Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Борковская средняя общеобразовательная школа

Новгородского района

Программа

элективного курса

«Рациональные приемы устного счета»

для учащихся 5-9 классов

Программу подготовил: учитель математики

высшей категории

Степанова Надежда Петровна

Великий Новгород

2014 г

Объяснительная записка

В настоящий момент времени школьная математика призвана обеспечить не только прочное и осознанное овладение учащимися математических знаний и умений, нужных в повседневной жизни и работе каждого члена современного общества, достаточных как для изучения в школе других наук, так и для продолжения образования поле школы, но, и призвана удовлетворять новым запросам. Математические расчеты, основанные на использовании алгоритмов основных математических действий, являются составной частью трудовой деятельности рабочего, инженера, экономиста, ученого и т. д.

Необходимо подчеркнуть роль вычислительной подготовки учащихся в системе общего образования. Ведь вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение. Является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. Кроме того, вычисления активизируют память учащихся, их внимание, стремление к рациональной организации деятельности и прочие качества, оказывающие существенное влияние на развитие учащихся.

Вычислительная культура формируется на всех этапах изучения курса математики, но основа ее закладывается впервые 5- 6 лет обучения. В этот период школьники обучаются умению осознанно использовать законы математических действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень). В последующие годы, полученные умения и навыки только совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики и других предметов.

Эти умения можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления. Но как показывает практика, вычислительные умения у многих учащихся к моменту окончания школы сформированы недостаточно.

Основные причины низкого уровня вычислительных умений заключаются в следующем:

1. Результат вычислений зависит, прежде всего, от умений выполнять арифметические действия. В начальной школе у учащихся формируется умение производить действия с многозначными числами. В дальнейшем обучении учитель должен следить за тем, чтобы у учащихся закреплялись навыки в действиях с натуральными числами и умения в рациональной организации работы, связанной с вычислениями. Однако не всегда учитель обращает внимание на систематическое решение упражнений в течение всего учебного года на все приемы вычислений. Ссылаясь на отсутствие времени. Очень часто мы сводим эту работу к эпизодическим заданиям на уроках и дома, при этом основная тяжесть повторения ложится на домашнюю работу школьника без должной последующей проверки на уроке, занижая роль устных вычислений.

Владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их. Наличие у учащихся навыков устного счета влияет на степень отработки у них рациональных и безошибочных вычислительных умений.

2. Не всегда используются возможности учебного материала на уроке для дальнейшего совершенствования вычислительных навыков. На некоторых уроках в упражнениях комбинированного характера, выполнив алгебраические преобразования и столкнувшись с затруднениями учащихся при выполнении вычислений, учитель предлагает закончить их дома. Из за отсутствия должного внимания к полученному числовому значению при решении задачи часто упускается возможность интерпретации решения. Для выработки у учащихся вычислительных умений и навыков требуется систематическая организация разнообразных видов работы, связанных с вычислениями. Учитель не должен забывать о том, что владение вычислительными умениями и навыками имеет огромное значение для усвоения, изучаемого материала. Правильно организованная вычислительная работа учащихся позволяет воспитывать у них ценные трудовые качества: - ответственное отношение к своей работе; - умение обнаруживать и исправлять допущенные ошибки; - аккуратное исполнение задания; - творческое отношение к труду и т д. Практика работы школы показывает, что без прочных умений и навыков в области вычислений изучение математики усложняется, так как ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмысление хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с расчетами.

3. Использование в практике калькулятора, тоже сыграло свою роль в снижении вычислительной культуры учащихся.

4. Еще одна причина низкого уровня математической культуры учащихся заключается в том, что больше времени педагог начинает отводить тренингу, «натаскиванию», механическому выполнению стандартных приемов. Способствуют пути «меньшего» сопротивления и свобода выбора учителем базового учебника, причем бывает ситуация, когда проучив детей год по учебнику одного авторского коллектива, в следующем году перейти на учебник другого авторского коллектива. Не следствием ли «хаотичного» использования учебников разных авторов являются существенные пробелы в знаниях многих учащихся?

5. Видя затруднения учащихся в счете, учителя спешат снова обратиться к орехам, копейкам чего-то материального. Но это, как доказано не помогает, а тормозит развитие ребенка. В среднем звене ученики должны оперировать с числами, как таковыми. Работу с числами можно сделать увлекательной для учащихся 5-7 классов. В этом возрасте им все еще интересно. Они записываются во множество кружков, секций и т. д. Резко возросшее любопытство надо направить на то, что находится у них под рукой, а под рукой у них самый знакомый и доступный исследовательский материал - натуральные числа.

Актуальность данного курса обусловлена тем, что в повседневной жизни, при изучении программного материала в школе, а также при выполнении заданий ОГЭ и ЕГЭ нужны навыки выполнения вычислений и чаще устные, чем письменные. Но не следует забывать о том, что вычислительные умения, а в особенности навыки, без систематического обращения к ним ослабевают. А поэтому, чтобы время и усилия учителя и учащихся не были затрачены впустую, чтобы вычислительные умения не становились препятствием к формированию знаний и умений, необходимо чтобы учащиеся приобретали опыт рационального выполнения вычислений.

Известно, что выигрыш в вычислительной работе получается за счет применения эффективных приемов счета. Важно научить ученика (осознанно или неосознанно) применять известные эвристические приемы. В этом и заключается цель данного курса.

Целью курса является создание условий для формирования и развития у обучающихся:

• интеллектуальных и практических умений, позволяющих исследовать и находить решение поставленной проблемы;

• интереса к изучению математики;

• умения самостоятельно приобретать и применять знания;

• творческих способностей, умения работать в группе, вести дискуссию, отстаивать свою точку зрения.

В процессе обучения учащиеся приобретают следующие конкретные умения:

• выдвигать гипотезы и организовывать деятельность для их решения;

• делать выводы;

• обсуждать результаты исследования, участвовать в дискуссии.

Перечисленные умения формируются на основе следующих знаний:

• цикл познания в естественных науках: факты, гипотеза, эксперимент, следствия;

• роль эксперимента в познании;

• соотношение теории и эксперимента в познании;

• индуктивный вывод, его структура.

Содержание курса

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел - 2 ч

1. Определение суммы двух чисел

увеличением одного слагаемого на несколько единиц и вычитанием

из суммы того же количества единиц.

2. Определение суммы двух чисел увеличением одного слагаемого на несколько единиц и уменьшением другого слагаемого настолько же единиц.

3. Сложение столбцами.

4. Вычисление удвоенного меньшего или удвоенного большего числа по сумме и разности этих чисел.

Способы быстрого умножения и деления -10 ч

1. Применение распределительного закона умножения.

2. Метод Ферроля для умножения двузначных чисел.

3. Умножение чисел с одинаковым числом десятков, а суммой единиц, равной 10.

4. Умножение двузначных чисел, сумма единиц которых равна 10.

5. Умножение числа на 12.

6. Умножение числа на 11, на 111,на число вида аа….а.

7. Умножение числа, записанного одними девятками, на число, имеющее то же количество цифр, что и множитель с девятками.

8. Умножение двузначного числа на 37.

9. Возведение в квадрат любого двузначного числа больше 25.

10. Умножение числа на 5, 50, 25, 250,125,175, 155.

11. Умножение числа на 9, 99, 999.

12. Деление числа на 5, 25, 250, 125.

Возведение в степень и извлечение корней - 6 ч

• Возведение в квадрат чисел число единиц, в которых равно 5.

• Возведение в квадрат двузначного числа.

• Представление чисел в виде суммы точных квадратов.

• Извлечение корня третьей степени.

• Пятая степень двузначного числа.

• Извлечение квадратного корня (Вавилонский метод).

Методы обучения:

Эвристические - усвоение знаний и умений путем рассуждений, требующих догадки, поиска, находчивости, что предусматривается в вопросах и заданиях;

Исследовательские - добывание знаний и умений путем проведения наблюдений и исследований;

Методы стимулирования и мотивации деятельности;

Методы контроля и самоконтроля.

Литература:

- С.С. Минаева Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике.

Москва « Просвещение» 1983г.

- Повышение вычислительной культуры учащихся ( пособие для учителя).

Москва « Просвещение» 1981г П.Б.Ройтман, С.С.Минаева и др.

- За страницами учебника математики

- Бугулов Е.А. Приемы быстрого счета: Пособие для учителя. Орджоникидзе:

Северо-осетинское кн. изд-во, 1964.

- Свечников А.А., Сорокин П.И. Числа, фигуры и задачи во внеклассной работе.

М.: Просвещение, 1977.

- Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Наука, 1974.

- Швецов К.И., Бевз Г.П. Справочник по элементарной математике:

Арифметика, алгебра. Киев: Наукова думка, 1965.

- журнал «Математика в школе» № 6 за 1999 год, № 1 за 1992 год; №9 за 2004 год.

- С.А. Рачинский 1001 задача для умственного счета. 3-е изд.- Спб., 1899.

- Баврин И.И

Сельский учитель С.А. Рачинский и его задачи для умственного счета.- М.: Физматлит, 2003.

- С.А. Рачинский Арифметические забавы // Народное образование.- 1900.-

Кн. 2.

- Фаермак Д.С. Задача пришла с картины.- М.: Наука, 1974.

ПРИЕМЫ БЫСТРЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Есть люди, умеющие невероятно быстро вычислять в уме. Они могут мгновенно умножить 21734 на 543, запомнить идущие подряд 1000 цифр, знают наизусть таблицу умножения чисел от 1 до 100, сразу отвечают, на какой день недели придется 21 марта 4871 года, и вообще делают, то что обыкновенному человеку также трудно, как поднять штангу, на которой повисли несколько человек (а ведь цирковые артисты делают это!). Но некоторыми приемами, ускоряющими вычисления, могут овладеть и самые обычные люди. Вот с такими приемами я и хочу Вас познакомить.

Многие годы я подбираю и использую в своей работе различные способы быстрых вычислений. Они развивают память учащихся, быстроту их реакции, воспитывают умение сосредоточиться. Навыки устных вычислений являются важным элементом общего и математического развития.

В наше время бытует мнение, что вычислительная работа должна стать уделом компьютеров, а человек может отойти от этого рутинного занятия. При этом мы не замечаем, что, все более и более освобождая ученика от вычислений, фактически освобождаем ученика от умственного развития. В "большую математику" нас благословляет именно арифметика. Она поставляет нам задачи, доступные для детского возраста, но одновременно такие, на которых оттачивается человеческий разум. (Ж №1 1992 г стр 22)

Если учитель понимает это, то он непременно находит и нужное время в уплотненном учебном плане. Я, например, на изучение способов быстрого счета специальных уроков не отвожу, но на каждом уроке выделяю по 5 минут на целенаправленный устный счет. Использую любую возможность для тренировки в устном счете.

СЛОЖЕНИЕ

Хочу напомнить несколько способов быстрого сложения и вычитания.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц. Пример: 364 +592= 364+ (592 +8)-8= 364 +600 -8= 956.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. Пример: 997+856=(997+3)+(856-3)= 1000+853=1853.

Если вычитаемое и уменьшаемое увеличить на одинаковое количество единиц, то разность не изменится. Пример: 1351-994=(1351+6)-(994+6)= 1357-1000=357.

Если от суммы двух чисел вычесть разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, т. е.

( а+в)-(а-в)=2в.Пример: (57+23)-(57-23)=46.

Если к сумме двух чисел прибавить их разность , то в результате получится удвоенное большее число, т. е. ( а+ в)+(а-в)=2а. Пример:(74+26)+(74-26)=148.

Сложение столбцами. Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы. Примеры:

Способы быстрого умножения

натуральных чисел

Самый распространенный метод основан на применении распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности. Примеры:

8  318= 8  (310+8)= 2480 + 64=2544;

7  196= 7 (200 - 4)=1400 - 28=1372.

Следующий способ основан на применении приема разложения на множители.

751418 = 2537292= 25 2 2 37 9 = 100219 =100189 =18900

Каждое число раскладываем на множители, а потом группируем множители, используя переместительный закон умножения так, чтобы легче было выполнить вычисления.

Но быстрее всего умножать числа при помощи метода Ферроля.

МЕТОД ФЕРРОЛЯ

Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Этот способ умножения следует из тождества (10а+в)(10с+d)= 100ac+ 10(ad+dc)+bd.

Пример.

а) 8  7= 56, пишем 6, помним 5;

37  48= 1776

б) 8  3 + 4  7 + 5=57, пишем 7, помним 5;

в) 4  3+ 5=17, пишем 17

Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20.

Пример.

а) 2 4=8;

12  14=168.

б) 1  2 + 1  4=6;

Умножаем так:

в) 1  1=1.

Можно умножать и трехзначное число на двузначное.

Пример

а) 3  5=15, пишем 5, помним 1;

125  23=2875

б) (3  2 +2  5)+1=17, пишем 7, помним 1;

в) (3  1 +2  2) +1=8, пишем 8;

г) 2  1=2, пишем 2.

Способ умножения двузначных чисел, сумма единиц которых равна 10.

Пусть даны два двузначных числа M и K, у которых сумма единиц равна 10, т. е. M=10m+n, K=10a+k, где 1≤m≤9, 1≤a≤9, n+k=10 и m,n,a,k - целые неотрицательные числа:

M=10m+n, K=10a+10-n/

Составим их произведение.

M  K=(10m+n) (10a+10-n)=100am+100m-10mn+10an+10n-n²=m(a+1) 100+n (10a+10-n0-10mn=(10m) (10 (a+1)+n (K-10m).

Описать этот способ довольно затруднительно. Между тем существо дела постигается довольно легко. Рассмотрим на примерах.

17  23=(101) (10(2+1))+7(23-10))=1030+713=391;

3367=(103) (10(6+1))+3(67-30)=3070+337=2100+111=2211;

4357=(104) (10(5+1))+3(57-40)=4060+317=2400+51=2451;

8674=(107) (10(8+1))+4(86-710)=7090+416=6364.

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10.

Число десятков любого множителя умножить на число, которое на 1 больше, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату приписать справа второй. Этот способ основан на тождестве (10а+в)(10а+с)= 100a(а+1)+bс, где в+с=10.

13  17=221

а) 1  (1+1)=2, пишем 2;

б) 3  7=21, приписываем справа 21.

204  206=42024

а) 20  (20+1)=420, пишем 420;

б) 6  4=24, приписываем 24.

УМНОЖЕНИЕ НА 37

Умножение однозначного или двузначного числа на 37 основано на равенствах 2  37=74 и 3  37=111. Пользуясь законами дистрибутивности и этими равенствами, можно упрощать умножения во всех упомянутых случаях. Примеры:

1. 6  37=37  3  2=222

2. 8  37= (6+2)  37=222+74=296

3. 45  37=(48 - 3)  37=12  4  37 -3  37=16  3  37 - 3  37=

=3  37(16 - 1)=111  15=1665.

УМНОЖЕНИЕ НА 11

Чтобы умножить двузначное число на 11 достаточно сложить цифры этого числа и полученный результат записать между этими цифрами. Например 23  11=? Сложим 2+3=5. Это число надо поставить между цифрами 2 и 3. Получаем ответ 23  11 =253. Примеры: 41  11 =451, так как 4+1=5 ; 52  11=572, так как 5+2=7. Конечно при сложении может получиться двузначное число, начинающееся с 1. Тогда эту единицу надо прибавить к цифре десятков, а в середину вставлять только цифру единиц суммы. Например, при умножении 75 на 11 складываем 7 и 5, получаем 12, 1 прибавляем к 7, а 2 вставляем между 8 и 5. Получаем 75  11 = 825. Например, 84  11=924. Складываем 8+4=12. Единицу прибавляем к 8, а 2 вставляем между цифрами 8 и 4. Через несколько минут тренировки для вас не составит труда умножить любое двузначное число на 11. Этот способ умножения объясняется следующим равенством: (10а+в)·11=110а+11в=100а+10(а+в)+в.

Умножим 123  11=? Записываем последнюю цифру этого числа 3. Перед ней ставим сумму цифр стоящих на месте единиц и десятков 2+3=5. Получается число ¤¤53. Перед цифрой 5 надо поставить сумму цифр стоящих на месте десятков и сотен 1+2=3. Получится число ¤353. Осталось поставить первую цифру в ответе. Это будет цифра, стоящая на месте сотен исходного числа. В нашем примере это 1. Получаем ответ 123  11= 1353. Пример: 324  11=3564. Как его получить, не выполняя умножение. Последнюю цифру числа 324 переписываем. Получается число ¤¤¤4. Перед четверкой ставим сумму цифр стоящих на месте единиц и десятков 2+4=6. Получаем число ¤¤64. Перед цифрой 6 поставим сумму цифр 3+2=5. Получаем число ¤564. На первом месте надо поставить цифру 3 стоящую в данном числе на месте сотен. Получаем окончательный ответ 3564. Когда в результате сложения чисел числа получается двузначное число тогда надо поступить следующим образом. Например, 376 х 11=4136. Как можно получить этот результат? Записываем последнюю цифру данного числа ¤¤¤6. Затем складываем 7+6=13. Цифру единиц 3 записываем перед 6, а цифру десятков 1 запоминаем. Получается ¤¤36. Далее складываем цифры стоящие на месте десятков и сотен 3+7=10 и прибавляем ту единицу, которую запоминали. Получаем 11. Цифру, стоящую на месте единиц в полученном результате 1 надо поставить в ответе перед цифрой 3, а цифру, стоящую на месте десятков запоминаем. Получаем число ¤136. Первой цифрой в ответе будет сумма первой цифры данного числа 3 и 1, которую запоминали. Таким образом, получается ответ 376  11=4136. Умножим 766  11=? Записываем число ¤¤¤6. Складываем 6+6=12. Записываем 2, а цифру 1 запоминаем. Получаем ¤¤26. Складываем 7+6 и прибавляем 1, получаем 14. Цифру 4 записываем, а 1 запоминаем. Получается число ¤426. На первом месте в ответе будет стоять сумма числа 7 и 1, которую запоминали. Следовательно, 766  11=8426.

УМНОЖЕНИЕ НА 5, 25, 125

Это умножение можно заменить делением на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. Примеры:

1. 465=46:210=230;

2. 4825=48:4100=1200;

3. 32125=32:81000=4000.

Если множитель не делится нацело на 2, 4, 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100, 1000, а остаток на 5, 25 или 125. Примеры:

1. 535=2610+15=256 (53:2=26 и 1 в остатке);

2. 4325=10100+325=1075 (43:4=10 и 3 в остатке);

3. 66125=81000+2125=8250 (66:8=8 и 2 в остатке).

УМНОЖЕНИЕ НА 9, 99 и 999

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель. Примеры:

1. 2869=2860-286=2574;

2. 2399=2300-23=2277;

3. 18999=18000-18=17982.

СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ ЧИСЛА, ЗАПИСАННОГО ТОЛЬКО ОДНИМИ ДЕВЯТКАМИ, НА ЧИСЛО, ИМЕЮЩЕЕ С НИМ ОДИНАКОВОЕ КОЛИЧЕСТВО ЦИФР

Надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать справа другое число, все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9.

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

89=(8-1)(9-7)= 72;

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

4699=(46-1)(99-45)=4554;

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

137999=(137-1)(999-136)=136863;

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

35629999=(3562-1)(9999-3561)=35616438.

Наличие такого способа усматривается из следующего приема решения приведенных примеров:

89=8(10-1)=80-8=72, 4699=46(100-1)=4600-46=4554 и т. д. Таким же образом устанавливается справедливость указанного способа и в общем случае.

№6 за1999 год стр.12

Правило умножения числа на 12

Чтобы устно умножить число на 12, надо поочередно удвоить каждую его цифру и прибавить соседа справа в исходном числе. 13212=?

1шаг: Перепишем число, добавив нули, слева и справа 01320

2 шаг: Удвоим каждую цифру 02640

3 шаг: К каждой полученной цифре прибавим соседа справа в исходном числе 0132.

Получаем: 02+1=1 (число тысяч в ответе)

12+3=5 (число сотен в ответе)

3 2+2=8 (число десятков в ответе)

2 2+0=4 (число единиц в ответе)

Ответ: 13212=1584

Пример: 45812=5496

04580

02+4=4; 42+5=13; 52+8=18; 82+0=16. Теперь сложим 4

13

+ 18

16

5496

ДЕЛЕНИЕ НА 5, 25,125

Деление на 5, 25, 125 можно заменить умножением соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000. Примеры:

1. 220:5=2202:10=44

2. 1300:25=13004:100=52

3. 9250:125=92508:1000=74.

КВАДРАТ ЧИСЛА

Давайте научимся возводить в квадрат числа оканчивающиеся цифрой 5. Для этого надо умножить цифру десятков на цифру, следующую за ней в натуральном ряду. А в конце, полученного ответа, дописать число 25. Пример:

1. 75 75= 5625 (так как 78=56);

2. 105  105=11025 (так как 10  11=110);

3. 205  205=42025 (так как 20  21=420).

Если начать вести счет, как в средние века, с нумерации, то седьмая операция над числами после четырех арифметических действий и возведения в степень - это извлечение корня. От остальных шести она отличается одной неприятной особенностью - не всегда выполняется.

КВАДРАТ ЛЮБОГО ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА ПРЕВЫШАЮЩЕГО 25

Этот способ основан на запоминании квадратов всех чисел от 1 до 25. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, превышающего 25, надо разность между этими числами и числом 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50.

Пример: 37²=12100+13²=1200+169=1369

58²=33100+8²=3300+64=3364

93²=68100+43²=6800+18100+7²=8649.

Установим теперь это предложение в общем случае. Пусть дано двузначное число М=10m+n. Проведем с ним рекомендованные операции:

(M-25) 100+(50-M)²=100M-2500+2500-100M+M²=M².

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ТРЕТЕЙ СТЕПЕНИ

или

ОТГАДЫВАНИЕ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА ПО ЕГО КУБУ

Вы хотите поразить окружающих умением, мгновенно отгадать число по его кубу? Тогда смотрите, как этому можно научиться.

Для этого, правда, придется выучить наизусть кубы чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

число

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

куб числа

0

1

8

27

64

125

216

343

512

729

Заметим, что кубы чисел 0, 1, 4, 5, 6, 9 оканчиваются той же цифрой (например, куб числа 4 равен 64, а куб числа 9 равен 729), а числа 2 и 8, 3 и 7 образуют пары, в которых куб одной цифры оканчивается другой. Например, пусть возвели в куб двузначное число и получили ответ 300763. Услышав это значение, замечаем, что число 300 лежит между числами 216 и 343, то есть между кубом чисел 6 и 7, а потому и цифра десятков в исходном числе будет равна 6. Последняя цифра ответа 3 получается при возведении в куб числа 7. Значит, цифра единиц равна 7. Значит было задумано число 67. Рассмотрим еще один пример. Куб двузначного числа равен 39304. Число 39 расположено между числами 27 и 64 (смотри таблицу кубов чисел), следовательно, цифра десятков равна 3. Так как последняя цифра ответа равна 4, то это означает, что цифра единиц исходного числа равна тоже 4. Получаем ответ. В куб было возведено число 34. После небольшой тренировки отгадывание происходит мгновенно. Вам понравилось? Тогда читайте дальше.

ПЯТАЯ СТЕПЕНЬ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА

Более впечатляющим является отгадывание двузначного числа по его пятой степени (или извлечение корня пятой степени, при условии, что в ответе должно получиться целое число). Ведь чтобы возвести число в пятую степень, придется четыре раза делать умножение, а в ответе может получиться пятизначное число! А отгадка основана на том, что при возведении чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в пятую степень получается число, оканчивающееся той же цифрой, которую возводили в степень.

число

2

3

4

5

6

7

8

9

пятая степень числа

32

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

Кроме этого, надо запомнить следующую таблицу, показывающую, с чего начинаются пятые степени следующих чисел:

10

100 тыс.

20

3 млн.

30

24 млн.

40

100 млн.

50

300 млн.

60

777 млн.

70

1 млрд. 500 млн.

80

3 млрд.

90

6 млрд.

100

10 млрд.

Поэтому, услышав, что при возведении двузначного числа в пятую степень получили 8 587 340 257, сразу соображаем, что 8 миллиардов лежат между 6 миллиардами и 10 миллиардами, а потому цифра десятков равна 9. А посмотрев на последнюю цифру в ответе, понимаем, что той же цифрой кончается и двузначное число. Значит, возводили в пятую степень число 97.

За страницами учебника математики 10-11 стр.118

О ЗНАКЕ КОРНЯ

Когда мы начинаем изучать тему «Арифметический квадратный корень» я обязательно знакомлю ребят с историей его возникновения и различными способами извлечения квадратного корня, известными с давних времен. Начиная с ХIII века итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R_х. В XV веке Н.Шюке писал R²12 вместо . Современный знак корня произошел от обозначения, которое применяли немецкие математики XV-XVI веков, называвшие алгебру «Косс», а алгебраистов «косистами». Некоторые немецкие косисты XV века обозначали квадратный корень точкой впереди числа или выражения; корни высших степеней - несколькими точками. Из ставившихся перед подрадикальными числами точек, перешедших в скорописи в черточки, вероятно, возник знак корня V (без верхней черточки). Так V4 означает . Этот знак V встречается впервые в немецкой алгебре «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых «Косс», изданной в 1525 году в Страсбурге. Автором этой книги был уроженец Чехии, учитель математики в Вене, Кшитоф Рудольф из Явора. Книга пользовалась успехом и переиздавалась на протяжении XVI века и вплоть до 1615 года. Знаком корня пользовались в XVI веке М.Штифель, С.Стевин VO с цифрой 2 в круге вместо и с цифрой 3 в круге вместо . В 1626 году нидерландский математик А.Ширар ввел близкое к современному обозначение корня V. Если над этим знаком стояла цифра 2, то это означало корень квадратный, если 3- кубический. Это обозначение стало вытеснять знак R_х. Однако долгое время писали V а+в с горизонтальной чертой над суммой. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня . Этот знак вошел во всеобщее употребление лишь в начале XVIII века.

ВАВИЛОНСКИЙ МЕТОД ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ

Потребность в действиях возведения в степень и извлечении корня была вызвана практической необходимостью. С давних времен люди решали задачу: Найти длину стороны квадрата, если известна его площадь. Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли таблицы квадратов чисел. При этом они умели находить приблизительные значения квадратного корня из любого целого числа. Вавилонский метод извлечения квадратного корня можно проиллюстрировать на примере, изложенном в одной из найденных при раскопках клинописных табличек. Пример: Найти

Для решения задачи данное число надо разложить на сумму 1700=1600+100=40²+100. Первое из слагаемых должно являться полным квадратом, ближайшим к данному числу. Затем указывается, что

Правило применявшееся вавилонянами, можно сформулировать так: Чтобы извлечь квадратный корень из числа с, необходимо это число представить в виде суммы а²+в (в- должно быть достаточно малым в сравнении с а²) и вычисляют по формуле Вавилонский метод извлечения квадратного корня был заимствован греками.

Задача Герона Александрийского

О КУБИЧЕСКОМ КОРНЕ

Хозяйственные потребности издавна заставляли людей вычислять площади фигур и объемы различных тел. Одной из древних задач, вероятно, была задача: Какой должна быть длина ребра куба для того, чтобы его объем был равен а? Задача ведет к извлечению кубического корня из а. Среди знаменитых задач, которыми занимались древнегреческие ученые еще в V - IV веке до нашей эры, была задача об «удвоении куба»: Найти ребро куба, объем которого в два раза больше объема данного куба. Если обозначить через а длину ребра данного куба, а через х длину ребра искомого куба, то придем к уравнению: х³=2а³ . Таким образом, - один из древнейших кубических корней. Приемы извлечения кубического и квадратного корня с помощью счетной доски и счетных палочек содержатся в китайском трактате «Математика в девяти книгах». Герон Александрийский, много сделавший для развития вычислительной и прикладной математики, пользовался для приближенного извлечения кубических корней следующей схемой:

, где , х и у - натуральные ближайшие к . Пример: Вычислить

ПОДУМАЙ САМ

Почему получается в ответе число, которое отличается от одного из данных тем, что оно раздвигается, а на свободные места надо записать 0?

11191=10101; 12681=10206; 28573=20805

А вам известно, что? 40=2³5 или 40=3⁰+3¹+3²+3³

365=573

365= 5(8⁰+8¹+8²)

365=10²+11²+12²

365=13²+14²

365= (17²+21²):2