Буклет «Повторим комбинаторику» 9 класс

Комбинаторика

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика - раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

Определение. Перестановкой из элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Обозначается .

где называется факториалом числа . Это произведение натуральных чисел от 1 до , т.е.

Пример 1. Сколькими способами можно расставить на игровой площадке 6 волейболистов?

Решение.

Ответ. Волейболистов можно расставить на площадке 720 способами.

Пример 2. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)?

а) привет; б) задача.

Решение. а) В слове «привет» 6 букв, следовательно, чтобы найти, сколько последовательностей можно составить из букв этого слова, надо найти число перестановок из 6 элементов, т.е.

б) Если бы в слове «задача» все буквы были бы разными, то перестановок было бы 6! Но три одинаковых буквы «а» не дадут новых 3! перестановок, т.е. их будет в 3! раз меньше. Значит, ответ: .

Ответ: а) 720; б) 120 последовательностей.

Определение. Размещением из элементов по называется любое множество, состоящее из любых элементов, взятых в определенном порядке из данных элементов. Обозначается .

Пример 3. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 10 одноместных столов?

Решение. Для того чтобы посчитать количество способов воспользуемся формулой размещения из 10 элементов по 6:

Ответ: 151200 способов.

Замечание. Если , то . Т.е., перестановка - частный случай размещения.

Определение. Сочетанием из элементов по называется любое множество, составленное из элементов, выбранных из данных элементов. Обозначается .

Договорились считать:

Пример 4. В группе 25 студентов. Сколькими способами из 25 студентов выбрать 3 дежурных.

Решение. Выбор 3 дежурных из 25 студентов - это комбинация из 25 по 3. Т.е.,

Ответ: 2300 способами.

Комбинации, размещения и перестановки вместе называются сочетаниями. При решении простых комбинаторных задач сначала следует определить вид сочетания, учитывая, что:

• Перестановки отличаются друг от друга порядком размещения элементов;

• Размещения отличаются или выбором элементов, или порядком их размещения;

• Комбинации отличаются только выбором элементов (порядок размещения элементов не учитывается).

Как выбрать формулу

Комбинаторные задачи бывают разных видов, но большинство из них решают с помощью основных правил: правила суммы и правила произведения.

Пример 5. Сборы из 30 человек выбирают председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В выборе председателя и секретаря порядок размещения элементов учитывается и не все элементы входят в соединение, следовательно, используем формулу размещение из 30 по 2; таким образом, в дальнейших выборах будут участвовать 30-2=28 человек. При выборе членов комиссии порядок размещения элементов не учитывается, следовательно используем формулу сочетаний из 28 по 3. Т.к. нам необходимо выбрать и председателя с секретарем и членов комиссии, следовательно, используем правило произведения:

Ответ: 2850120 способами.

Пример 6. Из 7 бегунов и 3 прыгунов надо собрать команду из 5 человек, в которую войдет хотя бы один прыгун. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Рассмотрим все варианты:

• в команде один прыгун и, соответственно, 4 бегуна ;

• 2 прыгуна и 3 бегуна ;

• 3 прыгуна и 2 бегуна .

Т.к. собрать команду можно или первым или вторым или третьим способом, то используем правило суммы:

Ответ: 231 способом.