Построение графика дробно-рациональной функции

Построение графика дробно- рациональной функции.

Урок в 10 классе.

Учитель математики

Школы- лицея № 14 Абайского района

Абушова Н.Ф.

1. Организационный момент.

Учитель. Здравствуйте, садитесь.

Вводная беседа.

Я очень рада видеть вас здоровыми, полными сил и готовыми к полезной деятельности, необходимой вам для получения качественного образования. Сейчас вы стоите на пороге выбора будущей профессии. Кто-то уже определился и готовит себя к поступлению в ВУЗ. Кому-то предстоит сделать этот серьёзный выбор, от которого зависит всё благополучие вашей будущей жизни. Сегодня мы представим себя инженерами, работающими в творческой лаборатории исследований 10 а класса. Наш коллектив разделён на 4 группы: проектировщики, старшие научные сотрудники, конструкторы, младшие научные сотрудники, средивас выбран старший. Кроме того, есть инструктор по ТБ и ответственный за сохранение здоровья. В каждой группе определены должностные обязанности. Научный руководитель творческой лаборатории Абушова Н.Ф.

Тема работы коллектива сотрудников: «Методы исследования графиков функций с помощью компьютера».

Графики функций широко используются в различных областях инженерных знаний, поэтому умение строить, "читать", прогнозировать их "поведение" имеют огромную роль в практической деятельности инженерных работников.

Тема работы сегодняшнего дня: «Построение графика дробно- рациональной функции».

Запишите число и тему.

Цель:

рассмотреть различные способы построения графиков дробно- рациональных функций и научиться строить их различными методами.

Мы работаем под девизом:

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели».Лейбниц. Поэтому все усилия будут направлены на отыскание оптимальных методов построения графиков функций.

План работы творческой лаборатории исследований 10 а класса.

1. Защита проектов;

2. Рабочие совещание;

3. Работа над методами исследования;

4. Исторические сведения;

5. Лабораторно-практическая работа по построению графиков дробно- рациональных функций;

6. Подведение итогов работы в группах. Задание на следующий день исследований;

7. Релаксация. (Психологический тренинг, направленный на создание комфортной обстановки и снятия напряжения с учеников.) Закройте глаза, представьте, что мы сидим на радуге, прошёл тёплый, радостный дождь, мы три раза вдохнём аромат чистоты и здоровья. Откройте глаза. С хорошим настроением приступим к работе.

АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ. ( работа над методами исследования)

Вами накоплен опыт в построение графиков. Познакомимся с результатами работы. (Выступают учащиеся с презентациями по построению графиков). Младшие научные сотрудники представляют итоги работы над построением графика у=1/х, конструкторы у=1/(х-2)+2, старшие научные сотрудники у=(2х+6)/(х+3), проектировщики у=(4х+1)/(2х-3).

(Доклады и презентации прилагаются).

ОБСУЖДЕНИЯ. (Ученики под руководством учителя дают оценку творческим работам одноклассников).

Вопросы для обсуждения:

1. Доступность изложения;

2. Присутствие открытия нового;

3. Эстетичность оформления;

4. Грамотность изложения;

5. Важность в получении образования.

ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.(РАБОЧИЕ СОВЕЩАНИЕ).

Учитель. Все рассмотренные вами функции имеют одно общее название дробно-рациональных функций. Интересны находки группы проектировщиков.

Учитель: Рассмотрим функции, заданные формулами у =(3х-5)/(2х+4); у=8/(5х-6);

у =(7х-1)/10х.

Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?

Ученики: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.

Учитель: Такие функции принято задавать формулой вида у =(ах+в)/(сх+д).

Рассмотрим случай, когда с = 0.

Если с=о, то у=ах/д+в - линейная функция. В работе группы старших научных сотрудников это у=(х+4)/2; у=0,5х+2, мы видели, что графиком является прямая.

Если а/с=в/д, то с =ад/в. Подставив значение с в формулу (1) получим: у=в/д - линейная функция. Опять же вернёмся к работе третьей группы у=(2х+6)/(х+3)=2(х+3)/(х+3)=2/1=2, у=2, при х неравном (-3),где (-3)точка разрыва прямой.

Функция, которую можно задать формулой вида у =(ах+в)/сх+д), где буквой х обозначена независимая переменная, а буквами а,в,с,д- произвольные числа, называется дробно-линейной функцией, где асимптоты находятся по формулам у=а/с, х=-д/с.

Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.

Пример 1. Построим график функции у =(х+4)/(х-2). Выделим из дроби целую часть. Имеем: у= (х+4)/(х-2)= (х-2)/(х-2)+6(х-2)= 1 +6/(х-2).

График функции у = 6/(х-2)+1 можно получить из графика функции у = 6/х с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у =6/х: прямая х = 0 (т. е. ось У) - на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) - на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х<2.

Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы.

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА. Примем царственную позу, добиваясь хорошей осанки. Три раза вдохнём. Массажируем кончики пальцев каждой руки. Поставьте указательный палец на точку между бровями и массажируйте три раза.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. (Демонстрируется фильм, фрагмента урока Кирилла и Мефодия о конических сечениях). Таким образом, изучаемые нами графики функций, имеющих вид параболы, гиперболы, являются коническими сечениями различных конусов. Итак, продолжим работу по построению графиков функций.

ЛАБОРАТОРНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. Учащимся даются карточки с различного уровня сложности заданиями. Требуется увидеть дробно- линейную функцию, построить, прочитать её график, найти координаты точек пересечен6ия с осями координат и показать асимптоты графиков.

МЛАДШИЕ НАУЧНЫЕ СОТРУДНИКИ.

Карточка №1

Все этапы построения необходимо записывать в тетрадь.

Построить график функции у=(х+6)/(х+4), используя список указаний

1. Выделим из рациональной дроби целую часть:

2. Составим таблицу значений для функцииу=2/х.

Для этого перечертите таблицу в тетрадь и вычислите недостающие значения у.

3. По найденным точкам в прямоугольной системе координат постройте график функции у=2/х.

4. Найдите асимптоты графика, используя формулы:

• у=а/с горизонтальная

• х=-в/д вертикальная

С помощью двух параллельных переносов сдвига на 1 единичный отрезок по оси У и на 4 единичных отрезка по оси Х постройте график функции у=1/(х+2).

5. Сравните полученный результат с построенным графиком в программе Agrapher.( Для построения введите формулу, используя английский текст клавиатуры: (x+6)/(x+4) или (2/(x+4))+1.

6. Сделайте выводы о том, чем отличаются графики функций и запишите в тетрадь.

КОНСТРУКТОРЫ.

Карточка №2

Все этапы построения необходимо записывать в тетрадь.

Построить график функции у=(х-6)/(х-4), используя список указаний

1.Выделим из рациональной дроби целую часть, дополняя числитель:

2.Составим таблицу значений для функцииу=-2/х.

Для этого перечертите таблицу в тетрадь и вычислите недостающие значения у.

3. По найденным точкам в прямоугольной системе координат постройте график функцииу=-2/х.

4. Найдите асимптоты графика, используя формулы:

• горизонтальная

• вертикальная

5. С помощью двух параллельных переносов сдвига на 1 единичный отрезок по оси У вверх и на 4 единичных отрезка по оси Х вправо постройте график функции у=-2/(х-4)+1.

6. Сравните полученный результат с построенным графиком в программе Agrapher. (Для построения введите формулу, используя английский текст клавиатуры: (x-6)/(x-4) или-2/(x-4)+1.

7. Сделайте выводы о том, чем отличаются графики функций и запишите в тетрадь.

СТАРШИЕ НАУЧНЫЕ СОТРУДНИКИ.

Карточка №3

Все этапы построения необходимо записывать в тетрадь.

Выберите из перечисленных функций дробно-линейную функцию и

постройте её график у=(2х-10)/(х+5); у=(2х+6)/(х+2); у=(х-5)/5, используя список указаний

1. Выделите из рациональной дроби целую часть.

2. Составим таблицу значений для функции у=?/х. Для этого

перечертите таблицу в тетрадь и вычислите недостающие значения у

3. По найденным точкам в прямоугольной системе координат постройте график функции у=?/х.

4. Найдите асимптоты графика, используя формулы:

5. С помощью двух параллельных переносов сдвига на ? единичный отрезок по оси У и на ? единичных отрезка по оси Х постройте график функции .

6. Сравните полученный результат с построенным графиком в программе Agrapher.( Для построения введите формулу, используя английский текст клавиатуры.)

7. Сделайте выводы о том, чем отличаются графики функций, полученных в результате построения в указанной программе и используя аналитические преобразования и запишите в тетрадь.

Результат построения, который должны получить ученики.

ПРОЕКТИРОВЩИКИ.

Карточка №4

Все этапы построения необходимо записывать в тетрадь.

Построить график функции у=(2х-1)/1, используя список указаний.

1. Раскройте модуль.

2. Выделим из рациональных дробей целую часть.

3. Составим таблицу значений для функций у=?/х.

Для этого перечертите таблицу в тетрадь и вычислите недостающие значения у.

4. По найденным точкам в прямоугольной системе координат постройте графики функции.

5. Найдите асимптоты графика, используя формулы:

• горизонтальная

• вертикальная

6. Постройте в тетрадях два графика, учитывая модуль.

7. Сравните полученный результат с построенным графиком в программе Agrapher.( Для построения введите формулу, используя английский текст клавиатуры: у=(2х-3-1)/х, набирая (abs(2x-3)-1)/x.

8. Сделайте выводы о том, чем отличаются графики функций и запишите в тетрадь.

ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ РАБОТЫ В ГРУППАХ.

Итак, работа в творческой лаборатории исследований 10 а класса подходит к концу. Подведём итоги полученных результатов и интенсивности работы.

Старшему в каждой группе предлагается подвести итоги выполняемой работы за урок и выставить оценки каждому сотруднику. Ответственный за здоровье сбережение на уроках говорит о необходимости вести здоровый образ жизни. Инструктор по технике безопасности говорит о том, не были ли допущены нарушения.

Учитель. Выбирая, тот или иной способ решения поставленной задачи мы убедились, что «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели». Таким образом, используя все полученные ранее знания, мы научились строить график дробно-линейной функции.

Домашнее задание. Каждой группе закончить работу и оформить по своему усмотрению.

Релаксация. Подготовим себя к следующему занятию. Сядем в царственную позу, спина прямая. Примем позу «пиджак на вешалке». Представим, что на ладони маленькое, лёгкое пёрышко, сдуем его с третьего раза.

Спасибо. Урок окончен.