ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ СУММЫ ПЕРВЫХ п ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Тема: Применение формулы суммы первых п членов
геометрической прогрессии

Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) 3^2п : 9^{п - 1}; (9.)

б) 4^п · 2^{6 - 2п}; (64.)

в) 16 : 4^{1 + 2п} · 8^п. (2^{2 - п}.)

2. Является ли геометрической прогрессией последовательность (х_п), если:

а) х_п = 2^п; (Да.)

б) х_п = 3^-п; (Да.)

в) х_п = п²; (Нет.)

г) х_п = a · bⁿ, если а  0, b  0. (Да.)

3. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию? (Да, любые три равных числа.)

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке предлагаются для решения упражнения на нахождение суммы первых п членов геометрической прогрессии по двум формулам, а также задания на применение формулы п-го члена и характеристического свойства геометрической прогрессии, в том числе повышенной сложности. Перед решением следует вспомнить определение геометрической прогрессии и все формулы, относящиеся к ней.

Упражнения:

1. № 635.

Р е ш е н и е

(х_п) - геометрическая прогрессия.

(х_п) : 2; а; b; ;

;

;

.

О т в е т: а = 1; b = .

№ 640.

Р е ш е н и е

(х_п) - геометрическая прогрессия.

х₁ = 760;

q = 0,8, так как после каждого движения поршня удаляется 20 % воздуха, значит, остается 80 %. Давление после шести движений поршня равно х₇ = х₁ · q⁶; х₇ = 760 · (0,8)⁶ ≈ 199,23.

О т в е т: ≈ 199,23 мм рт. ст.

2. С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а (с последующей проверкой на этом же уроке).

В а р и а н т 1

1) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой .

2) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии 5; -2,5; … .

3) (а_п) - геометрическая прогрессия. Найдите S₄, если а₁ = 3, q = -2.

4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = , S₄ = 65.

В а р и а н т 2

1) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой .

2) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 1,5; -3; … .

3) (a_п) - геометрическая прогрессия. Найдите S₅, если а₁ = 18, q = -.

4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = 2, S₈ = 765.

Р е ш е н и я самостоятельной работы

В а р и а н т 1

1)

2) ;

3)

4)

В а р и а н т 2

1)

2)

3)

4)

3. З а д а н и я п о в ы ш е н н о й с л о ж н о с т и.

№ 657.

Д а н о: (х_п) - геометрическая прогрессия.

х_п > 0 для любого n N;

х₁ + х₂ = 8; х₃ + х₄ = 72; S_k = 242.

Н а й т и: k.

Р е ш е н и е

Пусть q - знаменатель прогрессии и q > 0 (так как х_п > 0), тогда по определению х_п = х₁ · q^{п - 1}. По условию

Получаем

(так как q > 0).

Находим

3^k = 243; 3^k = 3⁵; k = 5.

О т в е т: 5 членов.

З а д а ч а. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите первый член прогрессии, ее знаменатель и сумму пяти первых членов.

Р е ш е н и е

Пусть a, b, c - первые члены геометрической прогрессии. По свойству геометрической прогрессии имеем b² = ac. Учитывая условия задачи, запишем следующую систему уравнений с тремя неизвестными:

Из первого уравнения a + c = 13 - b. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

a² + 2ac + c² = 169 - 26b + b² (1);

из второго уравнения a² + c² = 91 - b². Подставляем в уравнение (1) и получаем:

91 - b² + 2b² = 169 - 26b + b²,

26b = 78,

b = 3.

Подставляем значение b = 3 в исходную систему и получаем:

Таким образом, первые три члена последовательности 1; 3; 9 (q = 3) или 9; 3; 1 .

О т в е т: 1; 3; 121 или 9;

Задачи повышенной сложности можно решать следующим образом: разобрать идею решения, составить исходную систему уравнений, а ее решение предложить выполнить самостоятельно дома. Или сильным в учебе ученикам предложить решить в классе, а с более слабыми учениками продолжить отрабатывать основные формулы по стандартным упражнениям из сборника самостоятельных работ.

IV. Итоги урока.

Ответить на контрольные вопросы (учебник, с. 16