Презентация по математике на тему Формула Пика (Подготовка к ЕГЭ)

Формула Пика

Эта тема интересна учащимся 10-11 классов в рамках подготовки к ЕГЭ. Формулу Пика можно применять при вычислении площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге (это задание В3 в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ).

Размышления над какой-то задачей часто приводят к увлечению математикой. А есть ли задачи, которые не похожи на задачи из школьных учебников? Да, это задачи на клетчатой бумаге. Такие задачи есть в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В чём же заключается особенность таких задач, какие методы и приёмы используются для решения задач на клетчатой бумаге? На этом занятии мы исследуем задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры, и научимся вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.

Объектом исследования будут задачи на клетчатой бумаге.

Предметом нашего исследования будут задачи на вычисление площади многоугольников на клетчатой бумаге.

И целью исследования будет формула Пика. Это удобная формула, с помощью которой можно вычислить площадь любого многоугольника без самопересечений с вершинами в узлах клетчатой бумаги.

Сформулируем гипотезу: площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии.

При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые сведения, которые нам известны:

1. Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения сторон, образующих прямой угол.

Кто же такой Пик? Пик Георг Александров (1859-1943 гг.) - австрийский математик. Открыл формулу в 1899 году.

Формула Пика: S = B + Г/2 - 1, где S - площадь многоугольника, с вершинами в узлах квадратной сетки; Г - количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника (на сторонах и в вершинах), В - количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника.

Узлы сетки - точки, в которых пересекаются линии сетки.

Внутренние узлы многоугольника - красные. Узлы на границах многоугольника - зелёные.

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги.

Проведём исследования для треугольника. Сначала посчитаем площадь треугольника по формуле Пика.

Теперь посчитаем площадь треугольника по формулам геометрии. Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

Давайте повторим исследование для 4-угольника.

А теперь повторим исследование для 5-угольника.

А теперь рассмотрим многоугольник в форме ракеты. Получаем, что формула Пика будет справедлива и для произвольного многоугольника.

Сравнив результаты исследований, сделайте вывод. Получили, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии. Итак, гипотеза оказалась верной.

В заключении предлагается одна из работ по теме «Вычисление площади произвольного многоугольника с помощью формулы Пика».