создать для себя на уроке ситуацию успеха, благодаря личностному выбору. Кроме того, он позволяет выявить не только конкретные знания по теме, но и проверить их усвоение в комплексе, прогнозировать результаты обучения, создаёт возможность для творческого усвоения знаний, являясь побудительным мотивом к дальнейшему росту и самосовершенствованию. Уровневые задания могут быть с успехом могут быть использованы при: изучении нового материала; контроле усвоения, знаний, умений и навыков; проверке знаний.

Многоуровневая система задач для каждой темы курса формируется с помощью ее матричного представления, путем выделения ранжированного перечня базовых элементов содержания образования и соответствующих им базовых задач, - с одной стороны, и уровней обученности, отражающих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, - с другой. Подобную матричную модель удобно представить с помощью таблицы 1.

Матричная модель системы задач

Таблица 1

Такая матрица системы задач темы содержит 3 строки, соответствующие трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач, и N столбцов, отражающих количество базовых задач темы.

Вопрос дифференцированного обучения учащихся всегда была актуален для учителя. Дифференциация бывает внешняя, определяемая нормативными документами, делится на два уровня ( для базовых школ и школ с углубленным изучением математики) и внутренняя, делящаяся на три уровня

- умение решать задачи по образцу

- умение решать модифицированные задачи

- умение решать незнакомые задачи.

Многоуровневые задачи создают реальные условия для совместного обучения учеников с разными учебными возможностями, позволяют ученику строить свою образовательную траекторию в соответствии с уровнем приобретённых знаний, а учителю сформировать и оценить знания учащихся, и помочь выбрать им оптимальные пути достижения поставленной цели. Кроме того, они усиливают основные функции математических задач, эффективно сочетая в процессе решения все организационные формы работы учащихся. Их можно использовать на уроках различных типов, кроме того, ученики могут предварительно оценить результат своей работы, так как ученик сам выбирает уровень задачи.

ТРЕУГОЛЬНИК: БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ.

В данном разделе принимаются следующие обозначения:

• A, B, C- вершины и соответственно внутренние углы треугольника ABC;

• a, b, c - стороны, соответственно противолежащие углам A, B, C;

• P,2p - периметр;

• h_a, h_b, h_c- длины высот, проведенных к сторонам a, b, c;

• m_a, m_b, m_c- длины медиан;

• l_a, l_b, l_c-длины биссектрис внутренних углов A, B, C;

• l_a^*_, l_b^*_, l_c^* - длины биссектрис внешних углов A, B, C;

• S-площадь треугольника

• R-радиус описанной окружности

• r - радиус вписанной окружности

• r_a- радиус вневписанной окружности , касающейся стороны a.

C

C

H₁

H₃

H₂

A

M₃

M₂

A

M₁

В треугольнике ABCAB=c. BC=a, AC=b. Вычислите:

ЗАДАЧА №1

Дано: ABC - треугольник,

Найти: S_ABC.

РЕШЕНИЕ:

По формуле Герона имеем

ЗАДАЧА №2

Дано: ABC - треугольник,

Найти:

РЕШЕНИЕ:

1. Используем теорему косинусов:

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

Подставляя значения сторон, получим

Итак, .

2. Чтобы найти синус угла В, найдем сначала косинус угла В из формулы теоремы косинусов

,

а затем выразим синус угла из основного тригонометрического тождества

, учитывая, что

Итак,

=

3. Найдем косинус угла С по теореме косинусов:

Воспользуемся формулой половинного аргумента

олучим:

едовательно,

.

Ответ:

ЗАДАЧА №3

Дано:

Найти: r.

Решение:

(формула Герона)

ЗАДАЧА №4

Дано:

Найти: R.

Решение:

(формула Герона)

ЗАДАЧА №5

Найти медиану треугольника , проведенную к стороне ВС.

Выведем формулу медианы треугольника.

Запишем теорему косинусов для стороны AB =c треугольника ABC

Выразив cosC, получаем

Рассмотрим треугольник AM₁ C. Запишем теорему косинусов для стороны AM₁=m_a

Подставим выражение для CosC в формулу m_a.

Итак, имеем .

Подставим данные задачи в полученную формулу:

Ответ:

ЗАДАЧА №6

Найти длину биссектрисы, указанной в индивидуальном варианте (lc - ?)

1 способ из условия второй задачи следует, что

найдем длину биссектрисы через две стороны и угол :

2 способ Найдем длину биссектрисы через полупериметр и стороны :

3 способНайдем длину биссектрисы через три стороны:

Ответ:

ЗАДАЧА №7

А

С

В

Н₃

1. Запишем формулу для вычисления треугольника:

2. Из этой формулы выражаем

3. (по условию), надо найти площадь.

4. Площадь находим по формуле Герона:

где a, b, c- длины сторон, а p- полупериметр.
Полупериметр - это сумма длин всех сторон поделенная на два.

5. Вычисляем площадь:

6.Находим высоту

Ответ:ЗАДАЧА №8

В треугольнике со сторонами a, b иc найти радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a.

Дано: АВС, АВ = с, АС = b, BC = a;

О - центр вневписанной окружности.

Найти: r_a.

Решение: ОВВ₁ = ОВА₁ как прямоугольные по катету и гипотенузе. Следовательно, ВВ₁ = ВА₁.

Аналогично, СА₁ = СС₁.

АВ₁ = АС₁ как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки.

Кроме того, АВ₁ = АС₁ = р = ½(а + b + с) и ОА₁=ОВ₁=ОС₁= r_a как радиусы.

Выразим площадь четырёхугольника AB₁OC₁ двумя способами, чтобы получить уравнение.

+

.

Применив формулу Герона, получим формулу .

Пусть a=12, b=25, c=36, тогда р=½(12+25+36)=36,5.

.

Ответ:

ЗАДАЧА 9.

В треугольнике АВСАВ=с, ВС=a, АС=в. Мi -основания медиан.Докажите, что. Вычислите площадь, еслиа=12, в=25, с=36.

Дано: ∆АВС, АВ=с, ВС=a, АС=в,

Мi -основания медиан, а=12, в=25, с=36.

Найти: .

Решение:

Т.к.Мi -основания медиан, то данные точки являются серединами сторон ∆АВС. .

Выразим , используя формулу Герона площадь

.

Ответ:

Ответ:.

ЗАДАЧА №10

А

В

С

М₂

М₁

М₃

Дано:

АВС,

АМ₁, ВМ₂, СМ₃ - медианы,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти:PМ₁М₂М₃.

Решение:

АМ₁, ВМ₂ - медианы М₁ и М₂ - середины сторон ВС и АСМ₁М₂ - средняя линия АВС. По свойству средней линии треугольника:

М₁М₂ || АВ и М₁М₂ = ½ АВ.

Аналогично:

М₂М₃ || ВС и М₂М₃ = ½ ВС,

М₁М₃ || АС и М₁М₃ = ½ АС.

.

Ответ:

C

A

L₁

L₃

L₂

ЗАДАЧА №11

.

Дано: а=12,в=25,с=36

Вычислить площадь треугольника L₁L₂L_3, образованного основаниями биссектрис

Решение:

Для того, чтобы найти искомую площадь используем свойство площадей фигур:

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. (Свойство биссектрисы)

Следовательно, требуется разделить стороны требуемого треугольника на пропорциональные отрезки:

Используя ранее вычисленные значения функции cos для углов треугольника, найдем значения функции sin. (Основное тригонометрическое тождество)

Ответ:

В

А

C

L₁

L₂

L₃

ЗАДАЧА №12

Дано:

∆ ABC

AL₂, BL₁, CL₃ - биссектрисы

cosA = ; cosB =; данные из п.2

cosC =

AL₁=; AL₃=;

BL₂=; BL₃=; данные из п.11

CL₁=; CL₂=

Найти: Р∆L₁L₂L₃ - ?

Решение:

Р∆L₁L₂L₃=L₁L₂+L₂L₃+L₁L₃

По теореме косинусов определим длины сторон ∆L₁L₂L₃

1. L₁L₂² = CL₁²+ CL₂² - 2 CL₁ CL₂ cos C

L₁L₂= ==

2.L₁L₃² = АL₁²+ АL₃² - 2 АL₁АL₃ cos В

L₁L₃= ==

3.L₂L₃² = ВL₂²+ ВL₃² - 2 ВL₂ВL₃ cos А

L₁L₃= ==

4. Р∆L₁L₂L₃=L₁L₂+L₂L₃+L₁L₃

~

~

~Р∆L₁L₂L₃ = + + 46

~Ответ: Р∆L₁L₂L₃ 46

ЗАДАЧА №13

По теореме Эйлера

Ответ:

ЗАДАЧА №14

Расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружности.

Дано: вписанная окружность с центром в точке О, вневписанная окружность с центром О₁.

АВ=с=36, ВС= а=12, АС=b=25.

Найти:Расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружности.

Решение:

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

1) Повторим теорему, озвученную ранее, что центр вневписанной окружности, лежит на продолжении биссектрисы соответствующего угла треугольника. Рассмотрим вневписанную окружность с центром в точке О₁, Пусть она касается стороны ВС треугольника АВС. ОО₁ ∩ СВ = А₁

Следовательно, нам нужно найти длину отрезка ОО₁, где ОО₁₌ ОА₁ +А₁О₁.

Данные отрезки можно найти из прямоугольных треугольников ОМА₁ и О₁NА₁, где ОМ | ВС и O₁N | BC по свойству касательной к окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле r = .

По формуле Герона найдем площадь АВС

,

где полупериметр р =.

S_тр = .

Радиус вневписанной окружности равен r =

ОМ = r

2) Для нахождения радиуса вневписанной окружности воспользуемся формулой, выведенной при решении задачи № 8:O₁N = r_a

Легко доказать, что ОМА₁ и ОN₁А₁ подобны по двум углам. как накрест лежащие при двух параллельных прямых и секущей ОО₁.

Если ОМА₁∞ОN₁А₁, то k = : = .

3)Найдем длины отрезков, на которые делятся стороны треугольника АВС точками касания вписанной в него окружности. (см. рисунок).

Если M, P и Т - точки касания, то, обозначив СM через х и, воспользовавшись свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получим: СP = x = CN

AР = AT= b - x, BM = BT = a - x. Но AT +BT = c.

Отсюда (b - х) +(a - x) = c, поэтому .

Таким образом, CP = CM = p - c.

Аналогично выражаем: АР = АТ = р - а, ВМ = ВТ = р - b.

Значит CM = p - c = и ВМ = р - b =

4) Найти длины отрезков, на которые делится сторона треугольника точкой касания вневписанной окружности.

_{Рассмотрим треугольники} МОС ∞ NСО_{1, они подобные по двум углам:}

и . Следовательно: ,

Преобразуя, получим CN = p - b = .

Следовательно, MN = 11.

Значит МА₁ + АN₁ = 11.

_{5) Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники ∆ ОМА1 и ∆ О1NA1,}

Запишем отношение отрезков, зная коэффициент подобия:

Пусть МА₁ = у, тогда АN₁ = 11 - у., имеем: ,

Составим уравнение: 73у = 49∙11 - 49у,

122у = 49∙11,

, значитМА₁ = ,

Тогда АN₁= 11 - у =

6) Из прямоугольного _∆ОМА₁ по теореме Пифагора найдем ОА₁.

ОА₁=

7)Из О₁NА₁ найдем гипотенузу по теореме Пифагора

О₁А₁=

8) Найдем расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружности, т.е. сумму радиусов вписанной и вневписанной окружностей:

ОО₁ = ОА₁ +А₁О₁.

Ответ: ОО₁.

ЗАДАЧА №15

В треугольнике ABCAB = 36, BC = 12, AC = 25. Вычислите ,

где H_i - основания высот.

Дано:

ABC

AH₁, BH₂, CH₃ - высоты

AB = 36

BC = 12

AC = 25

Вычислите:

- ?

Решение:

Для остроугольного треугольника используется следующее решение:

5. Вычисляем полупериметр p = и по формуле Герона находим :

= = =

5. Докажем, что cosC = k_c:

AH₁CBH₂C (по двум углам)

C - общий, CH₂B = AH₁C = 90⁰, тогда , значит ABCH₁H₂C (по второму признаку подобия треугольников).

Т.к. cosC ( из АH₁C ) или cosC ( из BH₂C ), то cosC = k_c.

Аналогично: cosA = k_a

cosB = k_b

Используя данное доказательство и находим:

В конкретном случае из решения задачи №2 имеем:

cosA =

cosB =

cosC = , тогда C- тупой, поэтому для тупоугольного треугольника данная задача становится исследовательской.

ЗАДАЧА №16

Дано:ВС, АВ=36, ВС=12, АС=25

С

Н

Н

А В

Н

Найти Р, где Н, Н, Носнования высот.

Решение: Р= Н Н+ НН+ НН.

Прямоугольные треугольники А НВ и СНВ подобны по двум углам (угол В - общий, углы А НВ и СНВ прямые).

Значит, или НВАВ=НВСВ.

Следовательно, треугольники Н ВН и АВС подобны (по второму признаку) с коэффициентом подобия .

Аналогично, треугольники Н НС и АВС подобны с коэффициентом подобия и треугольники А НН и АВС подобны с коэффициентом подобия .

Значит, НН=АВ;

НН=ВС;

НН=АС.

Найдем косинусы углов треугольника АВС по теореме косинусов.

=; =; =.

Тогда НН=36=31,62; НН=12=1111,85;

НН=25=2323,58.

Р= Н Н+ НН+ НН

Р=66,69.

Ответ: 66,6

ЗАДАЧА №17

В треугольнике АВС точки К_1, К_2, К₃ точки касания сторон треугольника ВС, АС, АВ соответственно. Найти S_K₁K₂K₃, если ВС=а=12, АС=b=25, AB=c=36.

Дано:

 АВС

ВС=а=12

АС=b=25

AB=c=36

Найти:

S_K₁K₂K₃

Решение:

1. Точка О - точка пересечения биссектрис, значит это центр вписанной окружности в  АВС.

2. ОК₁=ОК₂=ОК₃=r - радиусы вписанной окружности в  АВС.

3. ВК₁=ВК₃; АК₂=АК₃; СК₁=СК₂ - как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности.

4. Найдем ВК₃.

2. Используя основное тригонометрическое тождество, найдем sinA, sinB, sinC.

sinA = = = = = .

sinB = = = = = .

sinC = = = = .

ЗАДАЧА №18

Дано:

Найти: , где точки касания вписанной окружности.

Решение:

1. Находим радиус вписанной окружности:

(формула Герона)

2. Определяем вид и находим косинус . Для этогоиспользуем теорему косинусов:

(

3. Находим косину Для этого используем теорему косинусов.

4. Находим косину Для этого используем теорему косинусов.

5. Рассмотрим Найдем , для этого используем формулу тангенса половинного угла.

6. Рассмотрим Выразим из формулы

В , и .

Аналогично находим .

7. Из по теореме косинусов находим :

Из находим

Из находим

8. Находим:

.

:.

36