Олимпиадные задания по математике - 9 кл

Олимпиадные задания по математике

9 класс (школьный тур)

Задача 1. Найдите значение x, при котором функция y=(x-a)²+(x-b)² принимает своё наименьшее значение.

Задача 2.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?

Задача 3. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени? ( щука может быть в некоторый момент сытой, но потом съеденной)

Ответы к заданиям

Задача 1. Найдите значение x, при котором функция y=(x-a)²+(x-b)² принимает своё наименьшее значение.

Решение. Приведём уравнение к виду: y=2x²-2(a+b)x+(a²+b²). Квадратичная функция с положительным первым коэффициентом свое наименьшее значение принимает в "вершине", то есть при x=-(-2(a+b)/4)=(a+b)/2.

Ответ. При x=(a+b)/2.

2.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?

Решение. Проведем отрезок DF, параллельный высоте АЕ. По теореме Фалеса, он разделит отрезок BE пополам. По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника АВС равна 5 см. Кроме этого , АЕ ² =ВЕ*ЕС и АЕ*ВС=АВ*АС . Отсюда: АЕ= 2,4, 2,4² = х(5 - х) . Отсюда х=3,2 . То есть ВЕ=3,2, FE=1,6, EC=1,8. Из параллельности отрезков DF и GE следует, что CG\GD=CE\EF=1,8\1,6= 9:8

Ответ: 9:8

3. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?( щука может быть в некоторый момент сытой, но потом съеденной)

Решение. 10 сытых щук быть не может, так как каждая из них съест хотя бы по три щуки и еще последняя останется живой. То есть щук было хотя бы 31. Пример на 9 щук строится просто: первая съела три других, следующая съела ее и две других, и т. д.

Ответ. 9 щук.