Методическая разработка урока по геометрии в 9 классе.

Бородина Т.П. учитель МБОУ СОШ №1

Тема: Площадь треугольника.

Цель:

Знать теорему о площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. Уметь применять теорему в решениях задач.

Задачи:

Образовательная:

-закрепить умение проводить доказательства теорем.

- формировать навыки решение задач, используя свойства геометрических фигур и разнообразные методы решения задач.

Развивающая:

- развить внимание, память, умение выражать свои мысли

- активизировать умение анализировать, делать выводы.

Воспитывающая:

-воспитывать интерес к предмету.

План урока:

1-й этап. Актуализация знаний.

1. Проверка домашнего задания.

- доказательство теоремы о площади треугольника S=∙с ∙в ∙ sinα,

с использованием координатного метода.

- доказательство теоремы о площади параллелограмма S=∙с ∙в ∙ sinα ,

с использованием формулы площади треугольника.

2. Повторение изученного раннее.

- решение задач на «готовых чертежах» с применением формулы площади треугольника.

2-этап. Формирование умений и навыков в решении задач по геометрии.

Решение сложных задач с применением формулы

площади треугольника S=∙с ∙в ∙ sinα.

- использование рекомендаций по выбору метода решения

- использование алгоритма решения.

3-й этап. Учебная самостоятельная работа.

Творческая работа: «открытие» новых формул.

-вывод формул площадей: параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата через диагонали этих фигур, с использованием формулы площади треугольника.

- самостоятельно, по заданному плану, выполнить решение задач на доказательство новых правил.

4-й этап. Подведение итогов.

Х о д у р о к а:

1-й этап. Актуализация знаний.

Цель: Проверить умение проводить доказательства теорем. Умение использовать формулу площади треугольника через синус угла.

Отработать понятие «две стороны и угол между ними», названия градусных мер углов «альфа, бетта, гамма», закрепить использование элементов треугольника при составлении формулы площади треугольника.

Повторить значения синусов углов в.Повторить формулы приведения. Проверить умение применять формулы площадей данных фигур по заданным элементам. Закрепить вычислительные навыки.

1. Проверка домашнего задания.

Доказательство теоремы о площади треугольника.

Используя «координатный метод», доказать: если известны две стороны треугольника и угол между ними, то площадь треугольника вычисляется как половина произведения этих сторон, умноженная на синус угла, заключенного между этими сторонами.

Теорема: площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство теоремы о площади параллелограмма.

Задача №1021
Доказать, что площадь параллелограмма равна произведению двух его
смежных сторон на синус угла между ними.

Дано: ABCD параллелограмм

AB = a AD = b

S − площадь параллелограмма

Доказать: S = a ∙b ∙sinA

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ∆ABD и ∆СДВ.

Данные треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников, значит

площади треугольников также равны,

S_∆ABD = S_∆СДВ

S_∆АВД =∙ АВ ∙ АD ∙ sinA

Площадь параллелограмма

S_ABCD= S_∆ABD + S_∆СДВ= 2 ∙ S_∆АВД =

2∙∙а∙в∙SinA= a ∙b ∙sinA

S_ABCD = a ∙ b ∙ sinA

2. Повторение изученного раннее. Решение задач на «готовых чертежах» с применением формулы площади треугольника.

Задание. Зная в треугольнике длины двух сторон и угол между ними, составьте формулу площади треугольника через синус угла, заключенного между этими сторонами

Ответы учащихся:

S= ∙с ∙ в ∙ sinα.

S= ∙с ∙ а ∙ sinβ

S= ∙с ∙ в ∙ sinγ

Зная длины двух сторон и угол между ними, вычислите площади данных фигур по формуле S=∙с ∙в ∙ sinα.

Ответ:5 Ответ:9

Ответ:12

Ответ:6,25

2-этап. Формирование умений и навыков в решении сложных задач

Цель:

-Отработать умение в задаче, с несколькими условиями, увидеть все данные для применения какой-либо формулы (особенно площади треугольника через синус угла).

-Использовать знания свойств фигур в решении задачи

-Развить умение проговаривать правила, формулы, теоремы, свойства фигур.

- Развивать навыки в умении связывать, заданные условием задачи, элементы со свойствами этих элементов.

-Уметь распознавать метод, который необходимо применить к данной задаче.

Задача №1

В треугольнике АВС АВ=4, АД=6, уголВАД=60®, ВД=2√7. Найти АН.

Алгоритм решения и рекомендации:

1.Вычислить площадь ∆АВД по известным двум сторонам и углу между ними.

2.Использовать формулу площади ∆АВД через высоту АН.

3. Применить «метод опорного элемента»: где один и тот же элемент - « площадь», выражается через известные и неизвестные величины двумя разными способами, и полученные выражения приравниваются.

4. Ответ:

Задача №2.

В треугольнике АВС АВ=4, ВС=6, ВД- биссектриса трейгольника, ∟АВС=45®. Найдите площади треугольников АВД и СВД.

Алгоритм решения и рекомендации: 1.Вычислить площадь ∆АВС, используя теорему о площади треугольника

2.Использовать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. «Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы».

3.Составить отношения площадей треугольников АВД и СВД и найти его значение через стороны АВ и ВС.

4.Использовать «метод площадей»: площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей (SАВС равна сумме площадей каких треугольников?)

Задача №3.

В треугольнике АВС медианы АА₁ и СС₁ пересекаются в точке О.
АА₁ =15см, СС₁ =18см, угол АОС₁ =60®. Найти площадь треугольника АВС.

Алгоритм решения и рекомендации:

1.Найти площадь ∆АОС_1. Для этого найдем ОС₁ -часть медианы СС₁ и ОА -часть медианы АА₁.

2.Провести медиану ВВ₁ Использовать «метод ключевых задач» --свойства медиан треугольника:

а)медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

б)медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

3.Для нахождения площади треугольника АВС, нужно площадь ∆АОС₁ умножить на шесть.

3-й этап. Учебная самостоятельная работа.

Творческая работа: «открытие» новых формул.

Цель:

-Вывести формулы площадей параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата через диагонали этих фигур с использованием формулы площади треугольника.

-Научить, по заданному плану решения, проводить самостоятельные рассуждения, делать выводы, формулировать определения, применять формулу площади треугольника для создания нового правила.

-Показать знания определений и свойств прямоугольника, ромба, квадрата. Провести учащимися самостоятельно несколько доказательств.

Индивидуальная карточка учащегося__________________________

Ребята, запишите свою фамилию и имя.

Познакомьтесь последовательно с условием задач.

Решайте, рассуждайте, выводите формулы по рекомендованному вам плану, внимательно читая и разбирая его пункты.

Записывайте свои ответы в правом столбце.

Задание: Решите самостоятельно задачи с целью вывода новых формул для площадей параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата через диагонали этих фигур с использованием формулы площади треугольника.

Задача №1. В параллелограмме АВСД диагонали АС и ВД пересекаются в точке О. Угол между диагоналями равен α. Найти площадь параллелограмма через его диагонали и угол между диагоналями.

План решения:

Ответы учащегося

1.Запишите формулу площади ∆СОД по сторонам ОС и ОД и через синус угла между ними.

2.Обозначить диагонали параллелограмма через d₁ и d₂ , а угол СОД через α

3.Выразить ОС через диагональ d₁ и

ОД через диагональ d₂

4.Поставьте найденные значения для ОС и ОД, выраженные через диагонали d₁ и d₂

в формулу для площади ∆СОД

5.Докажите, что диагонали разбили площадь параллелограмма на четыре равных по площади треугольника.

6.Площадь ∆СОД умножить на четыре, упростите.

7.Запишите получившуюся формулу

8. Сформулируйте правило площади параллелограмма через его диагонали и угол между ними.

Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей параллелограмма, умноженная на на синус угла между ними.

Задача №2.

В прямоугольнике АВСД диагонали АС и ВД пересекаются в точке О. Угол между диагоналями равен α. Найти площадь параллелограмма через его диагонали и угол между диагоналями.

План решения:

Ответы учащегося

1.Дайте определение прямоугольника

Прямоугольник это параллелограмм, у которого углы прямые

2.Свойства диагоналей прямоугольника.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

3.Обозначить диагонали прямоугольника через d, а угол между диагоналями СОД через α

АС=ВД=d,

4.Примените формулу площади параллелограмма S= d₁ ∙ d₂ ∙sinα для вывода новой формулы площади прямоугольника, учитывая, что d₁ = d_2. Обозначьте равные диагонали через d.

5. Запишите получившуюся формулу и сформулируйте правило площади прямоугольника через диагонали и угол между ними.

Площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата его диагонали на синус угла между диагоналями.

Задача №3.

Вывести формулу площади ромба через его диагонали и угол между диагоналями.

План решения

Ответы учащегося

1.Запишите определение ромба

Свойства диагоналей ромба.

Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, и точкой пересечения делятся пополам

2. Запишите через d₁ и d₂ диагонали АС и ВД, обозначьте угол между диагоналями α

АС=d₁ и ВД=d₂ ,∟СОД=α

3.Примените формулу площади параллелограмма S= ∙d₁ ∙ d₂∙ sinα для вывода формулы площади ромба. Помните, что у ромба α=90

4.Запишите формулу площади ромба и сформулируйте правило

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей

Задача №4.

Вывести формулу площади квадрата через его диагонали и угол между диагоналями.

План решения

Ответы учащегося

1.Определение квадрата

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны

2.Свойства диагоналей квадрата

В квадрате диагонали равны, взаимно перперпендикулярны

3.Примените формулу площади прямоугольника S=d² ∙ sinα. Помните, что у квадрата угол между диагоналями α=90

4.Запишите формулу площади квадрата и сформулируйте правило

Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.

4-й этап. Подведение итогов.

Карточка для этапа рефлексии

Ответьте на вопросы:

1. Данная тема мне понятна.

2. Я хорошо понял теорему о вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

3. Я знаю, как пользоваться формулой для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу меду ними

4. Я сумею найти______________________________________________________

5. При решении задач у меня все получилось_________________________

6. Я понял теорему, но допустил ошибки при выводе формул площадей четырехугольников через диагонали__________________________________________________________

7. Я доволен своей работой на уроке_______________________________________

8. Я на уроке узнал новое------------------------------------------------------------------------------

9. Я научился---------------------------------------------------------------------------------------------

Домашнее задание: решение задач по учебнику Атанасяна Л.С. № 1057, 1058 стр.272.