Методические указания к практическому занятию по теме Нахождение неопределенных интегралов способом подстановки

Практическая работа

Нахождение неопределенных интегралов способом подстановки

1. Цель работы

Выработка умений и навыков в вычислении неопределенных интегралов способом подстановки.

2. Разделы, темы рабочей программы, которые необходимо знать при выполнении и сдаче практической работы

Раздел 1 Математический анализ

Тема1.1 Дифференциальное и интегральное исчисления

3. Краткие теоретические сведения

Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от f(x). Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

Пусть f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,
а, k, C - постоянные величины. Тогда справедливы равенства:

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х - множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

(1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

4. Задания

4.1 Изучить методические указания к выполнению практической работы

4.2 Выполнить индивидуальное задание

4.3 Оформить отчет по практической работе

5. Структура отчета

5.1 Номер и наименование практической работы

5.2 Цель работы

5.3 Задание

5.4 Выполнение работы

6. Пример выполнения работы

Упражнение 1.

Вычислить

Пусть , тогда

dt=(x²-6)'dx,

,

Подставим найденные значения в интеграл:

Упражнение 2.

Вычислим .

Пусть t=2x.

Тогда dt=(2x)'dx,

,

dx =

Упражнение 3.

Вычислить:
Пусть t= sinx, тогда

dt=(sinx)'dx

dt=cosx dt

dx=

Подставим найденные значения в интеграл:

Рекомендуемая литература

1. Дадаян А.А. Математика: Учебник - 2-е издание.- М.: Форум: Инфра.-М.2006- 552 с. (Профессиональное образование)

2. Григорьев В. П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: Учебник для студентов учреждения среднего профессионального образования. - М.: Издательский центр «Академия», 2004- 320 с.

3. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник - М.: Министерство, 2001 - 304 с.

4. Конспект лекций

5. Настоящая методическая разработка

Приложение 1

Варианты практической работы

Вариант 1

Вычислить интегралы:

Вариант 2

Вычислить интегралы:

Вариант 3

Вычислить интегралы:

Вариант 4

Вычислить интегралы: