Разработка урока по теме Неполные квадратные уравнения

Урок №46

Тема: «Неполные квадратные уравнения».

Цели:

1. ввести понятия квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения;

2. формировать умения записывать квадратное уравнение в общем виде, различать его коэффициенты;

3. формировать умения решать неполные квадратные уравнения различных видов;

4. формировать умения решать задачи с использованием неполных квадратных уравнений;

5. развивать память, внимание и логическое мышление обучающихся;

6. вырабатывать трудолюбие и целеустремленность обучающихся.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока.

2. Актуализация знаний и умений обучающихся.

Устная работа.

1. Является ли число а корнем уравнения:

а) 2х - 7 = 8, а = 7,5;

б) х² - х - 20 = 0, а = 5;

в) (х³ + 12) (х² - 8) = 0, а = .

2. Найдите корни уравнения:

а) (х - 3 ) (х + 12) = 0;

б) (6х - 5) (х + 5) = 0;

в) (х - 8) (х + 2) (х² + 25) = 0.

III. Объяснение нового материала.

Для введения понятия квадратного уравнения используется задача, при решении которой возникает уравнение, еще не известное обучающимся. Возникает проблемная ситуация: мы не можем решить практическую задачу, так как пока не умеем решать уравнения нового вида.

На доску выносится запись:

Далее рассматривается вопрос о коэффициентах квадратного уравнения. Число а называется первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом и число с - свободный член. Особое внимание обращаем, что число а не может быть равным нулю, так как в этом случае уравнение примет вид bх + с = 0, а это линейное уравнение.

Числа b и с, в отличие от а, могут быть и равными нулю. Если хотя бы одно из них равно нулю, то уравнение называется неполным. Можно предложить учащимся самостоятельно выписать виды неполных квадратных уравнений:

Для усвоения понятия квадратного уравнения и его коэффициентов следует предложить учащимся задание:

- Укажите, какие из данных уравнений являются квадратными, объясните ответ:

а) 2х² + 7х - 3 = 0; д) х² - 6х + 1 = 0;

б) 5х - 7 = 0; е) 7х² + 5х = 0;

в) -х² - 5х - 1 = 0; ж) 4х² + 1 = 0;

г) + 3х + 4 = 0; з) х² - = 0.

Затем определяется, какое квадратное уравнение называется приведенным, приводятся примеры.

Решение неполных квадратных уравнений.

Для осознанного восприятия приёмов решения неполных квадратных уравнений объяснение проводим на конкретных примерах с последующим составлением алгоритмов решения.

1. № 514 (устно).

2.

П р и м е р 1. 3,8х² = 0.

Р е ш е н и е

- Разделим обе части уравнения на 3,8 (число, не равное нулю) и получим уравнение, равносильное исходному:

х² = 0.

Мы знаем, что существует только одно число - нуль, квадрат которого равен нулю, следовательно, уравнение имеет единственный корень х₀ = 0.

О т в е т: 0.

В ы в о д: уравнение вида ах² = 0 (а ≠ 0) имеет единственный корень х₀ = 0.

3.

П р и м е р 2. -3х² + 21 = 0.

Р е ш е н и е

- Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3:

-3х² = -21;

х² = 7.

Отсюда х = или х = -.

О т в е т: х = ; х = -.

П р и м е р 3. 4х² + 6 = 0.

Р е ш е н и е

- Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:

4х² = -6;

х² = .

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то уравнение не имеет корней.

О т в е т: нет корней.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах² + с = 0 (с ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Перенесём свободный член с в правую часть уравнения.

2) Делим обе части уравнения на а (с ≠ 0, а ≠ 0), получаем уравнение х² = .

3) Если > 0, то уравнение имеет два корня:

.

Если < 0, то уравнение не имеет корней.

4.

П р и м е р 4. 5х² + 7х = 0.

Р е ш е н и е

- Разложим левую часть уравнения на множители:

х (5х + 7) = 0.

Отсюда: х = 0 или 5х + 7 = 0;

5х = -7;

х = ;

х = -1,4.

О т в е т: 0; -1,4.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах² + bx = 0 (b ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Разложим левую часть уравнения на множители, получим x (ax +
+ b) = 0.

2) Решаем уравнение ах + b = 0; х = .

3) Уравнение имеет два корня: .

5. Приведённые примеры показывают учащимся, что неполное квадратное уравнение может иметь один или два корня, а может и не иметь корней. В дальнейшем возможно обобщение этого вывода для любых квадратных уравнений.

Для систематизации знаний, полученных на уроке, можно предложить учащимся составить следующую таблицу:

V. Формирование умений и навыков.

На первых порах желательно, чтобы учащиеся перед решением неполных квадратных уравнений вслух проговаривали их вид и алгоритм решения, пока не будет сформирован устойчивый навык.

№ 515 (а, в, д), № 517 (а, в, е), № 519 (устно), № 523 (а, в).

Решение задач с помощью неполных квадратных уравнений.

З а д а ч и, решаемые на этом уроке, можно разбить на две группы:

1) Уравнения, сводящиеся к неполным квадратным путём преобразований.

2) Текстовые задачи, решаемые алгебраическим методом с помощью неполных квадратных уравнений.

1-я г р у п п а.

1) = 2.

Р е ш е н и е

- Умножив обе части уравнения на 4, получим:

(х - 2)² + 2(х + 1)² = 8.

После преобразований имеем уравнение:

3х² - 2 = 0;

х² = ;

х =.

О т в е т: .

2. .

Р е ш е н и е

- Умножив обе части уравнения на 12, получим:

12х² + 12 - 4 (х² + 3) = 6 (х² + 2) - 3(х² + 4);

12х² + 12 - 4х² - 12 = 6х² + 12 - 3х² - 12;

5х² = 0;

х = 0.

О т в е т: 0.

3. = (2 - х) (х + 5).

Р е ш е н и е

- Умножив обе части уравнения на 3, получим:

(х - 5)² - 6х + 5 = 3 (2 - х) (х + 5);

х² - 10х + 25 - 6х + 5 = 6х + 30 - 3х² - 15х;

4х² - 7х = 0;

х (4х - 7) = 0;

х = 0 или 4х - 7 = 0;

х = .

О т в е т: 0; .

2-я г р у п п а.

Прежде чем перейти к решению задач, необходимо, чтобы учащиеся проговорили, какие этапы включает в себя решение любой задачи алгебраическим методом.

1. № 524.

Р е ш е н и е

- Последовательные целые числа отличаются на единицу (последующее больше предыдущего).

Пусть х - меньшее целое число, тогда (х + 1) - последующее целое число (большее). Произведение этих чисел равно х (х + 1), что составляет х² + х. Зная, что произведение в 1,5 раза больше квадрата меньшего числа, составим уравнение:

х² + х = 1,5х²;

-0,5х² + х = 0;

х (-0,5х + 1) = 0;

х = 0 или -0,5х + 1 = 0;

х = 2.

Очевидно, что х = 0 противоречит условию задачи (произведение чисел будет равно квадрату меньшего числа). Значит, эти числа 2 и 3.

О т в е т: 2; 3.

2. № 526.

Р е ш е н и е

Площадь квадрата составляет 59 + 85 = 144 см². Пусть х см - сторона квадрата, тогда х² см² - его площадь. Получаем уравнение:

х² = 144;

х = ±12.

Так как длина стороны квадрата выражается положительным числом, то х = -12 - не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 12 см.

3. № 527.

Р е ш е н и е

Пусть t ч - время, через которое расстояние между туристами будет 16 км. За это время один турист прошёл на север 4t км, а второй на запад 5t км. Расстояние между ними равно длине отрезка ЗС и вычисляется по теореме Пифагора: (ЗС)² = (0З)² + (0С)². Зная, что длина отрезка ЗС равна 16 км, составляем уравнение:

(16)² = (5t)² + (4t)²;

256 = 25t² + 16t²;

41t² = 256;

t² = ;

t = ±;

t ≈ ±2,5.

Так как время выражается положительным числом, то t ≈ -2,5 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: ≈ 2,5 ч.

4. Для сильных в учебе учащихся можно предложить задачу повышенной сложности.

№ 530.

Согласно условию, отношение длины экрана к его ширине равно 4 : 3, это значит, что можно обозначить 4х и 3х длину и ширину экрана соответственно (в дюймах). Диагональ вычисляется по теореме Пифагора:

(25)² = (4х)² + (3х)²;

625 = 16х² + 9х²;

25х² = 625;

х² = 25;

х = ±5.

х = -5 - не удовлетворяет условию задачи. Длина экрана равна 4 · 5 = 20 дюймов, а ширина равна 3 · 5 = 15 дюймов. В сантиметрах эти величины составляют 20 · 2,54 = 50,8 и 15 · 2,54 = 38,1 соответственно.

О т в е т: 20; 15; 50,8; 38,1.

VI. Итоги урока.

Вопросы обучающимся:

- Какое квадратное уравнение называется неполным?

- Какие существуют виды неполных квадратных уравнений?

- Какие корни имеет уравнение вида ах² = 0?

- Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициенты b = 0, с ≠ 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

- Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициенты b ≠ 0, с = 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

- Какие этапы выделяются при решении задачи алгебраическим методом?

7. Домашнее задание: прочитать п. ; № 515 (б, г, е), № 518 (а, г, д, е), № 521 (а, в), № 520, № 529