Программа кружка по математике на тему Геометрия циркуля (9 класс)

Пояснительная записка.

Математический кружок «Геометрия циркуля и линейки» для профильной подготовки учащихся 9-10-х классов посвящен задачам на построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки.

Геометрические построения являются существенным фактором математического образования; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая теорема Евклида была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом циркуль и линейка рассматривались как равноправные инструменты. Было совершенно безразлично, как выполнялись отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или с помощью одного циркуля, или одной линейкой.

Уже давно было замечено, что циркуль является более точным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки, например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной прямой и т.д.

Предлагаемый курс расширяет спектр задач на построение. Новые свойства, теоремы, входящие в курс, позволяют решать уже знакомые задачи новым оригинальным способом, используя только циркуль. Все это должно располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Представляя возможность осмыслить свойства и их доказательства, учитель развивает геометрическую интуицию, конструктивное мышление, без которых немыслимо творчество.

Данный кружок рассчитан на 34 часа, включает 6 блоков.

На первый блок отводится шесть часов, здесь доказывается основная теорема геометрии циркуля и раскрываются цели и задачи курса «Геометрия циркуля», история его развития.

Второй блок посвящен решению задач на построение с использованием донного лишь циркуля, на него достаточно выделить пять часов.

На третий блок отводится три часа, его цель - изучение инверсии, ее свойств и их применения в задачах.

На четвертый блок отводится шесть часов, здесь рассматриваются геометрические построения одним циркулем с ограничениями. Здесь важно показать практическую значимость геометрических знаний.

На пятый блок отводится пять часов, здесь рассматриваются различные случаи расположения прямой и окружности, даются определения касательной к окружности, вписанной и описанной окружностей, доказываются теоремы, когда в окружность можно вписать треугольник, четырехугольник.

На шестой блок отводится 8 часов, здесь дается определение правильного многоугольника, рассматриваются теоремы, когда около правильного многоугольника можно описать окружность или в правильный многоугольник можно вписать окружность; решаются практические задачи на вычисление площадей правильных многоугольников, его сторон и радиусов вписанных и описанных окружностей.

Содержание программы.

Тема 1. Основная теорема геометрии циркуля.

На первом занятии учащимся сообщается цель и значение курса, рассказывается об истории развития геометрии циркуля, систематизируются знания учащихся об основных задачах на построение, выполняемые с помощью циркуля и линейки. Далее рассматриваются некоторые задачи на построение, после чего доказывается основная теорема геометрии циркуля.

Тема 2. Решение геометрических задач на построение одним циркулем.

Задачи, предлагаемые учащимся, позволяют более подробно ознакомиться с геометрическими построениями, выполняемыми с помощью одного циркуля, способствуют овладению навыками решения задач на построение, приобщают к исследовательской деятельности. Поэтому полезно выделить время для самостоятельной работы учащихся.

Тема 3. Инверсия и ее основные свойства.

При изучении этой темы дается определение инверсии, доказываются основные свойства, которые в дальнейшем используются при решении задач. Приложение метода инверсии к решению задач на построение одним циркулем дает возможность указать общий метод, общий подход к решению конструктивных задач геометрии циркуля. Построения Мора-Маскерони, хотя и являются чрезвычайно изящными, в большинстве случаев очень сложны и требуют тщательного анализа выполняемых построений.

Тема 4. Геометрические построения одним циркулем с ограничениями.

При изучении темы рассматриваются геометрические построения одним циркулем, когда на растворы ножек наложены некоторые ограничения: растворы ножек циркуля ограничены только сверху некоторым, наперед заданным отрезком; растворы ножек ограничены только снизу некоторым, наперед заданным отрезком; построения одним циркулем с постоянным раствором ножек.

Тема 5. Окружность.

При изучении этой темы рассматриваются различные случаи расположения прямой и окружности, дается определение касательной к окружности, доказывается теорема о свойстве касательной к окружности и обратная к ней теорема, доказывается теорема об окружности, вписанной в треугольник; выясняются условия, когда окружность можно вписать в четырехугольник; доказывается теорема об окружности, описанной около треугольника и четырехугольника; закрепляются данные теоремы в ходе решение задач.

Тема 6. Длина окружности и площадь круга.

При изучении данной темы дается определение правильного многоугольника, рассматриваются условия, когда около правильного многоугольника можно описать окружность, или в правильный многоугольник можно вписать окружность; решаются задачи на вычисление площадей правильных многоугольников, его сторон и радиусов вписанной и описанной окружностей; выполняется построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки; с помощью формул вычисляются длина окружности, площади круга и кругового сектора.

Учебно-тематический план.

№ п/п

Содержание темы

Количество часов

Дата

1

История развития геометрии циркуля.

1

2-3

Основные задачи на построение.

2

4-5

Решение основных задач на построение циркулем и линейкой.

2

6

Основная теорема геометрии циркуля.

1

7-8

Решение задач на построение одним циркулем.

2

9

Построение одним циркулем.

1

10

Построение фигур одним циркулем и линейкой.

1

11

Определение инверсии.

1

12

Основные свойства инверсии.

1

13

Применение метода инверсии в геометрии циркуля.

1

14

Геометрические построения одним циркулем с ограничением раствора ножек циркуля сверху заданным отрезком.

1

15

Геометрические построения одним циркулем с ограничением раствора ножек циркуля сверху заданным отрезком.

1

16

Геометрические построения одним циркулем с ограничением раствора ножек циркуля сверху заданным отрезком.

1

17

Геометрические построения одним циркулем с ограничением раствора ножек циркуля снизу заданным отрезком.

1

18

Геометрические построения одним циркулем с ограничением раствора ножек циркуля снизу заданным отрезком.

1

19

Геометрические построения одним циркулем с постоянным раствором ножек.

1

20

Геометрические построения одним циркулем с постоянным раствором ножек.

1

21

Взаимное расположение прямой и окружности.

1

22-23

Касательная к окружности.

Решение задач.

2

24

Вписанная окружность.

1

25

Описанная окружность.

1

26

Окружность, описанная около правильного многоугольника.

1

27

Окружность, вписанная в правильный многоугольник.

1

28

Построение правильных многоугольников.

1

29

Вычисление площадей правильных многоугольников, его сторон и радиуса вписанной и описанной окружностей.

1

30

Вычисление площадей правильных многоугольников, его сторон и радиусов вписанной и описанной окружностей.

1

31

Длина окружности.

1

32

Площадь круга.

1

33

Площадь кругового сектора.

1

34

Обзорное повторение.

1

Литература

1. С.В. Еременко, А.М. Сохет, В.Г. Ушаков. Элементы геометрии в задачах. М.:МЦНМО, 2003.

2. А.А.Заславский. Геометрические преобразования. М.:МЦНМО, 2003.

3. А.Н.Костовский. Геометрические построения одним циркулем. М.:Наука, 1984.

5. Я.П. Панарин. Геометрия для 7-11 классов. Планиметрические преобразования. Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.

6. Детская энциклопедия. Авт.-сост. А.П. Савин. Я познаю мир. Математика. Москва, 2002.