Разработка урока по алгебре и началам анализа на тему Формулы приведения (10 класс)

Тема урока: Формулы приведения

Тип урока: урок открытия новых знаний - проблемно-диалогический урок.

Цель урока: формирование знания формул приведения и умения применять эти формулы при преобразовании тригонометрических выражений и решении простейших тригонометрических уравнений.

Задачи урока:

- образовательные ( познавательные УУД ): вывести формулы приведения, используя формулы сложения и научиться применять формулы приведения при преобразовании тригонометрических выражений и решении простейших тригонометрических уравнений

-воспитательные ( коммуникативные и личностные УУД ): формировать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, интегрироваться в группе сверстников и строить продуктивное взаимодействие

-развивающие ( регулятивные УУД ): формировать умение выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности

Оборудование:

• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений: профильный уровень. Авторы: А.Г. Мордкович, М: Просвещение, 2012 и последующие издания;

• Карточки с заданиями.

Ход урока

Этап урока

Учитель

Ученик

I. Организационный момент

(1 мин)

- Здравствуйте, ребята! Мы продолжаем с вами изучать тригонометрические формулы, занимающие важное место в курсе математики.

II. Актуализация опорных знаний

(5 мин)

Устная работа:

- Ребята, на предыдущих уроках мы познакомились с формулами сложения. Давайте их повторим. Они сегодня пригодятся нам для изучения новой темы. Чуть позже вы сформулируете ее сами (оставьте в тетради строку для записи).

- Как выглядят эти формулы для синуса, косинуса и тангенса? (ученик записывает формулы на доске)

III. Поиск решения (5 мин)

- Используя формулы сложения, выполните задания в двух вариантах (запись на доске в начале урока).

Вариант 1

Вариант 2

Я попрошу к доске двух учащихся. Записать нужно только ответ.

- Что вы получили?

- Что позволили сделать формулы сложения в рассматриваемой ситуации?

- Что у этих формул общего?

- А раз они ПРИВОДЯТ, как бы вы их назвали?

- Сформулируйте тему нашего урока

- Итак, сегодня на уроке мы познакомимся с формулами приведения, научимся применять их при преобразовании тригонометрических выражений.

(Запись темы урока на доске).

Вариант 1

а) sin(π+a) = - sin a

б) cos(2π-a) = cos a

в) tg(π+a) = tg a

г) ctg (2π-a) = - ctg a

д) cos (-a+π) = - cosa

Вариант 2

а) sin(π/2-a) = cos a

б) cos(3π/2+a) =sina

в) ctg(π/2-a) = -tg a

г) tg(3π/2+a) = - ctg a

д) cos(-a+ π /2) =sin a

- Формулы

- Формулы сложения позволили привести, например, синус угла π/2±α к косинусу угла α

- Они позволяют привести значение тригонометрических функций к более удобным для данной задачи углам) Выражения типа π + α, 3π/2 - α , π/2 + α и т.п. можно упростить настолько, что они будут состоять лишь из одного аргумента α.

- Формулы приведения

- Формулы приведения

IV. Поиск закономерностей

(10 минут)

- Итак, работа выполнена. Заметили ли вы закономерности в первом и во втором столбике при помощи которых можно выразить синус, косинус, тангенс указанных углов в таблице через угол α?

- Еще в некоторых случаях перед полученным результатом появляется знак минус. Как вы думаете, почему?

-Да, верно, похоже на то, что в правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть формулы.)

- Формул приведения очень много. Запомнить их трудно - но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило - и вы легко сможете самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения. Ребята, давайте теперь обобщим полученные вами выводы и сформулируем, наконец, это интересное правило приведения.

В шутку это правило называется «лошадиным». И звучит оно так:

Если мы откладываем угол от вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY) и приводимая функция меняет свое название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.

Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ) и приводимая функция не меняет свое название.

Знак правой части равенства совпадает со знаком приводимой функции, стоящей в левой части равенства.

- Видно, что если в левой части формулы угол имеет вид π/2±α или 3π/2±α, то синус меняется на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если же угол в левой части формулы имеет вид π±α,2π±α, то замены не происходит.

- Мне кажется, что это (появляющийся знак минус в правой части формулы) зависит от того, в какой четверти лежит угол в левой части формулы.

Формулировка учащимся правила:

1. В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии 0<α<π/2.

2. Если в левой части формулы угол равен π/2±α,3π/2±α, то синус заменяется на косинус, косинус - на синус, тангенс - на котангенс и котангенс - на тангенс. Если угол равен π±α, то замены не происходит.

функция, четверть, знак

V. Проверка понимания учащимися нового материала (7 мин)

- Выразим синус, косинус, тангенс и котангенс углов, указанных в задании, через угол α, применяя теперь не формулы сложения, а ранее выведенное вами правило приведения. Вам необходимо заполнить таблицу на доске и в ваших тетрадях.

Задание.

ПРАКТИКА. Приведите к тригонометрической функции угла (9 примеров).

Учащимся предлагается заполнить таблицы.

Работа организована следующим образом:

Учащиеся по очереди заполняют таблицу на интерактивной доске. При этом каждый из школьников проговаривает мнемоническое правило вслух.

VI. Применение знаний, формирование умений и навыков

(7 минут)

- Ребята, мы только что применяли правило приведения в простейших ситуациях. Вы увидели, что не надо запоминать таблицу наизусть, достаточно знать мнемоническое правило, которое можно применять и в других ситуациях.

Например, как вы думаете, можно вычислить sin 930°?

- Практика. Найдите значение выражения (2 примера: sin 330 и cos 7π/6)

- Представим угол 930° в виде: 930° = 3∙360°-150°.

Тогда,

sin 930°=sin((3∙360°) - 150°) =

= sin(-150°) = -sin (150°) =

= - sin (180°-30°) = - sin 30° = - 1/2 .

Обязательное проговаривание вслух нового правила.

VII. Контроль (обучающая самостоятельная работа)

(7 мин)

- А теперь, предлагаю вам применить новые знания в новой ситуации. Вам необходимо решить простейшие тригонометрические уравнения, предварительно упростив левую часть, применив формулы приведения (№535(1))

Учащиеся выполняют самостоятельную работу в двух вариантах:

Контроль. Самостоятельная работа.

(на экране)

- Ребята, проверим ваши решения (на экран высвечиваются решения заданий).

Ребята осуществляют самопроверку своих результатов, выставляют самооценку.

VIII. Итог урока (3 мин)

- Ребята, наш урок подходит к концу. Что нового и интересного вы узнали сегодня в процессе решения поставленных перед вами проблем?

- Ребята, домашнее задание не должно вызвать у вас затруднений, оно по новой теме. Запишите, пожалуйста, его в свои дневники:

§31 (правило); стр.156, №529, 530 (1), 531(1), заполнить таблицу формул приведения.

- Сегодня мы самостоятельно вывели формулы приведения, позволяющие без формул сложения выразить синус, косинус, тангенс и котангенс углов вида:

π/2±α,π±α,3π/2±α,2π±α, где 0<α<π/2, через угол α.

- А самостоятельная работа позволила увидеть, что эти формулы позволяют быстро решить тригонометрические уравнения, на первый взгляд кажущиеся очень трудными.

- Мне было интересно заполнять таблицу для вывода новых формул.

- А я был удивлён тем, что так просто запомнить мнемоническое правило.

- А мне захотелось чаще смотреть на результат своей работы со стороны, оценить свои знания.

Оценка работы класса. Выставление учащимся отметок за урок.

1. И напоследок притча:

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному дверному замку. Кто откроет тот и будет первым помощником. Никто не притронулся даже к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.

Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку.»

Вариант 1

А1. Вычислите с помощью формул сложения:

Вариант 2

А1. Вычислите с помощью формул сложения:

Вариант 1

А1. Вычислите с помощью формул сложения:

А2. Найдите числовое значение выражения: .

В1. Упростите выражение:

Вариант 2

А1. Вычислите с помощью формул сложения:

А2. Найдите числовое значение выражения: .

В1. Докажите, что .

Формулы приведения

x

π+α

π-α

2π+α

2π-α

sin x

cos x

tg x

ctg x

x

+α

-α

+α

-α

sin x

cos x

tg x

ctg x