Конспект уроку з алгебри на тему Многочлен

Тема: «Многочлени. Стандартний вигляд многочлена».

Мета:

• Ввести поняття многочлена, стандартного виду многочлена, подібних членів многочлена.

• Сформувати вміння приводити многочлен до стандартного виду, обчислювати значення многочлена.

Ми вже з вами знаємо, що не любі одночлени можна додавати та віднімати, а тільки подібні, але може трапитися так, що вираз може містити суму неподібних одночленів. Для вивчення таких сум ввели поняття многочлена.

Визначення. Многочленом називають суму одночленів.

Наприклад:

3а + b; 5а²b - 2аb² - 4аb² + 3с; х⁴ + х³ + х² - 5.

Одночлени, з яких складається многочлен, називають членами многочлена.

Якщо одночленів два, то кажуть, що дано двочлен, якщо їх три, то говорять, що дано тричлен (наприклад, 5а² - 2b²с + 7b).

Розглянемо многочлен

2аb²·3а²b - 5а - 7а + 3b² - а²b³·6а - 2b².

Оскільки це сума одночленів, то звичайно - це многочлен, а чи подобається вам цей запис? Мабуть, ні. Чому?

По-перше, одночлен 2аb²·3а²b не записаний в стандартному вигляді, а ми вже знаємо, що стандартний вигляд - найбільш зручний запис одночлена. Зведемо його до стандартного вигляду, отримаємо 6а³b³.

Аналогічно зведемо ще один член многочлена до стандартного вигляду, а саме а²b³·6а. Отримаємо - 2а³b³.

Тепер наш многочлен прийме більш приємніший вигляд

6а³b³ - 5а - 7а + 3b² - 2а³b³ - 2b².

По-друге, оскільки від перестановки доданків сума не змінюється, подібні одночлени можна розташувати поруч, а потім додати.

Отримаємо

(6а³b³ - 2а³b³) + (-5а - 7а) + (3b² -2b²) = 4а³b³ - 12а + b³.

Але за звичайно, подібні одночлени в многочлені не переставляють, їх однаково підкреслюють, а потім додають:

6а³b ³ - 5а - 7а + 3b² - 2а³в³ - 2b² = 4а³b³ - 12а + b².

Таку дію називають зведенням подібних членів.

Якщо в многочлені всі члени записані в стандартному вигляді і зведені подібні члени, то говорять, що многочлен привели до стандартного виду.

Тепер зрозуміло, чому запис 4а³b³ - 12а + b² краще, ніж запис

6а³b³ - 5а - 7а + 3b² - 2а³b³ - 2b².

Любий многочлен можна звести до стандартного вигляду.

Степінь многочлена є найбільша із степенів одночлена, що входить в даний многочлен.

Многочлен позначають буквою p або Р - з цієї букви розпочинається грецьке слово polys («многочисленний»; ще многочлени називають поліномами .)

В позначення включають і змінні, з яких складаються члени многочлена.

Наприклад, 2х³ - 6х² + 2 позначають р(х) - читають: «пе від ікс»; многочлен 2а² + 6аb - b⁴ позначають р(а;b) - читають: «пе від а,b».

Приклад 1. Дано многочлен

Р(х;у)= 2х·3ху² - 7х³·2х - 3х⁴ + 2у⁴ + 5х²у² - 2ху·4у².

a) записати його в стандартному вигляді;

b) обчислити: р (1;2).

Розв'язання:

1. 2х·3ху² - 7х³·2х - 3х⁴ + 2у⁴ + 5х²у² - 2ху·4у² =

= 6х²у² - 14х⁴ - 3х⁴ + 2у⁴ +5х²у² - 8ху³ = 11х²у² - 17х⁴ + 2у⁴ - 8ху³, це стандартний вигляд многочлена.

2. Запис р (1;2) означає, що треба знайти значення многочлена р(х;у) при

х =1, у= 2. Обчислення будемо робити для многочлена, записаного у стандартному виді:

Р(х;у)= 11х²у² - 17х⁴ + 2у⁴ - 8ху³.

Маємо

Р(1;2) = 11· = 44 - 17 + 32 - 64 = - 5.

Отже, р(1;2) = - 5.