Исследовательская работа по теме «Погрешности»

Тема «Погрешности измерений»

Выполнила: Бернова Екатерина

учащаяся 8а класса

МКОУ СОШ №47

Барабинского района НСО

Оглавление

1. Введение.

2. Основная часть. Теория.

2.1 Что такое погрешность.

2.2 Абсолютная погрешность.

2.3 Относительная погрешность.

2.4 Субъективная погрешность.

2.5 Эталон килограмма.

Основная часть. Практика.

2.6. Эксперимент.

3. Заключение.

4.Список литературы.

1 Введение.

При измерении длины отрезка АВ, я получила результат 6,2 см, а моя подруга-6,3 см.

Я поставила перед собой проблему: чей результат точный, а чей приближённый?

Каждую секунду в мире проводятся миллиарды измерительных операций, результаты которых используются для обеспечения надлежащего качества и технического уровня выпускаемой продукции, обеспечение безопасной и безаварийной работы транспорта, для медицинских и экологических диагнозов и других важнейших целей.

Практически не ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля. Для их получения задействованы миллионы человек и большие финансовые средства.

Сотрудничество с зарубежными странами, совместная разработка научно-технических программ требует взаимного доверия к измерительной информации. Её высокое качество, точность, достоверность, единообразие принципов и способов оценки точности результатов измерений имеют первостепенное значение.

Тема моей исследовательской работы «ПОГРЕШНОСТИ».

Цель работы: изучить погрешности измерений.

Характер работы определил следующие задачи:

-проанализировать литературу по данному предмету;

-провести наблюдение;

-сделать анализ и обобщить результат.

Этапы работы :

1. Теоретический.

2. Практический.

Предмет исследования: погрешности.

Объект исследования: абсолютная и относительная погрешности.

Гипотеза исследования: способы оценки погрешности вычислений.

Основная часть. Теория.

2.1. Что такое погрешность.

Определение : Приближённым числом называется такое число а, незначительно отличающееся от точного b и заменяющее точное в вычислениях.

Если a<b, то a называется приближенным значением числа b по недостатку, если a>b, то - по избытку

Определение: Под ошибкой или погрешностью ∆ a приближенного числа a понимается разность между соответствующим точным числом b и данным приближённым a,

т.е. если a<b, то ошибка (погрешность) положительная,

если a>b, то ошибка (погрешность) отрицательная.

2.2. Абсолютная погрешность.

Определение: Абсолютной погрешностью приближённого значения называется модуль разности между точным значением величины b и её приближённым значением a т.е. |b-a|

Если a - приближённое значение числа b и |b-a| ≤ h, то говорят, что число b равно числу a с точностью до h и пишут:

b=a ± h т.е. a-h ≤ b ≤ a+h ( число b больше либо равно приближенного значения с недостатком, но меньше либо равно приближенного значения с избытком).

Примеры:

№1

Температура воздуха в холодильнике 7,5 ۫ C. В качестве приближенного значения возьмем число 7 ۫С.

Найдите абсолютную погрешность приближения.

Решение:

|7,5-7| = 0,5

Ответ: 0,5

№2

Пусть x = 12,7 ± 0,2

Из чисел А=12,91; Б=12,95; В=12,69; Г=12,52 выберите возможные значения x.

Решение:

Запись x =12,7 ± 0,2 означает, что x равно 12,7 с точностью до 0,2

т.е. 12,7-0,2 ≤ x ≤ 12,7+0,2

12,5≤ x ≤ 12,9

Полученному неравенству удовлетворяют числа В,Г

Ответ: В, Г

№3

По графику у = x² найдите абсолютную погрешность при х=1,5.

Решение: По графику мы можем определить приближённое значение функции .

При x=1,5 y≈2,2.

По формуле у = x² мы можем найти точное значение функции у.

При х=1,5 у = 1,5² = 2,25.

Вычислим абсолютную погрешность:

|2,25-2,2|=|0,05|=0,05.

Значение вычислено с точностью до 0,05.

Ответ: 0,05

№4

Вернёмся к нашему отрезку АВ.

Его первая длина равна 6,2 см.

Его вторая длина равна 6,3 см.

Мы получили приближённые значения, а вот точное значение вычислить невозможно. Но мы можем указать число, больше которого значение абсолютной погрешности быть не может. Цена деления на линейке 0,1 см, поэтому абсолютная погрешность приближённого значения не больше 0,1 см.

2.3. Относительная погрешность.

С практическим применением относительной погрешности числа мы сталкиваемся на каждом шагу. Во время ремонтных работ измерим в см толщину коврового покрытия (m) и толщину порога (n).

m≈0,8 см (с точностью до 0,1).

n≈100,0 (с точностью до 0,1).

Однако 0,1 - это солидная часть числа 0,8. Как для числа 100 она представляет незначительную часть. Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.

Для оценки качества измерения используется относительная погрешность приближённого числа.

Определение: Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения.

Пример:

№5

Рассмотрим дробь 18,7, округлим её до целых. Найдём относительную погрешность приближённого числа 18,7≈19

|18,7-19| / |19| =0,3/ 19 =0,01578=1,58%

Для вычисления относительной погрешности кроме приближённого значения, нужно знать абсолютную погрешность. Абсолютная погрешность не всегда бывает известна. Поэтому вычислить относительную погрешность приближённого числа невозможно. В таком случае достаточно указать оценку относительной погрешности.

По итогам измерений m≈0,8 с точностью до 0,1. Можно сказать, что абсолютная погрешность измерения не больше 0,1. Значит, результат деления абсолютной погрешности на приближённое значение -это и есть относительная погрешность 0,1/0,8=0,125=12,5% т.е. относительная погрешность приближения меньше либо равна 12,5% Аналогично относительная погрешность приближения ширины порога: она не более 0,1/100=0,001=0,1% т.е. относительная погрешность приближения меньше либо равна 0,1%. В первом случае измерение выполнено с относительной точностью до 12,5%, во втором - с относительной точностью до 0,1%

2.4. Субъективная погрешность.

Субъективная погрешность-это погрешность, возникающая из-за низкой степени квалификации оператора средства измерений, а также из-за погрешности зрительных органов человека т.е. причиной возникновения субъективной погрешности является человеческий фактор.

2.5.Эталон килограмма.

Килограмм определяется как масса международного эталона килограмма, хранящегося в Международном бюро мер и весов и представляет собой цилиндр диаметром и высотой 39 мм из платиново - иридиевого сплава (90% платины, 10% иридия). Хранится он под двумя герметичными стеклянными колпаками в сейфе, расположенном в подвале Международного бюро мер и весов в Севре недалеко от Парижа.

Копия международного эталона хранится в РФ во ВНИИ метрологии имени Д.И. Менделеева. Примерно 1 раз в 10 лет национальные эталоны сравнивают с международными.

По разным причинам международный эталон теряет 0,00000003 (трехсотмиллионную) часть своей массы. Допустимая абсолютная погрешность широко распространённой гири массой 1 кг составляет 0,5 г.

Основная часть. Практика.

2.6. Эксперимент.

Мы решили провести эксперимент.

Объектом исследования мы выбрали мандарины.

Цель: сравнить точность взвешивания в разных супермаркетах.

Ход работы: Мы взвешивали мандарины в супермаркетах «Компания Холидей классик», «Мария-Ра», «Торговый двор», «Продукты» .

Результаты представлены в таблице

Магазин

Вес (кг)

«Компания Холидей классик»

0,566

«Мария-Ра»

0,566

«Торговый двор» контрольные весы

0,566

«Продукты»

0,560

Вывод: Измерение проведено прямое.

Все электронные весы в супермаркетах показали точно 0,566 кг.

По эталону допустимая абсолютная погрешность широко распространённой гири массой 1 кг составляет 0,5 г, тогда для 0,566 кг расчитаем абсолютную погрешность

1 кг - 0,5 г

0,566 кг - х г ,

х= 0,283г.

Абсолютная погрешность равна 0,283 г.

Относительная погрешность составляет 0,283 / 566 = 0,0005=0,5%.

Взвешивание произведено с точностью до 0,05%

Взвешивания соответствуют Госстандарту.

В магазине «Продукты» , который находится в Покровке, взвешивание показало 0,560кг. Сравним с результатом в супермаркетах.

Абсолютная погрешность составляет 0,006кг .

Относительная погрешность 0,006 / 0,560 =0,0107=1,07%.

Заключение.

При измерении какой - либо величины всегда есть некоторое отклонение от истинного значения, так как ни один прибор не может дать точного результата.

Для того, чтобы определить возможные отклонения полученных данных от точного значения, используются понятия абсолютной и относительной погрешностей .

Ошибки - погрешности, которых в отличие от обычных ошибок, нельзя избежать, поскольку они являются неизбежным следствием ограниченных возможностей измерительной техники и сопровождают каждое измерение.

Итак, я изучила литературу, рассмотрела практическое применение погрешностей, провела эксперимент, сделала вывод.

Литература.

1.Крамов В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры.

2. МордковичА.Г. Алгебра 8 - М.: Мнемозина, 2007.

3.Потапов М.К. Алгебра и начало математического анализа 11-М.: «Просвещение», 2008.

4. Семёнов В.А. Ященко А.Н. КИМ ГИА.-М. Просвещение, 2013.

5. Цыпкин А.Г. Пинский А.И. справочное пособие по методам решения задач по математике. -М.: Наука, 1983.

Рецензия

на творческую исследовательскую работу по математике учащейся

8а класса МКОУ СОШ№47 г.Барабинска

Берновой Екатерины

Тема исследовательской работы «Погрешности».

Работа выполнена в соответствии с предъявляемыми требованиями.

Введение отражает актуальность темы, включает в себя формулировку проблемы, цели и задачи, характеристику личного вклада в решении проблемы.

Основная часть содержит информацию, собранную и отработанную исследователем, описание основных рассматриваемых фактов, характеристику методов решения проблемы, практическое использование результатов исследования.

В заключении формулируются полученные результаты.

Учитель : Н.В.Леонова