Урок решения задач по теме Площади плоских фигур

Тема: Площади плоских фигур.

Теоремы - труженицы:

1. Отношения квадратов площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

2. Если два треугольника имеют равные основания, то площади этих треугольников относятся как высоты;

3. Если два треугольника имеют равные высоты, то площади этих треугольников относятся как основания.

4. Основные формулы:

1); 2) ; 3) ;4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

Площади выпуклого четырехугольника.

1)

2) ;

3) (если в четырехугольник можно вписать окружность)

Площадь параллелограмма.

1) ; 2) ; 3) ;

S _{трапеции} = - площадь трапеции

Площадь кругового сектора: (- радианная мера центрального угла)

Площадь кругового сегмента:

Задача: В параллелограмме АВСD, Е - произвольная точка стороны ВС. Доказать, что сумма площадей треугольников АВС и CDE составляет половину площади параллелограмма.

Решение.

ЕМ॥ АВ

АВЕМ и MECD - параллелограммы. S_{∆ ABE} = S_∆AEM; S_∆ECD= S_{∆ MDE}; S_∆ABE+ S_∆ECD = ½ S_ABCD.

Задача: Полуокружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках D и Е соответственно и имеет центр на стороне АВ. Найдите радиус этой полуокружности, если ВС = 13см, АВ = 14 см, АС = 15см.

Решение.

1) OD=OE=r? ODAC? OEBC

S_∆AOC=

S_∆ОВС=

S_∆ABC= S_∆AOC + S_∆BOC = +=14r

2) S_∆ABC=; p=21 см

S_∆ABC=84 (см)

3) 14r=84

r=6 (см)

Ответ: r=6

Замечание: Вместо опорного элемента выбрана площадь, т.е. задача решена методом площадей.

Задача: площадь ∆АВС равна 30см². На стороне ВС взята точка D так, что AD : DC = 2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону ВС, равна 9мс. Найдите ВС.

Решение.

∆АВD и ∆BDC имеют общую сторону BF; следовательно их площади относятся как длины оснований, т.е. S_∆ABD: S_∆BDC=AD : DC = 2 : 3

S_∆BDC= ³/₅ S_∆ABC= 18 (см²)

S_∆BDC = ½ BC  DE, 18 = ½ ВС  9; ВС = 4см.

Ответ: ВС = 4см

Задача: окружность, вписанная в ∆АВС, делит основание АС точкой касания на отрезки а и в. Найти площадь ∆АВС, если известно, что В = 60⁰.

Решение.

OF = OE = OD = r

AF = AD = a.

CD = CE = в

ВО - биссектриса В => ОВЕ = 30⁰.

ctg30⁰==r ctg30⁰ = r

BF=BE= r

AC=a+b

AC=a+ r

BC=b+ r

S_∆ABC = Pr; P=

S_∆ABC = (a+b+ r)  r

S_∆ABC =

= (a + b + r)r

= (a + b + r)²r²

ab= (a + b +)r

S_∆ABC = ab

Ответ: S_∆ABC = ab

Примечание: Радиус r нас не интересовал, он необходим был как средство для отыскивания площади.

Задача: В четырехугольнике ABCD Е - середина АВ, F - середина CD. Доказать, что EBFD в два раза меньше площади четырехугольника АВСD.

Решение.

BD - диагональ ABCD,

S_∆AED = S_∆BED;

S_∆BFD= S_∆BFC;

S_BEDF= 0,5 S_ABCD

Ключевой момент: Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

Задача: В равнобедренной трапеции (равнобокой) высота равна Н, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

Ключ: площадь четырехугольника, диагонали d₁ и d₂ которого перпендикулярны, вычисляют по формуле:

Решение.

1 способ:

∆ВКО - прямоугольный и равнобедренный. ВК = КО

∆AFO : AF =OF

ВК + AF = KF

½ ( BC + AD) = H

S_тр.= ½ (BC + AD)  H = HH = H²

2 способ:

BD=

S_тр.=

Задача: найти площадь трапеции по двум диагоналям 17 и 113, и высоте 15

Решение.

1) ВР AD; СFAD

2) ∆АСЕ: по теореме Пифагора

3) ∆BPE: по теореме Пифагора

4) AE + PD = BC + AD +120

5)S_ABCD=

Ответ: S_ABCD = 900

Задача: В ∆АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки К и Р так, что ; .

Прямые АР и СК пересекаются в точке Е. найдите площадь треугольника АВС, если известно, что площадь ∆ВСЕ=4см²

Решение.

1. Пусть АК=х, ВК=2х, ВР=у, СР=2у.

2. РМ॥КС; по теореме Фалеса:

ВМ=МК=ВК=2х=х; КМ=х

3) ∆АКЕ∆АМР, , т.е. ; КЕ=МР

; т.е. МР=КС. В итоге получаем, что КЕ=

ЕС=

4) ∆ВЕС и ∆ВКС. У них высота, проведенная из вершины В, общая, значит, их площади относятся как основания, т.е.

= (см²)

5) ∆ВКС и ∆ АВС, у них высота, проведенная из вершины С - общая, значит, их площади относятся как основания: , получаем:

S_∆ABC = 7 (см²)

Ответ: S_∆ABC = 7 см²

Задача : Если ABCD - трапеция с основаниями AD и Вс, а Е - точка пересечения ее диагоналей, то треугольники АВЕ и CDE равновелики.

Разные способы доказательства.

I способ:

S_∆ВСЕ = ; S_∆СЕD = BE × CE S_∆ВСЕ = S_∆СЕD

II способ:

S_∆ABE = S_∆ABD - S_∆AED

S_∆CED = S_∆ACD - S_∆AED

S_∆ABD = S_∆ACD

(AD и Н - общие, высота проведена из В и С).

S_∆ABD = S_∆ACD