План-конспект по теме Основное свойство первообразной

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Гуманитарно-технический техникум»

Урок по алгебре и началам анализа.

Разработка преподавателя математики

Телиповой Эльзы

Сайдмагомедовны.

г. Грозный

2015г.

Математика -

это та часть

физики,

в которой

эксперименты

очень дешевы.

План конспект.

Тема: Основное свойство первообразной.

Тип урока: Усвоение новых знаний

Методы обучения: диалогические, виртуальные и практические.

Формы работы: индивидуальная, парная, групповая, коллективная.

Цели:

а) обучающая ; знать пользоваться определением первообразной , формировать умение вести формулы в таблицу первообразных функций, применение таблицы первообразных на практике.

б) Развивать логическое мышление, вычислительные навыки учащихся.

в) воспитательная;

развитие у обучающихся грамотной

устной и письменной математической речи, а также научного мировоззрения.

УМК: Алгебра и начала анализа под редакцией А.Н.Колмогорова для 10-11класс, Мордкович - задачник 2012г.,

ТСО: раздаточный материал, компьютеры, презентация,

Обучающийся должен

Знать: а) определение производной,

б) нахождение первообразной по определению

Уметь:

а) находить первообразные по определению,

применить формулы из таблицы,

логически мыслить, сопоставлять.

Ход урока.

1. Орг. момент.

II. Повторение пройденного материала.

1.Фронтальный опрос обучающихся.

а) сформулировать определение производной, первообразной.

б)доказать , что функция Fявляется первообразной для функции f на R: f(x)=2x+3, F(x)=х²+3х+1

3. Самостоятельная работа (8мин.)

Тесты на компьютере (скачать с сервера).

III.Объяснение темы

Общий вид первообразных Задача интегрирование состоит в том ,

что бы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении

этой задачи важную роль играет следующее утверждение

Признак постоянства функции . Если F^!(x)= 0 на некотором промежутке I, то функция F-постоянная на этом промежутке .

Доказательство: Зафиксируем некоторое х₀ из промежутка I. В силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и х₀ , что F(х)-F(x₀)=F^/(c)(х-х₀)

По условию F^/(c)=0 , так как CЄI, следовательно, F(х)-F(x₀)=0

Итак , для всех х из промежутка I

F(х) = F(x₀) , т.е. функция Fсохраняет постоянное значение .

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы , которую называют общим видом первообразных для функции f .

Справедлива следующая теорема : Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке может быть записана в виде F(х)+С (1), где F(х)- одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С - произвольная постоянная. (Основное свойство первообразной ).

Графики всех первообразных данной функций f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси ОУ. (Геометрическая интерпретация ).

Примеры нахождения первообразных .

Пример 1. Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=- x³ на R.

Заметим, что одной из первообразных функции f является функция ,

Так как производная () ^/ =³. В силу доказанной теоремы общий вид первообразных для функций f таков F(x) =+C.

Пример 2. Найдем первообразную F₀(x) для функции f(х)= на промежутке

(0,), принимающую при х=1 значение 1.

Легко проверить, что любая первообразная функции f имеет вид F(х)=

Так как по условию F(1)=1,приходим к уравнению (относительно С ) вида

Пример3. Точка движется по прямой с постоянным ускорением a. В начальный момент t₀=0 точка имеет начальную координату x₀ и начальную скорость v₀ . найдем координату х (t) точки как функцию от времени.

Так как x^/(t)= v(t) и v^/(t)=a(t), из условии а(t)=a получаем v^/(t)=a. Отсюда следует , что v(t)=at+C₁, подставляя t₀=0 в формулу (2), находим С₁=v₀ и

х^/(t)=v(t) =at+v₀ следовательно x(t) =.

Чтобы найти , подставим в (3) значение t₀ =0, откуда ₂ =x₀ .

Итак, x(t) =.

Пример 4. Найдем для функции f(x)= первообразную, график которой проходит через точку М(9,-2).

Любая первообразная функция f(x)= записывается в виде 2 + С =2

Следовательно , 2 .

Рассмотрим таблицу первообразных для некоторых функций.

Функ-

ция

f

k(пос-

то-

янная )

(n

)

Общий

Вид первооб

разных

для f

C

+C

2 +C

№335.Письменное решение с применением таблицы первообразных.

а) найдите общий вид первообразных для функций f (применяя таблицу первообразных)

1. f(x)=2x, F(x)=2x +С,

F^/(x) = ( 2x +С)¹=2

2. f(x) =x+, F(x) =

F^/(x) =sinx+С)^/ = x+;

3.f(x)=4х, F(x)=2x² +C

F¹(x) = (2x² +C)^/ = 4х

№337. Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке:

f(x)= , F() =-12

F(x) = где

-12= +c , 12 = 2+, =

F(х)=;

г) f(x)= F() =1

F(x) = где

=

1 =

1= 1+,

F(x) =

F(х)=-cosx-2- первообразная для f(x)=sinx, F(x)= -

№338.- Проверьте, что функция F является первообразной для функции f.

F^/(x)=x^/ ) =1+=f(x); F(x)= является первообразной для функции f(х).

б) F^!(x)=' =¹= =f(x),

F(x) =+C - общая первообразная для функции

№339.-Найдите общий вид первообразных для функции f , если

а) F(x)= f(x) =

По определению первообразной - функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

F^/(x) =f(x)

Проверим: F^/(x) =(sinx- xcosx)^/ =sin ^/xx ^/cosx x cos^/x =cosxcosxsinx =

= =f(x).

3) Работа с карточками (применяя интерактивную доску).

Вариант 1

A1. Выберите первообразную для функции f(х)=4х-1

1) F(x) =16x²-x, 2) F(x) = 2x²; 3) F(x)=2x² -x+1; 4) F(x)= 16x²

A2.Какая из данных функций не является первообразной для функции

f(x) =

1) F(x) = 2)F(x)= 3) F(x) =2 4)F(x) =4

A3.Найдите общий вид первообразных для функции f(x) =-5

1)-5x +С; 2) -5x; 3) -5+C; 4) 5x+C;

Вариант 2

A1. Выберите первообразную для функции f (х)=2-х

1) F(x) =2x-2x², 2) F(x) = -0,5x²+2x+1; 3) F(x)=2-x; 4) F(x)= - 0,5x²

A2.Какая из данных функций не является первообразной для функции

f(x) =

1) F(x)=2+1/3 2)F(x)= 3) F(x) =2 4)F(x) =4

A3.Найдите общий вид первообразных для функции f(x) =5

1) -5x + С; 2) -5x; 3) -5+C; 4) 5x+C;

5) Самостоятельная работа.

Найдите первообразные функции

1. у=2; 2) у = 3) у=3x³ +4x³;

2. 4)у=5х+3; 5) y= y =.

Задача B11(ЕГЭ)

Найдите наибольшее значение функции у = на отрезке .

Решение: для начала найдем производную у^'= =

=3+14

Найдем нули производной у'=3+14, 3+14

Решая квадратное уравнение, найдем корни уравнения и =4

Поскольку корень не лежит на отрезке [-6, -3], нас интересует

=4,итак у нас три точки: -6, -4;-3

Найдем значение функции в этих точках

У(-6)=-20

У(-4)= 4

У(-3)= 8

Требуется найти наибольшее значение функции , это значение у(-3)=8

Ответ: 8

6.Рефлексия урока.

1.Сегодня на уроке я узнал …

2. Сегодня на уроке я ознакомился …

3.Сегодня я на уроке научился …

4.Сегодня на уроке я закрепил …

5.Сегодня на уроке я повторил…

7.Итоги урока.

д/з Уч.Колмогоров А.Н.-№337,339,341.