Статья Математические этюды. 9. Объём многогранника

Удивительные объемы многогранников

Литература

С.Н. Михалев. Изометрические реализации октаэдров Брикара 1-го и 2-го типов с известными значениями объема // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8, N 3. С. 755-768.

Можно ли из одинаковых граней сложить выпуклый и невыпуклый многогранники? Конечно, можно, скажете Вы. Один из примеров приведен на этом рисунке.

Пусть из одинаковых наборов граней удалось сложить выпуклый и невыпуклый многогранник. У которого из них объем будет больше?

Оказывается, можно так подобрать грани, что объем невыпуклого многогранника будет больше объема выпуклого, составленного из тех же граней. Расскажем о наилучшем известном таком примере.

Рассмотрим два треугольника, которые и будут гранями будущих многогранников. Как мы видим, каждый треугольник одновременно становится гранью и в одном и в другом многограннике. Тот многогранник, который строится слева, будет выпуклым, тот, что справа, - невыпуклым.

Оба построенных многогранника - октаэдры (хотя и не правильные), т.е. имеют по 6 вершин и 8 граней.

Что такое в житейском смысле объем тела, в частности многогранника? Это то, сколько жидкости может быть налито внутрь этого многогранника. Отрежем вершинки и нальем внутрь каждого многогранника воду. Выпуклый многогранник уже наполнился, а невыпуклый - еще нет. Но возможно, вода наливалась с разной скоростью: чтобы правильно сравнить объемы, выльем жидкость из каждого многогранника в одинаковые стаканы. Уровень воды в правом стакане выше, чем в левом, значит, объем невыпуклого многогранника действительно больше объема выпуклого.

Если посчитать аккуратно, то можно вычислить, что отношение объема невыпуклого многогранника к объему выпуклого равно 1,163.

В нашей задаче действительно правильнее рассматривать отношение объемов, а не их разницу, т.к. отношение не зависит от размеров изначальных треугольников, использованных в качестве граней для построения многогранников.

В рассмотренном примере объем построенного невыпуклого многогранника более чем на 16% больше объема выпуклого. Данные многогранники вы можете реализовать сами, используя грани с указанными сторонами.

Однако до сих пор неизвестно, насколько большим может быть отношение объема невыпуклого многогранника к объему выпуклого, составленного из тех же граней. Этот вопрос еще ждет своего исследователя!

Выпуклый и невыпуклый многогранники из одинаковых граней

Неправильные октаэдры, выпуклый и невыпуклый, построенные из одинаковых треугольников

Нальем внутрь каждого многогранника воду

Объем невыпуклого многогранника больше, чем выпуклого

Проверка утверждения