Методическое пособие по линейной алгебре для студентов

16

Министерство образования Иркутской области

Государственное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

Иркутской области

«Иркутский авиационный техникум»

Методическое пособие

для студентов

по дисциплине «Математика»

Тема: «Линейная алгебра»

Иркутск, 2015

Методическое пособие по теме «Линейная алгебра» выполнено для использования его студентами при самостоятельных занятиях по теме «Линейная алгебра» с целью углубления знаний по этой теме и отработки практических навыков решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

УТВЕРЖДЕНО

цикловой комиссией

ГБПОУИО «ИАТ»

Протокол № 10

от «25» июня 2015 г.

Составитель: преподаватель ИАТ Сыровая И.С.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методическое пособие по теме «Линейная алгебра» выполнено для использования его студентами при самостоятельных занятиях по теме «Линейная алгебра» с целью углубления знаний по этой теме и отработки практических навыков решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Пособие состоит из 7 разделов.

1. В этом разделе даны определения матрицы, видов матриц и определителей

2-го и 3-го порядков., рассмотрены примеры их вычисления.

2. Приведена информация о системах линейных уравнений и их решении.

3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

5. Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

6. Задания для самостоятельной работы.

7. Литература.

1. МАТРИЦЫ.

1.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица чисел
,
содержащая m строк и n столбцов.

Каждый элемент матрицы а_ik имеет два индекса: i - номер строки и k - номер столбца.

Краткая форма записи матрицы:
А = (а_ik)_m,n

Матрица называется квадратной порядка n, если она состоит из n строк и n столбцов.
Матрица размера 1хn называется матрицей-строкой, матрица размера mх1 называется матрицей-столбцом.

Нулевой матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Треугольной матрицей n-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:
.
Единичной называется квадратная матрица n-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы - нули:
.
Матрицы А = (а_ik)_m,n и В = (в_ik)_m,n называются РАВНЫМИ, если а_ik = в_ik (i = 1,…,m;
k = 1,…,n).

2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
   
   
   

Суммой матриц А = (а_ik)_m,n и В = (в_ik)_m,n называются матрица А + В = (а_ik + в_ik)_m,n.

Произведением матрицы А = (а_ik)_m,n на число l называется матрица lА = (lа_ik)_m,n.

Для любых матриц одинакового размера выполняются свойства:
1) А + В = В +А 2) А + (В + С) = (А + В) + С

3) А + 0 = А

Транспонированной для матрицы А называется матрица А^Т, строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы - строками матрицы А.

Пример 1. Даны матрицы
и
Построить матрицу С = 2А - 3В + А^Т.
Решение:
-+
+=.

1.3 УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Произведением матрицы А = (а_ik)_m,р на матрицу В = (в_ik)_р,n называется матрица D

размера mхn с элементами

Иными словами, для получения элемента, стоящего в i-ой строке результирующей матрицы и в k-ом ее столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементов
i-ой строки матрицы А на k-ый столбец матрицы В.

Пример 2. Найти произведение матрицы А на матрицу В:
.

Решение.

.

Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Это - условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, матрицы перемножить нельзя.

4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определитель второго порядка.

Пусть матрица А - квадратная матрица 2-го порядка:
.
Определителем 2-го порядка (матрицы а) называется число

Пример. Вычислить определитель матрицы

Решение:

Определитель третьего порядка.

Пусть матрица А - квадратная матрица 3-го порядка:

Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется число

Правило треугольника:

Пример. Вычислить определить

Разложение определителя по строке или столбцу.

Минором элемента a_ik называется определитель М_ik, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы А i-ой строки и k-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента a_ik называется число .

Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:

Данную формулу называют разложением определителя по первой строке.

Пример. Вычислить определитель матрицы
.

Решение. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:

Вычисляем искомый определитель:
D(А) = 3^.7 + (-2)^.(-35) + 4^.(-7) = 63.

Свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. D(А^Т) = D (А).

2. Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак.

3. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

2. Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений с переменными x, y и z имеет вид:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂ (1)

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Решением системы уравнений называется упорядоченная тройка чисел

x, y, z, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Для системы уравнений можно составить матрицу А - матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу D - матрицу-столбец свободных коэффициентов.

a₁ b₁ c₁ d₁

A = a₂ b₂ c₂ D = d₂

a₃ b₃ c₃ d₃

Составим и вычислим определитель матрицы А:

a₁ b₁ c₁

∆ = a₂ b₂ c₂ = a₁b₂c₃+ b₁c₂ a₃ + a₂b₃c₁ - a₃b₂c₁ - c₂b₃a₁ - a₂b₁c₃

a₃ b₃ c₃

2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: Значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменатель которой равен главному определителю системы, а числитель получается из главного определителя путём замены столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Для системы (1) запишем определители ∆, ∆_x, ∆_y, ∆_z.

a₁ b₁ c₁ d₁ b₁ c₁ a₁ d₁ c₁

∆ = a₂ b₂ c₂ ∆_x = d₂ b₂ c₂ ∆_y = a₂ d₂ c₂

a₃ b₃ c₃ d₃ b₃ c₃ a₃ d₃ c₃

a₁ b₁ d₁

∆_z = a₂ b₂ d₂

a₃ b₃ d₃

По формулам Крамера: x = ∆_x/ ∆ y = ∆_y / ∆ z = ∆_z/ ∆

Пример: x - y + 3z = 3

3x + y - z = 17

2x -7y + z = - 4

Вычислим главный определитель системы:

1 -1 3

∆ = 3 1 - 1 = 1 + 2 - 63 -6 -7 + 3 = -70

2 -7 1

Заменив столбец коэффициентов при переменной x столбцом свободных коэффициентов, получим определитель ∆_x:

3 -1 3

∆_х = 17 1 -1 = 3 - 4 - 357 + 12 - 21 + 17 = -350

-4 -7 1

Заменив столбец коэффициентов при переменной y столбцом свободных коэффициентов, получим определитель ∆_y:

1 3 3

∆_y= 3 17 -1 = 17 - 6 - 36 - 102 - 9 - 4 = -140

2 -4 1

Заменив столбец коэффициентов при переменной z столбцом свободных коэффициентов, получим определитель ∆_z:

1 -1 3

∆_z = 3 1 17 = -4 - 34 - 63 - 6 + 119 - 12 = 0

2 -7 -4

По формулам Крамера вычислим значения x, y и z:

x = ∆_x/ ∆ = 5 y = ∆_y / ∆ =2 z = ∆_z/ ∆=0

Ответ: (5; 2; 0).

2. Решение систем методом Гаусса.

При решении систем линейных уравнений используют метод Гаусса, который заключается в приведении заданной системы к треугольному виду (прямой ход). Затем из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1. умножение или деление коэффициентов свободных на одно и то же число;

2. сложение и вычитание уравнений;

3. перестановку уравнений системы;

4. исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Пример:

x - y + 3z = 3

3x + y - z = 17

2x -7y + z = - 4

Запишем расширенную матрицу:

1 -1 3 3

3 1 -1 17

2 -7 1 -4

Чтобы в первом столбце получить a₂= a₃= 0, умножим первую строку соответственно на -3 и -2 и сложим результаты с первой строкой.

1 -1 3 3

0 4 -10 8

0 -5 -5 -10

Первую и вторую строки запишем без изменения, а затем вторую строку умножим на 5, третью - на 4, полученные значения сложим и запишем результаты в качестве третьей строки:

1 -1 3 3

0 4 -10 8

0 0 -70 0

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:

x - y + 3z = 3

4y - 10z = 8

-70z = 0

Выполняя обратный ход, найдём переменные:

Z = 0;

4y - 10 0 = 8; 4y = 8; y = 2;

x - 2 + 3 0 = 3; x = 3 + 2 = 5.

Итак, получаем ответ: (5; 2; 0).

5 Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

Для системы (1) рассмотрим матрицы

a₁ b₁ c₁ d₁ x₁

A = a₂ b₂ c₂ D = d₂ X = x₂

a₃ b₃ c₃ d₃ x₃

Используя правило умножения матриц, систему (1) запишем в виде:

a₁ b₁ c₁ x₁ d₁

a₂ b₂ c₂ x₂ = d₂

a₃ b₃ c₃ x₃ d₃

или AX = D.

Это равенство называется простейшим матричным уравнением.

Умножив обе части матричного уравнения на A^-1, получим: A^-1(AX) = A^-1D Так как (A^-1A)X = EX = X, ═ X = A^-1D.

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1). Найти обратную матрицу А^-1.

2). Найти произведение А^-1D.

3). Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Пример. Решить матричное уравнение:

3 -1 0 5

-2 1 1 X = 0

2 -1 4 15

Найдём обратную матрицу A^-1.

Вычислим определитель матрицы A:

3 -1 0

∆ = -2 1 1 = 12 - 2 + 3 - 8 = 5

2 -1 4

Вычисляя алгебраические дополнения элементов матрицы, получим:

А₁₁= 5; А₁₂= 10; А₁₃₌ 0; А₂₁= 4; А₂₂= 12; А₂₃= 1; А₃₁= - 1; А₃₂ = - 3; А₃₃= 1.

Запишем новую матрицу:

5 4 -1

10 12 -3

0 1 1

Транспонируем её:

5 10 0

4 12 -3

-1 -3 1

Запишем обратную матрицу:

1 4/5 -1/5

2 12/5 -3/5

0 1/5 1/5

1 4/5 -1/5 5 1 5 + 4/5 0 + (-1/5) 15 2

Х = 2 12/5 -3/5  0 = 2 5 + 12/5 0 + (-3/5) 15 1

0 1/5 1/5 15 0 5 + 1/5 0 + 1/5 15 3

Итак, можно записать:

х₁ 2

х₂ = 1 т. е. х₁ = 2, х₂ = 1, х₃ = 3.

х₃ 3

Ответ: (2; 1; 3).

6. Задания для самостоятельной работы:

1. x + 2y + z = 8 2. x + 3y - 6z = 12

3x + 2y + z = 10 3x + 2y + 5z = -10

4x + 3y -2z = 4 2x + 5y - 3z = 6

Ответ: ( 1; 2; 3 ) Ответ: (0; 0; -2 )

3. 5x - y - z = 0 4. 3x - y + 2z = 2

x + 2y + 3z = 14 x + 2y + z = -7

4x + 3y + 2z = 16 2x + y - z = 1

Ответ: (1; 2; 3 ) Ответ: (1; -3; -2 )

7 Литература

1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Учебное пособие для техникумов. - М.: Высшая школа, 2012.- 463с.

2. Мордкович А.Г.Алгебра и начала анализа: В 2 ч.: Ч. 2: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Изд. 3-е, испр.-М., Мнемозина, 2005.-375с.

3. Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. - 3-е изд доп. и перераб. - Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.