- Преподавателю
- Математика
- Урок на тему Производная и ее применение
Урок на тему Производная и ее применение
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Ибрагимова А.Р. |
Дата | 26.04.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Тема урока: «Производная и ее применение»
Ибрагимова Анифе Ришатовна
ГБПОУ РК « Калиновский техникум механизации,
сельского хозяйства и сферы обслуживания» ,
преподаватель математики.
Джанкойский район, с. Калиновка ул. 40 лет Победы 1
Кредо:
«Если мы будем учить сегодня так, как мы учили вчера, мы украдем у наших студентов завтра» (Джон Дьюи)
Основная задача:
Дать глубокие прочные знания. Кроме передачи суммы знаний, надо развивать личность студента на основе освоения способов деятельности.
Технология: развивающее обучение
Краткая характеристика особенностей группы, в которой реализуется данный урок.
Студенты второго курса Калиновского ПТАУ, обучающиеся по специальности «Электромонтер устройств (СЦБ)» с достаточным уровнем мотивации к предмету. Они грамотно используют таблицу производных основных функций и применяют производную в решении прикладных задач. Студенты, наиболее успешные в области изучения точных наук, образуют группу лидеров, помогающих однокурсникам. В общении друг с другом студенты доброжелательны. Поэтому в проведении этого урока оправдана лекционно-консультативная деятельность студентов, имеющих высокий уровень мастерства в решении прикладных задач.
Ресурсное обеспечение рабочей программы:
-
Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа, учебник для общеобразовательных организаций,11 класс,- М: Просвещение, 2014.
-
Садовничий Ю.В. Математика. Тематическая подготовка к ЕГЭ,-М.:
Илекса, 2011.
-
Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике. 7-11 кл.- М.: Илекса,2012.
-
Яковлева Г.Н. Алгебра и начала анализа.М.1981
В учебном плане данный урок находится после изучения тем «Функции, их свойства и графики» и «Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции» перед изучением тем «Первообразная» и «Интеграл».
Оборудование, используемое на уроке: карточки с задачами к уроку, проектор, презентации с тестовыми заданиями и решениями некоторых задач урока.
Тема «Производная и ее применение»
Тип урока: урок комплексного применения знаний в решении прикладных задач.
Цели урока:
Образовательные:
-сформировать понятие о производной;
-изучить правила нахождения производных;
-решать прикладные задачи с помощью производной.
Развивающие:
-обеспечить повторение изученного материала, наиболее общих и существенных понятий, теорем и алгоритмов;
-развить умения знаний в конкретной ситуации;
-развить навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности;
-развить умения сравнивать, обобщать, правильно сформулировать и излагать мысли;
-обеспечить проверку усвоения изученного материала;
-развить математическую компетентность студентов.
Воспитательные:
-создать условия для осознания необходимости самостоятельных действий при решении проблем;
-обучать объективной оценке своих возможностей и успехов;
-воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;
-способствовать развитие навыков устной речи, умения грамотно вести диалог и аргументировать свои действия;
-воспитывать культуру общения, умения работать в паре, взаимопомощи;
-способствовать осознанию исторической ценности изучаемого материала.
Интеллектуально-развивающие:
-создать условия для проявлений творческого подхода к учебным задачам, выдвижению гипотез, постановке проблем и поиску путей их решения;
-обучать методам научного познания- анализу, сравнению, обобщению и систематизации учебного материала.
Методы проведения:
- самостоятельная работа учащихся;
- деловая деятельность группы учащихся, имеющих высокий уровень мастерства в решении прикладных задач с помощью производной.
Форма проведения урока: деловая игра.
Ключевые компетенции:
Информационно-познавательные: умение работать с конспектом, умение слушать исследование, представляемое однокурсником, выбирать в исследовании главное, делать выводы и обобщать.
Коммуникативные: умение вести диалог, доказывать свою точку зрения.
Предметные: умение решать задачи с помощью производной; использовать правила нахождения производных.
К моменту проведения урока студенты должны уметь:
-составлять алгоритм нахождения критических точек функции;
-находить промежутки возрастания(убывания) функции по алгоритму;
План урока:
1.Организация начала занятия.
2.Вступление. Постановка цели и мотивация учебной деятельности студентов. Инструктаж по организации работы на уроке.
3.Проверка домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.
4.Повторение и анализ основных теоретических фактов, ознакомление с историческими событиями, связанными с изучаемой темой.
5.Проверка знания студентами основных теоретических фактов. Применение знаний в стандартных или частично измененных ситуациях. Задания по карточкам.
6.Самостоятельная работа № 1( Устный тест №1)
7.Самостоятельная работа №2
8.Применение знаний при решении более сложных задач.
9.Введение нового материала. Самостоятельная работа № 3
10. Проверка знаний студентов.
11. Самостоятельная работа (тест № 4)
12. Подведения итогов.
13.Самооценка. Выставление оценок студентам.
Ход урока
-
Организационный момент.
-
Вступление. Постановка цели и мотивация учебной деятельности студентов. Инструктаж по организации работы на уроке.
Вступительное слово учителя. Запишите тему урока: Производная и ее применение.
Я надеюсь, что вы все хорошо подготовились к уроку и сможете показать, как знаете теоретический материал, посвященный данной теме, понимаете геометрический и механический смысл производной, алгоритмы исследования свойств функций с помощью производной. Я уверена, что вы продемонстрируете умение применять полученные знания при решении задач разного уровня сложности, а также навыки самоконтроля и самооценки.
Сегодня я - представитель фирмы «Алгоритм». Наша фирма специализируется на разработке и внедрении алгоритмов в различные сферы деятельности человека. На днях мы получили заказ, для выполнения которого необходимо увеличить штат сотрудников. Я предлагаю вам попробовать получить место в нашей фирме. При приеме на работу мы учитываем наличие таких личностных качеств, как компетентность, мобильность, умение находить необходимую информацию и преобразовывать ее, умение работать в паре. Подробно эти качества раскрыты в резюме, которое находится у каждого на столе, и которое вы будите заполнять по ходу встречи. (Приложение1)
А также вы можете добавить к своему рейтингу 25 баллов за следующие виды работ( у каждого на парте оценочный лист)
-устные и письменные тесты разного уровня сложности,
-ответы на теоретические вопросы,
-подготовку докладов и исторических сообщений,
-решения задач у доски,
-ответы и выполнения практических заданий на рабочих местах,
-решения дополнительных задач в свободные минуты.
-
Актуализация опорных знаний.
Проверка домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.
Ребята! На дом вы получили следующие задания, надо отыскать задачи прикладного характера, при решении которых используется производная. Один из студентов решает домашнее задание с объяснением у доски.
Задача.
Сигнальная ракета летит вертикально вверх так, что ее движение описывается законом s(t)=98t-4,9t2 (t-в секундах, s-в метрах).
Найдите скорость ракеты через 5 с движения.
Историческая справка. Повторение теоретического материала.
Один из студентов делает сообщение об истории развития дифференциального исчисления (4 б.) В это время двое студентов готовятся у доски к ответам по карточкам, содержащим вопросы теоретического содержания:
К. №1 Определение производной. Правила дифференцирования.
К.№2 Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
И один студент демонстрирует таблицу производной по тестам на наглядном пособии.
Проверка знания студентами основных теоретических фактов, умения применять их в стандартных или частично измененных ситуациях.
Итак, на предыдущем уроке мы говорили о скорости движения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости падения камня, вращения шкива и т .д. Говорили о скорости выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данном городе. Т.е о скорости мы говорили по отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. И для этого использовали понятие производной.
Изучили физические производные величины:
v (t)=x′(t)-скорость
a (t)=v′(t)-ускорение
I (t)=q′(t)-сила тока
C (t)=Q′(t)-теплоемкость
d (l)=m′(l)-линейная плотность
k (t)=l′(t)-коэффициент линейного расширения
(t)=(t) -угловая скорость
N (t)=A′(t)-мощность
-угловое ускорение
Задание № 1.(Самостоятельная работа №1). Устный тест. Для студентов демонстрируют слайд по четыре варианта ответов к ним. На каждый вопрос студенты по команде преподавателя поднимают сигнальные карточки с номерами ответов, которые по их мнению. Являются правильными. ( 5 б.) За неправильный ответ (-0,5б.) Преподаватель записывает их в оценочный лист.
Задание №2.(Самостоятельная работа №2).Письменный тест из восьми заданий в каждом из четырех разделов. Студенту надо выписать столбиком соответствующие друг другу элементы таблицы. После проверки теста, заносят их в свои оценочные листы. Для проверки демонстрируется слайд «Проверь себя». Выявляются ошибки, проводится анализ.
Поставьте знак «+» или «-» в строчках резюме, относящихся к тесту.
-
Объяснение нового материала.
Сегодня на уроке мы будем рассматривать задачи прикладного характера, связанные с вашей будущей профессией.
Задача о мгновенной величине тока. Представим себе электрическую цепь с некоторым источником тока. Обозначим через q=q(t) количества электричества ( в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Тогда q(t1 )-q(t0) есть количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t1 момента t1 . Средней силой тока за указанный промежуток времени называется число Icp=
В случае постоянного тока средняя сила тока I будет одинаковой для любых различных, но одинаковых по длительности промежутков времени. Если в цепи переменный ток, то I, будет различной для различных, но одинаковых по длительности промежутков времени. Поэтому для характеристики цепи переменного тока входят понятие мгновенной силы тока, или силы тока в данный момент времени:
Мгновенной силой тока I (t) в момент времени t называется предел (если он существует), к которому стремится средняя сила за ′промежуток времени от t до t0 ,
I cp =
Начинаем проверку ваших личных качеств. Вам предлагается выполнить самостоятельную работу.
Задание № 3
Самостоятельная работа № 3 на 6мин. (Приложение № 3)
1 Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с моментаt=0, задается формулой q=3t2+t+2. Найдите силу тока в момент времени t=3c.
(ответ: 19 А )
2.Изменение силы тока в зависимости от времени выражено уравнение I=2t2-5t.
(I- в амперах, t- в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.(ответ:35 А/с)
3.Найти силу тока I , если количество изменяется по закону Q(t)=2t2+1
электричества, проходящее через поперечное сечение проводника за 10 с.
(ответ: 40 А)
4.В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающее через проводник, задается формулой:
q=4t+2. (ответ: 0)
Для проверки демонстрируется слайд «Проверь себя». Выявляются ошибки, проводится анализ.
Поставьте знак «+» или «-» в строчках резюме.
-
Закрепление. Проверка усвоения знаний и навыков их применения студентами.
В закреплении давайте решим экономическую задачу и задачу из учебника № 5.98
Пусть х- расстояние ВР, 0,тогда КВ=2+92 ; РL=15-х. Формула нахождения времениt= , t1=, t2= ;
t(x)=+ ; Найдем наименьшее значение функции на отрезке
[0; 15].
t′(x)= - ; -=0 ; х=12;
Ответ: На расстоянии 12 км от пункта В.
Экономическая задача:
Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: П(q)=R(q)-C(q)=q2-4q+8
Решение:
П′(q)=R′(q)-C′(q)=2q-4; 2q-4=0; q=2.
При q2П′(q) прибыль убывает;
При q2П′(q) прибыль возрастает;
При q2 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы?
Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 4-х единиц продукции (p(q=4)=p(q=0)=8), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений или оборудования.
Если же фирма способна производить больше 4-х единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.
В закреплении делаю вывод.
Применение производной для решения задач требует от студентов нетрадиционного мышления. Знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной темы
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.
-
Найти производную функции f′(x).
-
Найти стационарные и критические точки, принадлежащие отрезку [a; b]
-
Вычислить значение функции y=f(x) в точках, отображенных шагом 2, и в точках а и b.
-
Сравнить все полученные значения и выбрать среди них наименьшее и наибольшее.
-
Записать ответ:
Теперь рассмотрим намного сложнее задачи. Работа по карточкам.
Самостоятельная работа № 4
1.Пусть электрическая лампочка движется с помощью блока вдоль вертикальной прямой ОВ. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости следует ее разместить, чтобы в точке А этой плоскости освещенность была наибольшей ( ОА= а) (ответ: х = )
2.Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность. (h= )
6.Итог урока. Самооценка. Выставление оценок преподавателем.
Пока группа экспертов проверяет работы студентов по подготовленным шаблонам, студенты подводят итоги, отвечая на вопросы преподавателя:
*назовите имена ученых, внесших вклад в создание и развитие дифференциального исчисления,
*с какими новыми понятиями вы познакомились в процессе изучения новой темы?
*какой новый алгоритм стал вам известен?
*задачи, какого рода, решаются с помощью производной?
Преподаватель предлагает студентам вспомнить, какие цели ставились в начале урока, и обсудить, все ли удалось выполнить.
В это время эксперты завершают работу по проверке самостоятельной работы №4.Полученные результаты фиксируются в оценочных листах., а также в резюме.
Тем, кто готов к работе в фирме, преподаватель может вручить удостоверение, а остальным советует не расстраиваться, продолжить развитие своих личностных качеств. Выставление оценок.
В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:
«Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись- радовать глаз,
Поэзия- пробуждать чувства,
Философия- удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело- совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей»
(американский математик Морис Клайн.)
-
Домашнее задание.
Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа, учебник для общеобразовательных организаций,11 класс,- М: Просвещение, 2014, № 5.96
По желанию, выполните исследовательскую работу на тему: «Применение производной»
Было ли вам трудно? Что понравилось?
Было ли интересно работать? Какие есть вопросы?
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА.
-
Тема:
Производная и ее применение.
Тип урока:
урок комплексного применения знаний в решении прикладных задач.
Цель деятельности педагога:
создать условия для осуществления рефлексивного действия, т.е. оценивать свою готовность, обнаруживать незнание, находить причины затруднений и т.п..
Планируемые результаты:
-предметные- умение решать задачи с помощью производной, использовать правила нахождения производных;
-метапредметные- формирование и развитие универсальных способностей студентов;
личностные- обеспечивание ценностной ориентации студентов.
Межпредметные связи:
связь с физикой и электротехникой.
Форма обучения:
групповая.
Образовательные ресурсы:
-сформировать понятие о производной;
-знать правила нахождения производных;
-решать прикладные задачи с помощью производной.
Основные понятия:
Скорость, ускорение, производная, касательная.
Оборудование:
Карточки с заданиями к уроку, проектор, презентации с тестовыми заданиями и решениями некоторых задач урока.
Этапы урока в соответствии с технологической картой.
Время
Этап урока
Цель:
Требования:
Рекомендации:
1-2
мин.
Мотивация
(самоопре-
деление)
мотивация к учебной деятельности, включения в учебную деятельность на личностно значимом уровне.
1)создаются условия для возникновения у студента внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу»);
2)актуализируются требования к нему со стороны учебной деятельности («надо»);
3)устанавливаются тематические рамки («могу»).
доброе пожелание, моральная поддержка, девиз, и т.д;
беседа, сообщение, самопроверка домашнего задания по готовому образцу и т.д.
5-6 мин.
Актуализация знаний и факторов затруднений.
выявление места и причины затруднения, готовность и осознание потребности к построению нового способа действия.
1)актуализация изученных способов действий, достаточных для построения нового знания, и их обобщение;
2)актуализацию соответствующих мыслительных операций и познавательных процессов;
3)мотивация студентов к проблемному учебному действию («надо»-«могу»-«хочу»), и его самостоятельное осуществление;
4)фиксация студентов индивидуальных затруднений в выполнении ими пробного учебного действия или его обоснования.
коллективные формы работы: коммуникативное взаимодействие в группах;
задания для самостоятельного выполнения;
вербальная фиксация различных вариантов решения и отсутствие изученного их обоснования.
2-3 мин.
Постановка учебной задачи.
Постановка цели действия.
сопоставление студентами действий с используемым способом (где?);
выявление и вербальное фиксирование причины затруднения (почему?);
на этой основе студенты ставят цель деятельности, предлагают вариант формулировки темы урока, который уточняется преподавателем.
коммуникативное взаимодействие, подводящий диалог;
включение эмоционального компонента: «Яркое пятно», похвала и т.п.
10-11 мин.
Открытия нового знания.
Построение проекта выхода из затруднения (цель, способ, план, средство) т.е. построение обучающимися нового способа действий и формирование способностей к его выполнению.
студенты выбирают метод решения учебной задачи- свойство, понятия, алгоритм, модель и т.д. - и на его основе строят достижения цели, выдвигают, обосновывают и проверяют гипотезы , определяются предметные действия с моделями, схемами и пр.;
новый способ действий фиксируется- вербально и знаковое;
студенты преодолевают возникшие затруднения с помощью нового способа действия. Этим процессом руководит преподаватель: на первых порах с помощью подводящего диалога, затем побуждающего, а затем и с помощью исследовательских методов.
коммуникативное взаимодействие, подводящий диалог; использование двигательной активности, материальных и материализованных моделей.
4-5 мин.
Самостоятельная работа.
Самостоятельная работа с самопроверкой и самооценкой, закрепление нового способа действий;
рефлексия достижения цели.
студенты самостоятельно выполняют задание на новый способ действий; самостоятельная проверка по алгоритму; создание ситуации успеха, допустившие ошибки выявляют их причину и исправляют ошибки. В завершение организуется исполнительная рефлексия за реализации построенного проекта учебных действий и самостоятельных процедур.
обучение процедуре грамотного самоконтроля,
-письменная работа, небольшого объема, узкой типовой направленности;
-индивидуальная деятельность.
2-3 мин.
Рефлексия учебной деятельности на уроке
(итог урока)
Рефлексия учебной деятельности на уроке. Самооценка результатов деятельности.
организация рефлексии и самооценки студентами своей деятельности на уроке;
фиксация соответствия результатов деятельности и поставленной цели;
планирование дальнейшей деятельности определения заданий для самоподготовки
(домашнее задание с элементами выбора творчества).
беседа, самостоятельная работа;
-обсуждение вопросов: Что нового вы узнали? Каким способом выполняли задание? Где используется этот способ? Каковы результаты? Что нужно сделать еще?