Конспект: «Вычисление площадей плоских фигур»

Методическая разработка занятия

по дисциплине «Математика»

на тему: «Вычисление площадей плоских фигур»

Составила преподаватель:

Маринина Н.С.

Пояснительная записка.

Теоретический материал методической разработки по «Математике» на тему «Вычисление площадей плоских фигур» соответствует требованиям программы, методы способствуют усвоению материала, развитию аналитических способностей, активизации внимания, воспитанию ответственного отношения к заданию.

На данном занятии будет рассмотрено несколько случаев вычисления площадей плоских фигур и рекомендуется, провести этот урок как урок комбинированный, так как этот материал основывается на использовании предыдущих тем. При изложении нового материала используется опорный конспект, вложенный в раздаточный материал, самостоятельная работа с учебным материалом и по карточкам, которые используются на этапе закрепления.

Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика»

Тема занятия: Вычисление площадей плоских фигур.

Цели занятия:

Образовательная: Вспомнить и повторить, что существует действие, позволяющее по производной функции находить саму функцию, т.е. первообразную. Углубить знания нахождения неопределенного и определенного интеграла, применять их вычисление к нахождению площадей фигур.

Развивающая: Развивать математически грамотную речь, сознательное восприятие учебного материала, навыки нахождения площадей плоских фигур с использованием методов нахождения интегралов.

Воспитательная: Воспитывать внимание, познавательную активность, культуру общения, чувство ответственности.

Вид занятия: урок

Тип занятия: комбинированный

Метод проведения: словесный, наглядный, самостоятельная работа.

Квалификационные требования:

Учащиеся должны:

В ходе изучения темы «Вычисление площадей плоских фигур» студентам предстоит усвоить основные понятия и утверждения, иметь представления о возможностях применения средств интегрального исчисления в геометрических, физических и др. прикладных задачах.

Знать:

 определение первообразной функции и неопределенного интеграла;

 свойства и методы нахождения интегралов

 формулу Ньютона-Лейбница.

Уметь:

∆ находить неопределенные интегралы, сводящие к табличным интегралам, с помощью основных свойств и простейших преобразований;

∆ вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона- Лейбница;

∆ находить площади криволинейных трапеций.

Междисциплинарные связи: физика, история математики.

Внутридисциплинарные связи: «Нахождение производной», «Вычисление объемов тел».

Обеспечение занятия:

-Наглядные пособия: схемы (на ватмане)

-Раздаточный материал: конспект со схемами, карточки с заданиями (на этапе закрепления).

-Оборудование: чертежные принадлежности, линейка.

Структура занятия.

1. Организационный момент (2 мин.)

2. Проверка знаний студентов. (10-15 мин.)

3. Подведение итогов проверки. (1 -2 мин.)

4. Мотивация учебной деятельности. (3 мин.)

5. Изложение нового материала. (45-50 мин.)

6. Закрепление изученного материала. (7-10 мин.)

7. Подведение итогов занятия. (2-3 мин.)

8. Сообщение домашнего задания. (1мин.)

Ход занятия.

1. Организационный момент. (2 мин.)

Приемы преподавания

Приемы учения

Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.

Студенты готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку.

2. Проверка знаний студентов. (10-15 мин.)

Приемы преподавания

Приемы учения

Преподаватель организует устный опрос по терминам ранее пройденных разделов для повторения пройденного материала и проверки домашнего задания.

Студенты принимают активное участие в устном опросе и получают за правильные ответы баллы, которые в конце занятия суммируют и получают соответствующую оценку.

Устный опрос:

1. Что такое первообразная для функции?

2. Что такое неопределенный интеграл?

3. В чем заключается признак постоянства функции?

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла?

5. Сколько вы знаете методов интегрирования? Расскажите по каждый из них.

6. Перечислите основные свойства определенного интеграла?

7. Сформулировать теорему (формула Ньютона-Лейбница)

8. Чем отличаются методы интегрирования определенных интегралов от неопределенных?

3. Подведение итогов проверки знаний.(1-2 мин).

Приемы преподавания

Приемы учения

Преподаватель подводит итог устного опроса и оценивает студентов принимавших участие в этой работе. У остальных есть возможность в ходе урока заработать баллы и получить тоже оценку.

Студенты делают выводы.

4. Мотивация учебной деятельности.(3 мин.)

Приемы преподавания

Приемы учения

На предыдущих занятиях мы говорили о том, что такое интеграл, определили его свойства. А также изучили различные методы интегрирования. Сегодня мы с вами узнаем, где применяется интегральное исчисление.

Студенты принимают участие в обсуждении теоретического материала.

5. Изложение нового материала

Тема: «Вычисление площадей плоских фигур»

1. Понятие криволинейной трапеции. Связь площади криволинейной трапеции с интегралом.

2. Способы нахождения площадей фигур, расположенных различными способами

Приемы преподавания

Приемы учения

Тема сегодняшнего занятия - «Вычисление площадей плоских фигур».

Для выявления конкретной площади фигуры вам потребуется вспомнить, что представляют собой графики различных функций и как они располагаются в декартовой системе координат. Так какие вы знаете виды функций и их графики?

Так вот, пусть на отрезке [a, b] оси Ox задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a,b] и прямыми x=a и x=b называют криволинейной трапецией.

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема:

Если f - непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция, а F - ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a, b], т.е.

S = F(a) - F(b).

А теперь сравним формулы площади криволинейной трапеции

S = F(a) - F(b) и S= ,

делаем вывод: если F - первообразная для f на отрезке [a, b], то площадь криволинейной трапеции - это нахождение определенного интеграла.

Преподаватель предлагает рассмотреть несколько вариантов расположения фигур и найти их площади, работая у доски, используя меловые схемы.

1) Фигура ограниченна графиком непрерывной и неотрицательной на [a, b] (a<b) функции f(x) осью Ox и прямыми x=a и x=b S_фигуры = (1)

Студенты записывают число и тему занятия.

Студенты принимают участие в повторении пройденной темы, набирая баллы за ответы.

Студенты записывают определение криволинейной трапеции и теорему, делая из нее вывод.

y

a 0 b x

Одному из студентов предлагается решить задачу, применяя формулу (1), за которую он получает оценку.

Задача №1. Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции y = и прямыми y = 0, x = - 2, x = 3.

Решение: Построим график функции и соответствующие линии. Получим фигуру, площадь которой нужно найти (заштрихованная область)_.

y

5

1

-2 0 3 x

Случай №2 опять фиксируется преподавателем на доске

2) Фигура ограниченна графиком непрерывной и неположительной на [a, b] функции f(x) осью Ox и прямыми x=a и x=b.

S_фигуры = - (2)

Подставляя в формулу (1) исходные данные, получаем:

S_{фигуры ==}=

y

a 0 b x

Одному из студентов предлагается решить задачу, применяя формулу (2), за которую он получает оценку.

Задача №2. Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции y = - x² - 1 и прямыми y = 0, x = - 1, x = 2.

Решение: Построим график функции и соответствующие линии. Получим фигуру, площадь которой нужно найти (заштрихованная область)

y

- 1 2 x

0

4

Случай №3 опять фиксируется преподавателем на доске

3) Фигура ограничена осью Ох, прямыми x=a, x=b и графиком функции y=f(x), которая меняет свой знак на этом отрезке конечное число раз

(3)

Подставляя в формулу (2) исходные данные, получаем:

y

x

0

a b c d

Одному из студентов предлагается решить задачу, применяя формулу (3), за которую он получает оценку.

Задача №3. Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции y = sin x и линиями y = 0,

Решение: Построим график функции и соответствующие линии. Получим фигуру, площадь которой нужно найти (заштрихованная область)

y

1

-1 x

Случай №4 опять фиксируется преподавателем на доске

4) Фигура ограниченна графиками функций y=f(x) и y= g(x) и x=a, x=b, где f(x)g(x)

(4)

Подставляя в формулу (3) исходные данные, получаем:

y

x

a 0 b

Одному из студентов предлагается решить задачу, применяя формулу (4), за которую он получает оценку.

Задача №4. Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функций y = и y =.

Решение: Построим график функции и соответствующие линии. Получим фигуру, площадь которой нужно найти (заштрихованная область)

y

4

x

0

-6 -3 3 6

Случай №5 опять фиксируется преподавателем на доске

5) Фигура ограничена графиками трех или более функций

(5)

Подставляя в формулу (4) исходные данные, получаем:

y

y=g(x)

y=f(x)

y=h(x)

x

a 0 b c

Одному из студентов предлагается решить задачу, применяя формулу (5), за которую он получает оценку.

Задача №5. Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функций y = x² + 1, ; ;

Решение: Построим графики функций. Получим фигуру, площадь которой нужно найти (заштрихованная область)

y

2

1

-3 0 1 3 x

Подставляя в формулу (5) исходные данные, получаем:

6. Закрепление изученного материала.

Для закрепления пройденного материала преподаватель предлагает студентам произвести самостоятельную работу по карточкам.

Студентам необходимо выполнить задания, предлагаемые в карточках и получить за это баллы, которые опять же суммируются в общее количество.

К-1

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

y = x² + 2x + 2, y = 0, x = - 2, x = 1

К-2

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

y = , y = - x + 7

К-3

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

y = x² - 6x + 11, y = 0, x = 1, x = 4

К-4

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

y = - , y = x + 7

К-5

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

y = x² + 4x + 5, y = 0, x = -3, x = 0

К-6

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

y = - , y = x + 5

К-7

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

y = x² - 4x + 5, y = 0, x = 3, x = 0

К-8

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

y = , y = - x + 6

К-9

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

y = x² + 6x + 10, y = 0, x = 2, x = 5

К-10

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

y = - , y = x + 6

7. Подведение итогов занятия.(2-3 мин.)

Подведем итог выполнения работы (указать на ошибки, сделанные при выполнении работы по карточкам). Студенты, получившие баллы в трех блоках самостоятельной работы (пункт №2, №4, №5) получают «отлично», только за устные ответы - «хорошо», только за работу по карточкам «хорошо», более слабые студенты оцениваются - «удовлетворительно».

Можно сделать вывод, что применение интеграла очень широко. Сегодня мы с вами научились применять вычисление интегралов для нахождения площадей плоских фигур. На следующем занятии мы продолжим тему «Интегральное исчисление» и будем применять интеграл для вычисления объемов различных тел. В жизни вычисление объемов тел применяется при нахождении, например, объема цистерны, водохранилища, а также при решении различных физических задач.

Студенты принимают участие в оценивании своей работы, обсуждают возникшие вопросы.

8. Домашнее задание.

Преподаватель сообщает домашнее задание:

1) Прочитать стр. 179 -182 в учебнике «Алгебра и начала анализа»

2) Решить варианты №4 - №6 стр. 85 в учебном пособии «Математика».

3) Назвать фамилии великих математиков, имеющих отношение к теме «Интегральное исчисление».

Студенты записывают домашнее задание

Литература

1. «Алгебра и начала анализа» - учебник, Колмогоров А.Н., Москва 1991 г., стр. 179-182.

2. «Математика» - учебное пособие, Дахневич Т.Ф., Клюева И.А., Волгоград 2002 г., стр. 82 - 85.

3. «Неопределенный интеграл» - учебно-методическое пособие, Маринина Н.С., 2006