государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

(среднее специальное учебное заведение)

«Южно-Уральский многопрофильный колледж»

Общее исследование функции и

построение графиков

Методическая разработка

учебного занятия теоретического обучения

Челябинск

2014

Общее исследование функции и построение графиков

Методическая разработка учебного занятия теоретического обучения

Автор - разработчик Вуйлова Марина Анатольевна, методист ГБОУ СПО (ССУЗ) «ЮУМК», первая категория.

Методическая разработка учебного занятия предназначена для педагогических работников, ведущих подготовку обучающихся в учреждении СПО по специальности 21.02.05 Земельно-имущественные отношения (базовая подготовка)

Содержание:

1.

Аннотация ……………………………………………………………………...

4

2.

Пояснительная записка ………………………………………………………..

5

3.

Технологическая карта учебного занятия ……………………………………

7

4.

Ход учебного занятия ………………………………………………………….

10

5.

Презентация «Область определения, множество значений функции» …….

29

6.

Презентация «Четность, нечетность графика функции. Периодичность функции» ……………….....................................................................................

30

7.

Презентация «Точки пересечения с осями координат» …………………….

31

8.

Презентация «Критические точки первого рода» ……………………...........

32

9.

Презентация «Интервалы возрастания и убывания. Точки экстремума» ….

33

10.

Презентация «Критические точки второго рода» …………………………...

34

11.

Презентация «Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба» …...

35

12.

Приложение 1 Презентация «Общее исследование функции и

построение графиков» ………………………………………..

36

13.

Приложение 2 Практическая работа по исследованию функции ………….

76

14.

Литература ……………………………………………………………………...

82

^{Аннотация}

Комбинированный урок по теме «Общее исследование функции и построение графиков» - это форма коллективной и самостоятельной работы обучающихся на учебном занятии, которая способствует углубить и систематизировать знания, умения и навыки обучающихся по определению, свойствам и методам исследования функции и построению графиков, реализовать компетентностный подход при изучении математики, а именно считать приоритетным развитие личности обучаемого, ориентироваться на формирование общих компетенций у обучаемых, использовать образовательный контент посредством информационных технологий АСУ ProCollege, внедрить в образовательный процесс личностно-ориентированные технологии.

При этом у обучающихся продолжают развиваться аналитико-синтетическое мышление, познавательные умения интеллектуальной деятельности в работе с дополнительной литературой и создания презентаций по теме учебного занятия. В ходе проведения учебного занятия преподаватель содействует формированию основных мировоззренческих идей, способствует воспитанию у обучающихся коллективизма, чувства ответственности за результаты своей работы, самокритичности ответов на вопросы.

За 2-3 недели до проведения комбинированного урока предлагаются вопросы для подготовки, литература для самообразовательной и самостоятельной работы, а отдельным обучающимся - сообщения в форме небольших сообщений, докладов, рефератов. В ходе подготовки к учебному занятию обучающиеся сами решают, в какой форме будут реализовывать план; либо в форме устных ответов-сообщений, либо в форме презентаций и т.д., но готовятся все и по всем вопросам.

В результате обучающиеся совершенствуют умения и навыки убедительно обосновывать и аргументировать свои выводы, опираясь на знания полученные на уроке и в ходе подготовки к нему, а значит и используют, и создают различные формы выражения информации по вопросам занятия, а также продолжают работать по формированию общих компетенций при изучении математики.

Учебное занятие, проведённое в такой форме и построенное на сочетании фронтального собеседования и дифференцированных практических работ, позволяет учитывать индивидуальные способности и интересы обучающихся, глубже усваивать отдельные положения по теме, а значит реализовывать и добиваться высоких результатов.

_________________ Г.М. Рогачева

«___» ___________ 20___ г.

Преподаватель математических дисциплин высшей категории

ГБОУ СПО (ССУЗ) «Южно-Уральский многопрофильный колледж»

Пояснительная записка

Современный математический анализ является основной областью математики, вобравшей в себя дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, дифференциальную геометрию, теорию функции комплексного переменного и многое другое. Математический анализ в настоящее время является незаменимым инструментом исследования в самых различных областях науки и техники. Знание дифференциального и интегрального исчисления необходимы каждому, оно способствует формированию современного научного мышления и является условием дальнейшего прогресса науки и техники.

В основе дифференциального исчисления лежит понятие производной. Исследование функций с использованием производной является одной из основных задач математического анализа. Исторически понятие производной возникло еще в XVII веке.

Задачи на нахождение скорости движения, а также проведения касательной к кривой привели к понятию производной. Вместе с развитием математики совершенствовались и развивались методы и средства исследования. Понятие производной получило абстрактный, обобщенный смысл, что значительно расширило применение математики в изучении самых разнообразных явлений, происходящих в природе. Математики получили совершеннейший аппарат исследования.

Тема «Общее исследование функции и построение графиков» заслуживает особого внимания, так как любая функция отражает зависимость одной величины от другой (аргумента) и нас интересует, насколько быстро меняется та или иная величина при изменении аргумента. Фактически речь идет о скорости изменения функции. Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает график. Поэтому построение графика является заключительным этапом исследования функции, в котором используются все результаты ее исследований. Анализ конкретной функции включает в себя несколько этапов:

1. установление области определения функции и ее общих классификационных свойств (симметрии, периодичности и др.);

2. определение промежутков монотонного возрастания и убывания;

3. определение промежутков ориентированной вверх или вниз выпуклости;

4. выявление характерных точек пересечения осей, критических точек экстремума и перегиба.

Все перечисленные задачи можно рассмотреть и проанализировать, использую диаграммы изменения знаков самой функции , ее производной и второй производной.

Изучение особенностей поведения функции предполагает аналитическую работу студентов, направленную на выявление точек локального экстремума и перегиба, а также определение промежутков монотонности, выпуклости и знакоопределенности функции.

Урок по теме «Общее исследование функции и построение графиков» включен в учебный план студентов дневного отделения, обучающихся на 1 курсе по специальности «Земельно-имущественные отношения».

Занятие проводится в форме комбинированного урока. Данная форма урока наиболее приемлема при изучении этой темы, поскольку позволяет обобщить и проанализировать пройденный материал, сформулировать новые понятия, сделать выводы.

В ходе занятия каждый обучающийся работает в группе по выполнению заданий своего варианта, что в свою очередь углубляет навыки обучающегося в овладении современными методами исследования функции и построения графиков, а также каждый обучающийся, обобщая приобретенные теоретические навыки, самостоятельно составляет презентацию по отдельным пунктам исследования функции.

Представленная методическая разработка учебного занятия теоретического обучения составлена в соответствии с требованиями к проведению учебного занятия. Учебное занятие обеспечено в полном объеме дидактическими средствами обучения. Правильная организация и проведение учебного занятия предоставляет возможность активного включения каждого обучающегося в учебную деятельность, а также сотрудничество обучающихся друг с другом и преподавателем.

Вопросы для проверки теоретических знаний обучающихся составлены таким образом, что позволяют преподавателю отследить теоретический уровень подготовки обучающихся по этой теме.

В ходе занятия у обучающихся формируются общие компетенции:

ОК 1.

Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2.

Анализировать социально-экономические и политические проблемы и процессы, использовать методы гуманитарно-социологических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности.

ОК 3.

Организовывать свою собственную деятельность, определять методы и спо-собы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4.

Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

ОК 5.

Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 6.

Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями

ОК 7.

Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 8.

Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.

ОК 9.

Уважительно и бережно относиться к историческому наследию и культурным традициям, толерантно воспринимать социальные и культурные традиции.

ОК 10.

Соблюдать правила техники безопасности, нести ответственность за организацию мероприятий по обеспечению безопасности труда.

Технологическая карта

учебного занятия (урока)

Дисциплина: Математика

Специальность: 21.02.05 Земельно-имущественные отношения (базовая подготовка)

Тема: Общее исследование функции и построение графиков

Тип учебного занятия: комбинированный

Цели урока

Дидактическая (познавательная):

Углубить и систематизировать знания, умения и навыки обучающихся по определению, свойствам и методам исследования функции и построению графиков, реализовать компетентностный подход при изучении математики:

• приоритет развития личности обучаемого;

• ориентация на формирование общих компетенций у обучаемых;

• использование образовательного контента посредством информационных технологий АСУ ProCollege;

• внедрение в профессионально-образовательный процесс личностно-ориентиро-ванных технологий.

Развивающая:

Продолжить развитие:

• аналитико-синтетического мышления (умений выделять существенные признаки и свойства, восстанавливать единые, общие признаки и свойства целого, составлять план изученного материала, классифицировать факты, делать обобщающие выводы);

• познавательных умений интеллектуальной деятельности в работе с дополнительной литературой и создания презентаций по теме урока.

Воспитательная:

Содействовать в ходе урока формированию основных мировоззренческих идей, способствовать воспитанию у студентов коллективизма, чувства ответственности за результаты своей работы, самокритичности ответов на вопросы.

Технические средства обучения:

Персональный компьютер, мультимедийный проектор, страница курса «Математика» в АСУ ProCollege is.gouchut.ru/course/view.php?id=270

Занятие № 23

Учебно-наглядные пособия:

• таблица производных;

• опорный конспект по теме «Общее исследование функции и построение графиков»;

• Учебник Н.В. Богомолова «Практические занятия по математике» М.- Высшая школа 2005г. Главы 7,8 стр. 105-115

Раздаточный материал:

Карточки с заданиями для исследования функций и построения графиков.

Литература

Основная:

1. Алгебра и начало анализа. (Под редакцией Г.Н. Яковлева).-М., Наука,1987)

2. Н.В. Богомолов. Практические задания по математике. -М.,В.ш.,2005.

3. Алгебра и начало анализа (Под редакцией А.Н. Колмогорова). -М., Просвещение, 2006.

4. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. Математика. - М., Дрофа, 2005.

5. Высшая математика для экономистов (под редакцией Н.Ш. Кремера). - М., Юнити, 2006.

6. О.Н. Афанасьева и др. Сборник задач по математике. - М., Наука, 2006.

Дополнительная:

1. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных заведений.-М.:Академия, 2003.

2. М.Я.Выгодский. Справочник по высшей математике.-М.: Наука, 2006.

Формируемые ОК

ОК 1.

Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2.

Анализировать социально-экономические и политические проблемы и про-цессы, использовать методы гуманитарно-социологических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности.

ОК 3.

Организовывать свою собственную деятельность, определять методы и спо-собы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4.

Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

ОК 5.

Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 6.

Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями

ОК 7.

Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 8.

Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.

ОК 9.

Уважительно и бережно относиться к историческому наследию и культурным традициям, толерантно воспринимать социальные и культурные традиции.

ОК 10.

Соблюдать правила техники безопасности, нести ответственность за организацию мероприятий по обеспечению безопасности труда.

План урока:

Вводная часть

1. организационный этап;

2. целевая установка

3. проверка домашнего задания, повторение и обобщение изученного материала по теме, актуализация опорных знаний и опыта обучающихся;

Основная часть

1. подготовка студентов к освоению нового материала: восприятие и вторичное осмысление материала;

2. объяснение нового материала, систематизация новых знаний;

3. применение и закрепление усвоенных знаний;

4. подведение итогов урока;

5. получение домашнего задания.

Ход учебного занятия

Элементы

внешней

структуры

учебного занятия

Элементы внутренней (дидактической)

структуры учебного занятия

Деятельность

преподавателя

Деятельность

обучающегося

Виды цифровых образовательных ресурсов

Формируемые

ОК и ПК

1

2

3

4

5

6

Вводная часть

Организационный момент

2 мин

Предъявление единых педагогических требований:

• приветствие обучающихся,

• проверка готовности к занятию,

• выявление отсутствующих обучающихся и отметка их в журнале.

Отвечают на приветствие.

Командир докладывает о явке обучающихся на занятие.

Обучающиеся готовятся к занятию.

Обучающиеся сидят на своих рабочих местах.

ОК
3, 4, 5, 6, 8

Организация внимания и готовности обучающихся к уроку (устранение отвлекающих факторов: посторонний шум, лишние предметы на рабочем месте).

Готовятся к восприятию темы урока.

Целевая установка

3 мин

Преподаватель сообщает план занятия, тему занятия, цели занятия.

Показ презентации с темой урока и планом урока.

Тема: Общее исследование функции и построение графиков

Цель учебного занятия:

Углубить и систематизировать знания, умения и навыки по определению, свойствам и методам исследования функции и построению графиков, реализовать компетентностный подход при изучении математики (ориентация на продолжение формирования общих компетенций у обучаемых, использование образовательного контента посредством информационных технологий АСУ ProCollege.

Приложение № 1 (слайды 1-5)

Обучающиеся слушают преподавателя, осмысливают значимость материала данного учебного занятия.

Видят на экране слайда из презентации.

Повторение изученного материала. Актуализация опорных знаний и опыта обучающихся.

10 мин

Проверка домашнего задания, повторение и обобщение изученного материала по теме. Домашнее задание, полученное на прошлом занятии, обучающиеся выполнили в виде презентаций, которые они сами демонстрируют на занятии:

• область определения, множество значений функции;

Обучающиеся отвечают на вопросы преподавателя, внимательно слушают и смотрят презентации, составленные одногруппниками в ходе выполнения домашнего задания

Обучающиеся заходят на страницу курса «Математика» в АСУ ProCollege

is.gouchut.ru

/course/view.php?id=270

Занятие № 23

и открывают приложение к данному занятию «Исследование функции»

Обучающиеся внимательно слушают преподавателя.

ОК
3, 4, 5, 6, 8

• четность и нечетность;

• периодичность;

• точки пересечения с осями координат;

• критические точки первого рода;

• интервалы монотонности и экстремумы;

• критические точки второго рода;

• интервалы выпуклости и вогнутости.

По ходу ответа обучающихся производится коррекция опорных знаний, выявляются пробелы и вносятся исправления, поправки в опорные знания обучающихся. Производится разбор вопросов, вызвавших затруднения, организуется взаимопомощь.

Оценивание (и объявление выставленных оценок) данного вида работ производится сразу после завершения демонстрации презентации.

Приложение № 1(слайды 6-31)

Определяют и восполняют пробелы в знаниях.

Сильные помогают более слабым.

Основная часть

Восприятие и первичное (вторичное) осмысление материала, формирование (систематизация) новых знаний.

30 мин

Обсуждение домашнего задания показало, что вы готовы к изучению новой темы

Вернёмся к теме и целям нашего занятия:

«Общая схема исследования функции и построения графиков»

Вступительное слово преподавателя:

Производная - мощный инструмент для исследования числовых функций. Использование производных значительно облегчает исследование дифференцируемых функций и построение графиков. С помощью производной можно установить интервалы возрастания и убывания, найти экстремумы функции, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. А это позволяет более точно построить графики исследуемых функций.

Обучающиеся внимательно слушают преподавателя

ОК
3, 4, 5, 6, 8

Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает ее график. Поэтому построение графика является заключительным этапом исследования функции, в котором используются все результаты ее исследования.

Объяснение нового материала:

В вашей будущей специальности «Земельно-имущественные отношения» особое место будет занимать умение анализировать информацию по заданным критериям и умение изображать эту информацию графически (строить графики функций).

Всеми этими вопросами занимается математический анализ. Практическое применение этой темы очень велико.

Построение графика функции производится по следующей схеме:

Обучающиеся записывают в тетрадь общую схему исследования функции.

а) найти область определения функции;

б) выяснить, не является ли функция четной, нечетной, периодической;

в) найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений);

г) найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы;

е) найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба;

ж) построить график, используя полученные результаты исследования.

Показ презентации с общей схемой исследования функции и построения графиков.

Приложение №1 (слайды 32-33)

Решение задач двумя командами на общее исследование функции и построение графиков.

Вся группа делится на две команды. Жюри назначается из студентов - второкурсников. Каждая команда получает карточку с заданием функции, которую надо исследовать и построить график. Один пункт из «Общей схемы исследования функции и построения графиков» выполняется одним обучающимся. Члены жюри оценивают правильность выполнения отдельных пунктов исследования функции и построение графиков.

На экране появляется страничка презентации с условиями задач для исследования функции и построения графиков.

Карточки с заданиями для обеих команд:

Обучающиеся - члены жюри занимают свои места.

Члены обеих команд по одному выходят к доске, которая разделена пополам, и письменно дают ответ на один из пунктов общей схемы исследования функции.

Члены жюри оценивают правильность выполнения отдельных пунктов исследования функции и построение графиков.

ОК
3, 4, 5, 6, 8

Первая команда

Вторая команда

Приложение № 1 (слайд 34)

Слайд

Применение (закрепление, развитие, углубление) усвоенных знаний.

35 мин

Организация самоконтроля.

Насколько хорошо Вы усвоили

тему занятия, покажет практическая работа

Для закрепления изученного

сегодня материала вам предлагается выполнить практическую работу:

Тема: Применение производной к исследованию функции и

построению графиков.

Цель: Научиться вычислять производные элементарных функций, комбинаций элементарных функций; проводить полное исследование функции и строить графики.

Обучающиеся выполняют практическую работу на отдельных листках.

Самоконтроль правильности решения задачи.

Самокоррекция.

Самооценка.

Саморегуляция.

По окончании выполнения работы сдают преподавателю на проверку.

ОК
3, 4, 5, 6, 8

Результат работы сдать преподавателю на проверку.

На выполнение работы отводится 35 минут.

В том случае, если вы справитесь с заданием раньше этого времени, можете приступить к выполнению домашнего задания.

Вы можете приступить к работе.

Приложение № 2

(Текст практической работы)

Выдача домашнего задания.

5 мин.

Обеспечение понимания цели домашнего задания.

Запишите, пожалуйста, домашнее задание.

Обеспечение понимания содержания и способов выполнения домашнего задания.

Дома вам необходимо будет выполнить в тетрадях исследование следующих функций и

Обучающиеся записывают домашнее задание.

Самоосмысление способов выполнения домашнего задания

ОК 6

построение их графиков:

Первая команда

1)

2)

Вторая команда

1)

2)

Приложение № 1 (слайд 35)

Заключи-тельная часть

Подведение итогов урока
5 мин

Подведение итогов урока:

• проверка правильности выполнения задания, мнение членов жюри;

• проверка выполнения целей урока;

• продуктивность, степень активности студентов.

Члены жюри высказывают свое мнение по оцениванию правильности выполнения отдельных пунктов исследования функции и построение графиков.

ОК 6

Анализ и оценка успешности достижения целей занятия.

Приложение № 1 (слайд 36-39)

На данном этапе урока производится оценивание студентов преподавателем с мотивацией выставления данных оценок.

Продуктивность познавательной деятельности студентов измеряется сформированностью компетенций:

• познавательных (применение различных приемов и техники учения, концентрироваться на учебе, самостоятельно обрабатывать информацию, структурировать информацию, переносить освоенные способы учения в новые ситуации, находить источники информации);

• операциональных (обобщение результатов, выявление ошибок, использование в работе полученных ранее результатов, определение порядка работы, умение противостоять неуверенности и неопределенности, умение делать

заключительные выводы);

• специальные компетенции (применять знания и умения на практике, понимать взаимосвязь технологических элементов, планировать методы решения проблем, осуществлять самоконтроль, оценивать результаты работы, умение использовать новые технологии информации).

За работу на занятии вы получите следующие оценки:

• за презентации (свою оценку вы узнали после демонстрации презентации);

• за выполнение пунктов исследования функции и построения графиков (оценки объявляются после высказываний мнения жюри);

• за выполнение практической работы (оценки я объявлю после проверки на следующем занятии).

На этом наш урок закончен. Спасибо за работу. До свидания.

Приложение № 1 (слайд 40)

Примечание: Информацию по данному занятию можно увидеть в портале колледжа АСУ ProCollege по адресу: is.gouchut.ru/course/view.php?id=270 Занятие № 23

Приложение 2

Практическая работа

Тема: Применение производной к исследованию функции и построению графиков.

Цель: Научиться вычислять производные элементарных функций, комбинаций элементарных функций, сложной функции; проводить полное исследование функции и строить графики.

Вариант № 1

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 2

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 3

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 4

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 5

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 6

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 7

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 8

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 9

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 10

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 11

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 12

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 13

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 14

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 15

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 16

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 17

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 18

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 19

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 20

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 21

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 22

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 23

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 24

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 25

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 26

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 27

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 28

Исследовать функцию и построить ее график:

.Вариант № 29

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 30

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 31

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 32

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 33

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 34

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 35

Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант № 36

Исследовать функцию и построить ее график:

Список использованной литературы:

Основная

1. Алгебра и начало анализа.(По редакцией Г.Н. Яковлева).-М., Наука,1987.

2. Н.В. Богомолов. Практические задания по математике. -М.,В.ш.,2005.

3. Алгебра и начало анализа (Под редакцией А.Н. Колмогорова). -М., Просвещение, 2006.

4. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. Математика. - М., Дрофа, 2005.

5. Высшая математика для экономистов (под редакцией Н.Ш. Кремера). - М., Юнити, 2006.

6. О.Н. Афанасьева и др. Сборник задач по математике. - М., Наука, 2006.

Дополнительная

1. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных заведений. М.: Академия, 2003.

2. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике .- М.: Наука, 2006.