Урок Длина окружности. Вычисление числа пи 6 класс

Длина окружности. Число π.

Цели Урока:

Образовательные:

- обеспечить усвоения учащимися формул по нахождению длины окружности;

- познакомить с числом «Пи»;

- отработать навыки применения данных формул при решении задач.

Развивающие:

- развивать познавательный интерес учащихся в процессе ознакомления с историческим материалом;

- развивать пространственное воображение учащихся;

• развивать логическое мышление и навыки исследовательской деятельности;

- умение пользоваться чертежными инструментами;

- развитие умений действовать самостоятельно.

Воспитательные:

- воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям;

- воспитывать уважение и интерес к математике, умение видеть математические задачи в окружающем нас мире.

Тип урока: урок изучения нового материала и первичное применение полученных знаний.

Ход урока

Какие элементы окружности вам известны?

Давайте повторим определения.

Окружность - замкнутая линия без самопересечений все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра

Радиус - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности

Диаметр-это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр

Хорда - это отрезок, соединяющий две точки окружности

Круг - это часть плоскости ограниченная окружностью

Окружность самая простая кривая линия.

Слово радиус происходит от латинского и означает «спица колеса», R

хорда - греческого происхождения и означает «струна»,

диаметр в переводе « поперечник».D

Найдите хорду, диаметр и радиус на чертеже

Практическая работа

Метод «падающей иголки»

Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги.

На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояние между ними были равны и превышали длину иголки.

Введем обозначения а - расстояние между прямыми, L - длина иглы.

Вероятность события - «игла пересекла прямую» - вычисляется по формуле Р(А) = 2L/a∙p

Вероятность Р(А) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы.

Пусть иглу бросали на чертеж n раз и k раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом n имеем

Р(А) = k/n.
Отсюда: 2L∙n/a∙k

Мною сделано … бросаний,

из них на прямую попали … раз.

Вычислим число.

Практическая работа

Метод Монте-Карло

Для опыта приготовим кусок картона.

Нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно.
Пусть N кр - число капель в кругу, N кв - число капель в квадрате, тогда p » 4 * N кр / N кв. Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе.
Свое экзотическое название получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Можно получить случайные числа и при помощи дождя. Применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам.

Практическая работа

«Нахождение отношения длины окружности к диаметру окружности»

Ход работы:

1. Измерить ниткой длину окружности, которая является границей круга.

2. Распрямить нить и измерить её длину, приложив к линейке.

3. Записать значение в таблице.

4. С помощью линейки измерить диаметр круга, записать в таблицу.

5. Найти отношение длины окружности к диаметру, записать в таблицу.

С

Длина окружности

D

Диаметр окружности

R= D:2

Радиус окружности

S

Площадь круга

S:R²

Отношение

Площади круга к квадрату радиуса

C:D

Отношение длины окружности к её диаметру

№ 1

№ 2

Рассмотрим результаты двух последних столиков. Какая получилась закономерность?

Вывод: приблизительно получается 3.

π - математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита π.

Число Пи, несомненно, одна из наиболее универсальных и фундаментальных констант, известных Человечеству.

• В силу своей универсальности Пи используется в вычислениях для микро- и для и макро-космоса и входит как и в формулы, описывающие движение комет, астероидов, космических кораблей и других небесных тел в астрономии, так и в формулы для вычислений электронных орбит в квантовой физике и квантовой химии

• Одно из первых упоминаний о числе Пи можно встретить в текстах египетского писца по имени Ахмес (около 1650 года до н. э.), известных сейчас как папирус Ахмеса (Ринда).

• Люди изучают число π уже на протяжении 4000 лет.

• Значение первых чисел в числе Пи после впервые правильно рассчитал одни из величайших математиков древнего мира, Архимед из Сиракуз (род.287 - ум.212 г. до н. э.). Он представил это число в виде нескольких дробей. По легенде, Архимед был настолько увлечён рассчетами, что не заметил, как римские солдаты взяли его родной город Сиракузы. Когда римский солдат подошел к нему, Архимед закричал по-гречески: «Не трогай моих кругов!». В ответ на это солдат заколол его мечом.

• Точное значение числа Пи было получено китайской цивилизацией намного раньше, чем западной. Китайцы имели два преимущества по сравнению с большинством других стран мира: они использовали десятичную систему обозначения и символ нуля. Европейские математики как раз-таки наоборот не использовали символическое обозначение нуля в счетных системах до позднего средневековья, пока не вступили в контакт с индийскими и арабскими математиками.

• Аль-Хорезми (основатель алгебры) упорно работал над расчетами числа Пи и добился первых четырёх чисел: 3,1416. Термин «алгоритм» происходит от имени этого великого среднеазиатского учёного, а из его текста Китаб аль-Джабер валь-Мукабала появилось слово «алгебра».

• Уильям Джонс (род.1675 - ум.1749) ввел символ «π» в 1706 году, который позднее был популяризирован в математическом сообществе Леонардо Эйлером (род.1707 - ум.1783).

• Исаак Ньютон рассчитал число Пи до 16 знаков после запятой.

• Людольф ван Цейлен (род.1540 - ум.1610 гг.) провёл большую часть своей жизни над расчетами первых 36 цифр после запятой числа Пи. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («VandenCirckel»), Людольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». Согласно легенде, эти цифры были выгравированы на его надгробной плите после смерти. В честь него число иногда называли «Людольфовым числом», или «константой Людольфа».

• Первый миллион знаков после запятой в числе Пи состоит из: 99959 нулей, 99758 единиц, 100026 двоек, 100229 троек, 100230 четвёрок, 100359 пятёрок, 99548 шестёрок, 99800 семёрок, 99985 восьмёрок и 100106 девяток.

Леденящая тайна числа ПИ

Поскольку в последовательности знаков числа пи нет повторений - это значит, что последовательность знаков пи подчиняется теории хаоса, точнее, число пи - это и есть хаос, записанный цифрами.

• Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, и есть предположение, что этот Хаос разумен. В 1965-м году американский математик М. Улэм, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи.

• Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых! Позже он сгенерировал на основе этого рисунка цветовую картину с помощью специального алгоритма. Что изображено на этой картине - засекречено.

• А следует из этого то, что в десятичном хвосте числа пи можно отыскать любую задуманную последовательность цифр. Ваш телефон? Пожалуйста, и не раз. Любая последовательность цифр в десятичных знаках числа пи рано или поздно найдется. Любая!

• Ну и что? - спросите вы. А то. Прикиньте: если там есть ваш телефон (а он есть), то ведь там же есть и телефон той девушки, которая не захотела дать вам свой номер. Более того, там есть и номера кредиток, и даже все значения завтрашнего тиража Спортлото. Вопрос в том, как их там отыскать...

• Можно предложить и другой пример: если зашифровать все буквы цифрами, то в десятичном разложении числа пи можно найти всю мировую литературу и науку, и рецепт изготовления соуса бешамель, и все священные книги всех религий.

Это строгий научный факт. Ведь последовательность БЕСКОНЕЧНА и сочетания не повторяются, следовательно она содержит ВСЕ сочетания цифр, и это уже доказано. А раз все, то все. В том числе и такие, которые соответствуют выбранной вами книге.

• А это опять-таки означает, что там содержится не только вся мировая литература, которая уже написана (в частности и те книги, которые сгорели и т.д.), но и все книги, которые еще БУДУТ написаны. Разве это может не волновать? Получается, что это число (единственное разумное число во вселенной!) и управляет нашим миром.

• Но - каким образом происходит это управление? Как правило, с помощью как познанных, так и еще не познанных и не написанных законов физики, химии, физиологии, астрономии, которые в нем содержатся! Это вам не убогонькая дата рождения с десятью скудными вариантиками на каждую цифру, в которые предлагается впихнуть все человечество! Это универсум в цифровом виде.

• Вопрос опять-таки - как отыскать там правильные тексты, ведь там есть все варианты, например, кроме текста «Анны Карениной», в котором Анну переезжает паровоз, там содержится и вариант, в котором Анна сама его переезжает. То есть, чтобы вычленить правильный текст, надо быть….. А кроме правильного варианта завтрашнего тиража лотереи - есть и все неправильные, и как их различить?

В заключение еще несколько мнемонических правил для запоминания знаков числа π.

Что я знаю о кругах - 3,1416

Это я знаю и помню прекрасно - пи многие знаки мне лишни, напрасны- 3,14159265358.

Число π мы вычисляли как отношение длины окружности к диаметру, значит длина окружности. С= πD

Решим несколько задач, для закрепления формулы для нахождения длины окружности.

Задача № 1

Дано: d = 3 см , ( 3,14).

Найти: С

Решение: С= π d, С≈3,14∙3≈9,42 см

Ответ: С≈9,42 см

Задача №2: Найдите длину окружности, если её диаметр равен 24 дм

(3,14).

Дано: D = 24 дм, 3,14.
Найти: С.

Решение. С =D; С = 3,14 · 24 = 75,36(дм).
Ответ: 75,36.

Задача № 3. Давайте вычислим длину экватора.

- Форму какой геометрической фигуры имеет экватор Земли?

- Что необходимо знать, чтобы найти длину экватора?

Дано: r = 6370км (3,14).

Найти:С

Решение: С=2 π r, С≈2*3,14*6370≈40003,6 км

Ответ: С ≈40003,6 км

Задача №4: Найдите радиус и диаметр окружности, если её длина равна 0,785м (3,14).

Дано: С = 0,785 м.3,14.
Найти: R; D.
Решение. С = 2R;

D = 2R; R = 0,125 · 2 = 0,25(м).
Ответ: 0,125м; 0,25м.

Первичная проверка знаний - тест: ответьте на вопросы теста, подчеркнув верный ответ.

ТЕСТ

1.Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр

А) радиус; Б) сторона; В) хорда; Г) диаметр.

2.Число π равно А) 3,14 Б) 1,34 В) 3,91 Г) 4,13

3.Формула длины окружности

А) С=πr Б) С=πd В) C=2πd Г) C=2r

4. Чему равен диаметр окружности, радиус которой 3,5 см?

А) 6,28 Б) 1,57 В) 7 Г) 3,14

5. Диаметр окружности равен 10 см. Чему равна длина этой окружности?

А) 62,8 см Б) 31,4 см В) 20 см Г) 3,14 см

Проверка, поставьте себе оценку.

1-г 2-а 3- б 4- в 5 - б

Тема урока: Длина окружности.

Хорда

Диаметр, D

Радиус, R

Практическая работа

Метод «падающей иголки»

Измерьте

L = ….. - длину иглы

а= ….. - расстояние между прямыми

Мною сделано n=… бросаний,

из них на прямую попали k=… раз.

Вычислим число по формуле

=

Практическая работа

«Нахождение отношения длины окружности к диаметру окружности»

С

Длина окружности

(клетка)

D

Диаметр окружности

(клетка)

R= D:2

Радиус окружности

(клетка)

S

Площадь круга

(кв.клеток)

S:R²

Отношение

площади круга к квадрату радиуса

C:D

Отношение длины окружности к её диаметру

№ 1