Министерство образования и науки Хабаровского края

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Хабаровский технический колледж»

Рабочая тетрадь

по алгебре и началам анализа

Тема «СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ»

студента (ки) группы_________________________________

Ф.И.О.______________________________________________

2014

Рабочая тетрадь по алгебре и началам анализа по теме «Степенная функция»

.

Автор тетради Ивашкина Е.С., преподаватель КГБОУ СПО Технический колледж.

Рабочая тетрадь по алгебре и началам анализа по теме «Степенная функция» рассмотрена и одобрена на заседании цикловой комиссии математических и общих естественнонаучных дисциплин.

Протокол № ___3______ от ____20.10._______ 2014 года.

Рабочая тетрадь по алгебре и началам анализа по теме «Степенная функция» предназначена для студентов, изучающих математику в учреждениях среднего профессионального образования, реализующих образовательную программу среднего полного образования. Рабочая тетрадь разработана на основе примерной программы учебной дисциплины «Математика», утверждённой Министерством образования и науки Российской Федерации и Федеральным институтом развития образования в 2008 году.

Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы по теме «Степенная функция», а также набор заданий для самостоятельной работы.

Содержание

1.Определение и свойства степенной функции.

2.Иррациональные уравнения.

3.Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными.

4.Контрольная работа.

1. Определение и свойства степенной функции.

Историческая справка

Учение о степенных функциях развивалось параллельно с расширением понятия степени (начиная со степеней с натуральными показателями и заканчивая понятием степени с любым действительным показателем). Так, равенством а⁰=1 (где а≠0) пользовался в начале XV в. самаркандский учёный ал-Каши. В XV же веке французский математик Н.Шюке ввел понятие отрицательного показателя степени. Идея введения дробных показателей встречается ещё в XIV в. в работах французского учёного Н.Орема, где в словесной формулировке он описал правила действия со степенями.

Современную символику степеней с нулевым, отрицательным и дробным показателем начал использовать английский математик Д.Валлис (1616-1703), а общепринятой эта символика стала после употребления её И.Ньютоном (1643-1727) в своих работах.

В начале XVIIв., в результате открытия метода координат и аналитической геометрии, появились графический метод исследования функций и графический способ решения уравнений.

Ньютон называл все кривые, задаваемые функцией

у=ах+вх²+сх³+…..+рхⁿ,

параболическими кривыми, хотя традиционно все же этим термином называют графики функций

у= сх^m,

где с- положительное действительное число, m - положительное рациональное число. Если m< 0, то графики функций называют гиперболическими кривыми.

Определение: Функцию у=х^р, где р - заданное действительное число, называют степенной функцией.

Свойство 1: Степенная функция у=х^р для любого рR определена при х>0

Свойство 2: Множество значений степенной функции у=х^р при х>0, р≠0 - все положительные числа

Свойство 3: Степенная функция у=х^р на интервале х>0 является возрастающей, если р>0, и убывающей, если р<0.

Задание 1:Изобразить схематично графики функций:

1) 2) 3) 4)

2. Решение иррациональных уравнений

Определение: Уравнение называется иррациональным, если хотя бы одно неизвестное находится под знаком радикала.

Задание 1: Выбрать иррациональное уравнение:

1) 4)

2) 2х+63 = 5) х²-3х=4

3) 12-=1 6)

Задание 2: Какое из чисел -2;-1;0;1;2 будет являться корнем иррационального уравнения:

Задание 3: Является ли число х=2 корнем уравнение , как это проверить.

Задание 4: Методом подстановки найти решение иррационального уравнения:

х=1

х=-7

х=-1

х=7

Правило. Для решения иррационального уравнения необходимо возвести в степень обе части уравнения. Причём необходимо учитывать следующее:

1) если возводим в четную степень, то нужна проверка

2) если возводим в нечетную степень, то проверка не нужна

.

Пример: Решить иррациональное равнение:

1) 2)

Решение: Проверка: Решение: Проверка:

а)

5х+4=9 3=3 х+4=3х-6 б)

5х=9-4 х-3х=-6-4 3=3

5х=5 -2х=-10

х=1 Ответ: х=1 х=5 Ответ: х=5

3)

Решение: Проверка:

х²+4х-8=х² х=2

х²+4х-8-х²=0 2=2

4х-8=0

4х=0+8

4х=8

х=2 Ответ: х=2

Задание 5: Заполнить таблицу:

№

Уравнение

Возведение в квадрат

Решение уравнения

Проверка

Ответ

1

3х-9=36

3х=36+9

3х=45

х=15

6=6

х=15

2

3

3х+5=х+13

3х-х=13-5

2х=8

х=4

х=4

4

5

Задание 6: Закончить решение:

Решение:

2х²-6х+12=х²+5х-6

2х²-6х+12-х²-5х+6=0

х²-11х+18=0

а=1, b=-11, с=18

х_{1,2= =}

х₁= х₂=

Проверка:

1. х=9

2. х=2

Ответ: х₁=9, х₂=….

2)

Решение:

х²-5х+15=9

х²-5х+15-9=0

х²-5х+6=0

а=1, b=-5, с=6

х_{1,2= =}

х₁= х₂=

Проверка:

Задание 7: Найти ошибку:

Решение:

3х²-2х+1=2х²-6х+13

3х²-2х+1-2х²+6х-13=0

х²+4х-12=0

а=1, b=4, с=-12

х_{1,2= =}

х₁= х₂=

Проверка:

3. х=2

4. х=-6

1. х=-6 -посторонний корень

Ответ: х=2

Задание 8: Найти сумму корней иррационального уравнения:

1)

2)

1).

Решение:

2)

Решение:

Формулы сокращенного умножения

квадрат суммы: ( а + в )² = а² + 2ав + в²

квадрат разности: ( а - в )² = а² - 2ав + в²

разность квадратов: а² - в² = ( а - в )( а + в)

куб суммы: ( а + в )³ = а³ + 3а² в + 3ав² + в³

куб разности: ( а - в )³ = а³ - 3а² в + 3ав² - в³

разность кубов: а³ - в³ = ( а - в)( а² + ав + в² )

сумма кубов: а³ + в³ = ( а + в)( а² - ав + в² )

Задание 9: Заполнить таблицу:

№

многочлен

формула

упрощение

результат

1

(2х+3)²

Квадрат суммы

(2х)² + 2·2х·3 + 3²

4х²+12х+9

2

(4х-1)²

3

(2х-2)³

4

(х+5)³

5

(х+6)²

Пример: Решить иррациональное уравнение:

х-6 =

Решение:

(х-6)² =()²

(х)²-2·х·6+6²=2х+12

х²-12х+36=2х+12

х²-12х+36-2х-12=0

х²-14х+24=0

а=1, b=-14, с=24

х_1,2= =

х₁= х₂=

Проверка:

1) х=12 2) х=2

12-6=6 2-6 =-4

6 4

6=6 -4≠4

х=2- посторонний корень

Ответ: х=12

Задание 10: Проверить решение и найти ошибку:

х+1 =

Решение:

(х+1)² =()²

(х)²+2·х·1+1²=-1-х

х²+2х+1=-1-х

х²+2х+1+1+х=0

х²+3х+2=0

а=1, b=3, с=2

х_1,2= =

х₁= х₂=

Проверка:

1) х=1 2) х=-2

1+1=2 -2+1=1

( по определению , а≥0 )

1=1

х=1- посторонний корень

Ответ: х=-2

Задание 11: Решить иррациональное уравнение:

1)

2) х-2 =

3) х+3 =

Решение:

2) х-2 =

Решение

3) х+3 =

Решение

Задание 12: Найти сумму корней иррационального уравнения:

1) 2) х+4 =

а) 4 б) 5 в)6

Пример. Решить уравнение:

Решение:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы из сомножителей равен нулю.

Ответ:

Пример: Решить иррациональное уравнение:

Решение:

а=6, b=-7, с=2

х_1,2= =

х₁= х₂=

Проверка:

1. х=

2) х=

( по определению , а≥0 )

х=- посторонний корень

Ответ: х=

Задание 13:Закончить решение уравнения: .

Решение:

Ответ:

Задание 14: Решить иррациональное уравнение:

1)

2)

Проверь себя!

3. Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными

Историческая справка

Ещё со времен вавилонян и древних индусов считается, что одной из основных целей алгебры является решение уравнений и их систем.

В древнем Вавилоне более 4000 лет назад умели решать уравнения первой, второй и некоторые уравнения третьей степени. Однако, общей теории уравнений в те времена ещё не было.

Приведём задачу, найденную в папирусе Кахуна (XVIII- XVI вв. до н.э.). Задача сформулирована в современных обозначениях и сводится по существу к решению системы уравнений: «Найдите числа ч и у, для которых х² +у² =100 и ». В папирусе решена задача методом «ложного положения». «Положим х=1, тогда у= и х² +у²=. Но в условии х² +у²=10², значит, в качестве х нужно брать не 1, а 10:. Тогда у=6».

В древности уравнениям придавалась геометрическая форма. Сегодня напоминания о «геометрической алгебре» встречается , например, в терминах «квадрат числа», «куб числа» и др.

Известно, что впервые правила преобразования уравнений, обосновав их, правда, геометрически, разработал выдающийся узбекский ученый первой половины IX в. Аль-Хорезми. В XII в. труды аль-Хорезми были переведены на латинский язык и долгое время в Европе являлись основным руководством по алгебре. Арабское название операции «восполнение» (перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть) звучало как «ал-джебер», что и дало название разделу математики, занимающемуся решением уравнений, - «алгебра».

Начало освобождения алгебры о геометрической формы в III в. связывают с именем древнегреческого учёного Диофанта. Однако лишь после того, как французский математик Ф.Виет (1540-1603) ввел буквенные обозначения для неизвестных и известных величин, и после появления трудов Р.Декарта (1596-1650) и других европейских учёных XVI-XVII вв. процесс освобождения алгебры от геометрической терминологии был завершён. Этот процесс способствовал расцвету алгебры и развитию различных её направлений: теориям уравнений, многочленов, функций и пр.

Задание 1: Показать номер той пары чисел, которая является решением системы уравнений (методом подстановки):

х=-1, у=1

х=1, у=-1

х-у=0

х·у=1

х=-1, у=-1

х=1, у=1

Задание 2: Закончить составление системы, решением которой является пара чисел х=-3, у=2

1) х+у=….. 2) х²-у²=……

х·у=….. х+у=…..

Существует ли ещё пара чисел, удовлетворяющая данной системе?

Правило: Для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными (методом подстановки), необходимо из одного уравнения системы выразить одно неизвестное через другое, а затем подставить полученное выражение в другое уравнение системы. Ответ записывается в виде (х;у).

Задание 3: Решить систему уравнений:

х+у=5

х·у=6

Решение:

х+у=5 х·у=6

Выразим х через у: х=5-у, подставим во 2 уравнение: (5-у)·у=6

5у-у² -6=0

-у²+5у-6=0 : (-1)

у²-5у+6=0

а=1,b=-5, с=6

у_1,2= =

у₁= у₂=

у₁=3 у₂=2

х₁=5-у=5-3=2 х₂= 5-у =5-2=3

Ответ: (2;3), (3;2)

Задание 4: Закончить решение

х-у=2

х·у=8

Решение:

х-у=2 х·у=8

Выразим х через у: х=2+у, подставим во 2 уравнение: (2+у)·у=8

2у+у² -8=0

у²+2у-8=0

у_1,2= =

у₁= у₂=

у₁=2 у₂=-4

х₁=2+у=2+2=4 х₂= 2+у =……………

Ответ: (4;2), (….;-4)

Задание 5: Решить систему и стрелками указать те пары чисел, которые будут являться решениями:

(-2;-5)

(3;2)

х-у=2

х·у=8

х-у=3

х·у=10

(-2;-4)

(4;2)

х-у=1

х·у=6

(-2;-3)

(5;2)

Пример: Решить систему уравнений:

х²-у²=200

х+у=20

Решение:

(х-у)·(х+у)=200

х+у=20 (разделим первое уравнение системы на второе уравнение)

, получим: х-у=10

х=10+у, (подставим во второе уравнение системы)

(10+у)+у=20

2у=20-10

2у=10

у=5, х=10+у=10+5=15

Ответ: (15;5)

Пример: Решить систему уравнений:

х+х·у+у=-1

х-х·у+у=3

Решение:

Сложим первое и второе уравнение системы: (х+х·у+у)+( х+х·у+у)=-1+3

х+у+х+у=2

2х+2у=2

2(х+у)=2

х+у=1, х=1-у

Подставим выражение для х в первое уравнение системы:

(1-у)+(1-у)·у+у=-1

1-у+у-у²+у=-1

-у²+у+1+1=0

-у²+у+2=0

у²-у-2=0

а=1,b=-1, с=-2

у_1,2= =

у₁= у₂=

у₁=2 у₂=-1

х₁=1-у=1-2=-1 х₂= 1-у =1-(-1)=2

Ответ: (-1;2), (2;-1)

Задание 6: Решить самостоятельно :

1) х-у=6 2) х²-у²=27 3) х-х·у+у=7

х·у=-5 х+у=-3 х+х·у+у=5

Ответ записать в виде таблицы:

Задание

1

2

3

Ответ

Проверь себя!

4. Контрольная работа

Уровень А:

1) Решить иррациональное уравнение:

а)

б)

в)

г)

2) Решить систему уравнений:

а) х-у=3 б) х·у=-2

х·у=10 2х+у=0

Уровень В:

1) Решить иррациональное уравнение:

а)

б)

2) Решить систему уравнений:

а) х-2у=-7 б) х²-у²=9

х·у=-6 х-у=1

Уровень С:

1) Решить иррациональное уравнение:

а)

б)

2) Решить систему уравнений:

х-х·у+у=-7

х+х·у+у=1