Конспект урока по теме «Синус, косинус и тангенс угла»

Тема урока: «Синус, косинус и тангенс угла».

Тип урока: изучение нового материала.

Класс: 9.

Цель урока:

- образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач;

- развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;

- воспитательная: воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности.

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный метод.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация.

Используемые источники:

1) Атанасян, Л. С. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 20-е изд. -М. : Просвещение, 2012. - 384 с. : ил.;

2) Саранцев, Г. И. «Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов мат. спец. педвузов и университетов» / Г. И. Саранцев. - М. : Просвещение, 2002. - 224 с.;

3) Внеклассный урок - raal100.narod2.ru/geometriya/sinus_kosinus_tangens/

4) Тригонометрическая таблица - ankolpakov.ru/wp-content/uploads/2012/08/Таблица-значений-тригонометрических-функций.gif;

5) Таблица и рисунок «Знаки тригонометрических функций» - dpva.info/Guide/GuideMathematics/GuideMathematicsFiguresTables/TrygynometricsSigns/

План урока:

1. Орг. момент (2 мин);

2. Актуализация знаний (5 мин);

3. Изучение нового материала (22 мин);

4. Первичное закрепление нового материла (13 мин);

5. Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин).

Ход урока:

1. Организационный момент.

Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.

2. Актуализация знаний.

Учитель: сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока (слайд 1).

Запись в тетрадях:

Число. Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла.

Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл.

- что называют синусом острого угла?

Ученик: синус острого угла α прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Учитель: что называют косинусом острого угла?

Ученик: Косинус острого угла α прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Учитель: что такое тангенс острого угла?

Ученик: Тангенс острого угла α - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель: теперь решите следующий пример (слайд 2).

1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

Вариант 1 находит значение синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В.

(ученики самостоятельно решают в тетрадях)

Решение

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º - 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

sin A = = = .

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ - то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

cos B = = = .

В итоге получается:

sin A = cos B = .

Или:

sin 30º = cos 60º = .

3. Изучение нового материала

Учитель: мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся.

Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)

Запись в тетрадях:

Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.

Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой  угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что  = 0 .

Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin  = , a cos  = .

Но OM = 1, MD это ордината, OD - абсцисса, поэтому sin  ордината у точки М, cos  это абсцисса х точки М.

Запись на доске и в тетрадях:

Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,

sin  = , a cos  = .

Но OM = 1, MD = y, OD = x,

поэтому sin  = y, cos  = x. (1)

Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = , то тангенс будет равен отношению синуса угла  к косинусу угла  tg = . Существует еще функция, обратная тангенсу - катангенс, и он равен отношению косинуса угла  к синусу ctg = .

Итак, синус острого угла  равен ординате у точки М, а косинус угла  - абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к. tg = , то tg = , ctg = .

Учитель: если угол  прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB на рисунке 290 учебника, или  = 0 , то синус и косинус угла  также определим по формулам (1).

Таким образом, для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 синусом угла  называется ордината у точки М, косинусом угла  - абсцисса х точки М.

Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 справедливы неравенства:

0 ≤ sin  ≤ 1, - 1≤ cos  ≤ 1 (слайд 5). Запишите это в тетради.

Запись в тетрадях:

Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180

0 ≤ sin  ≤ 1, - 1≤ cos  ≤ 1.

Учитель: а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то

Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради.

Запись в тетрадях:

Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1

Учитель: так как tg = , то при  = 90 тангенс угла  не определен, так как cos 90 = 0 знаменатель обращается в нуль. Катангенс угла ctg = не определен при  = 0 ,  = 180  , так как знаменатель sin 0 = 0, sin 180 = 0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим:

tg 0  = 0, tg 180  = 0.

ctg 90 = 0.

Запишите это в тетради. (слайд 7)

Запись в тетрадях:

Т.к. tg = , то при  = 90 тангенс угла  не определен.

tg 0  = 0, tg 180  = 0,

т.к. ctg = , то при  = 0 ,  = 180  катангенс угла  не определен

ctg 90 = 0.

Учитель: кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла . Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса (слайд 8).

Запись в тетрадях:

Учитель: теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради.

Запись в тетрадях:

Основное тригонометрическое тождество.

Учитель: на рисунке 290 учебника изображены система координат Оху и полуокружность АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х² + у² = 1. Подставив сюда выражения для х и у из формул sin = x, cos = y, получим равенство

sin²  + cos²  = 1, (4)

Которое выполняется для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В VIII классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда. (слайд 9)

Запись в тетрадях:

Для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 верно

sin²  + cos²  = 1 - основное тригонометрическое тождество.

Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.

Знаки синуса.

Так как sin  = , то знак синуса зависит от знака у. В первой и второй четвертях у > 0, в третьей и четвертой у > 0. Значит синус больше нуля, если угол  находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол  находится в третьей ил четвертой четверти. Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)

Запись в тетрадях:

т.к. sin  = ,

I , II ч - sin  > 0, III, IV ч - sin  < 0

Учитель: знаки косинуса. Так как cos  = , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х > 0, а во второй и третьей четвертях x < 0. Следовательно: косинус больше нуля, если угол  находится в первой или четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол  находится во второй или третьей четверти. Запишите это в тетради со слайда.

Запись в тетрадях:

Так как cos  =

I , IV ч - cos a > 0, II, III ч - cos a < 0

Учитель: знаки тангенса и катангенса.

Так как tg  = , а ctg  = , то знаки tg  и ctg  зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg  > 0 и ctg  > 0, если угол  является углом 1 или 3 четверти; tg  < 0 и ctg  < 0, если угол  является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.

Запись в тетрадях:

tg a =

I , III ч - tg a > 0, II, IV ч - tg a < 0

ctg  =

I , III ч - ctg a > 0, II, IV ч - ctg a < 0.

Учитель: кроме основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради. (слайд 11)

sin (90 - ) = cos 

cos (90 - ) = sin  (5) при 0 ≤  ≤ 90,

sin (180 - )= sin 

cos (180 - ) = - cos  (6) при 0 ≤  ≤ 180 .

Запись в тетрадях:

Формулы приведения.

sin (90 - ) = cos 

cos (90 - ) = sin  (5) при 0 ≤  ≤ 90,

sin (180 - )= sin 

cos (180 - ) = - cos  (6) при 0 ≤  ≤ 180 .

Учитель: и последнее, что мы сегодня с вами рассмотрим, это формулы для вычисления координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для вычисления координат точки. (слайд 12)

Запись в тетрадях:

Формулы для вычисления координат точки.

Учитель: итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).

Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол  между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам sin  = y, cos  = x координаты точки М соответственно равны cos  и sin . Вектор имеет те же координаты, что и точка М, т.е. (cos ; sin ). Вектор имеет те же координаты, что и точка А, т.е. (х; у). По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому

x = ОА ∙ cos ,

y = OA ∙ sin . (7)

Запишите все в тетрадь со слайда.

Запись в тетрадях:

sin  = y, cos  = x

М(cos ; sin ), (cos ; sin ), (х; у).

По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому

x = ОА ∙ cos ,

y = OA ∙ sin . (7)

4. Закрепление изученного материала

Учитель: а теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№ 1012, 1013, 1015.

К доске вызываются ученики.

Учитель: № 1012. Проверьте, что точки М₁(0; 1), М₂ ( ; ), М₃ ( ; ), М₄ (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ₁, АОМ₂, АОМ₃, АОМ₄, АОВ.

Запись на доске и в тетрадях:

№ 1012.

Дано: М₁(0; 1), М₂ ( ; ), М₃ ( ; ), М₄ (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0)

Найти: sin, cos, tg углов: АОМ₁, АОМ₂, АОМ₃, АОМ₄, АОВ

Ученик: чтобы проверить, принадлежат ли точки единичной полуокружности, мы должны координаты точек подставить в уравнение окружности х² + у² = 1.

Запись на доске и в тетрадях:

М₁ (0; 1), 0² + 1² = 0 +1 = 1, следовательно М₁ Окр (0; 1).

М₂ ( ; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовательно М₂ Окр (0; 1).

М₃ ( ; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовательно М₃ Окр (0; 1).

М₄ (-; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовательно М₄ Окр (0; 1).

А(1; 0), 1 ² + 0² = 1 = 1, следовательно А Окр (0; 1).

В(- 1; 0), (-1)² + 0² = 1 = 1, следовательно В Окр (0; 1).

Ученик: найдем значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ₁, АОМ₂, АОМ₃, АОМ₄, АОВ. Так как синус - это ордината точки, косинус - это абсцисса точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу, находим их значение.

Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ_1.

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к. sin  = y, cos  = x, tg =

sinАОМ₁= 1, cosАОМ₁ = 0.

sinАОМ₂ = , cosАОМ₂ = , tg АОМ₂ = .

sinАОМ₃ = , cosАОМ₃ = , tg АОМ₃ = 1.

sinАОМ₄ = , cosАОМ₄ =, tg АОМ₄ = .

sinАОВ = , cosАОВ =, tg АОВ = .

Учитель: теперь разберем номер 1013 (а, б). Найдите синус угла , если известнее косинус.

К доске вызывается ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

№ 1013 (а, б)

Дано: а) cos  = .

б) cos  = .

Найти: sin 

Ученик: чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество и выразим синус через косинус.

Запись на доске и в тетрадях:

sin²  + cos²  = 1

a) sin²  = 1 - cos² ;

sin²  = 1 - = 1 - = ;

sin²  =

Ученик: так как точка находится в первой четверти, синус положителен, следовательно равен .

Запись на доске и в тетрадях:

Так как  находится в 1 ч., то sin  > 0,

sin  =

б) sin²  = 1 - = 1 - = ;

Ученик: так как угол  находится во 2 ч., то sin  > 0

Запись на доске и в тетрадях:

Так как  находится во 2 ч., то sin  > 0,

sin  = .

Учитель: теперь решите номер 1015(а, в), где необходимо найти тангенс угла .

К доске вызывается ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

№ 1015 (а, в)

Дано: а) cos  = 1;

в) sin  = и 0 <  < 90.

Ученик: так как тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, нам необходимо под а) найти синус угла, а под б) косинус угла. Используем основное тригонометрическое тождество.

Запись на доске и в тетрадях:

a) tg = ,

sin²  + cos²  = 1;

sin²  = 1 - cos² ;

sin²  = 1 - = 1 - = 0; sin  = 0.

tg = = = 1.

в) sin²  + cos²  = 1;

cos²  = 1 - sin² ;

cos²  = 1 - = 1 - = ;

т.к. 0 <  < 90 , cos  > 0, cos  = .

tg = = 1.

5. Подведение итогов урока и домашнее задание

Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы:

Что называется синусом угла?

Ученик: синус острого угла  равен ординате у точки.

Учитель: что называется косинусом угла?

Ученик: косинус острого угла  равен абсциссе х точки

Учитель: что такое тангенс угла?

Ученик: тангенс - это отношение синуса угла  к косинусу угла, отношение ординаты точки к абсциссе.

Учитель: А что такое катангенс угла?

Ученик: катангенс - это отношение косинуса угла у синусу.

Учитель: какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?

Ученик: sin²  + cos²  = 1 является основным тригонометрическим тождеством.

Учитель: какие есть формулы для вычисления координат точки?

Ученик: x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin .

Учитель: а как определить знаки синуса или косинуса?

Ученик: нужно определить, в какой четверти лежит точка с заданными координатами, или данный угол .

Учитель: решение задач по пройденной теме мы продолжим еще на следующем уроке, а сейчас запишите задание на дом: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г). (слайд 13)

Запись на доске и в тетрадях:

Д/з: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г)

Учитель: урок окончен. До свидания.

Решение домашней работы.

№ 1014.

Дано: а) sin  = ;

б) sin  = ;

в) sin  = .

Найти: cos .

Решение.

а) Выразим cos  из основного тригонометрического тождества sin²  + cos²  = 1.

cos²  = 1 - sin² ;

cos²  = 1 - = 1 - = ;

cos  = ± .

б) Аналогично:

cos²  = 1 - = 1 - = ;

cos  = ±.

в) cos²  = 1 - 0 = 1

cos  = ± 1.

№ 1015(б, г).

Дано: б) cos  = - ;

г) sin  = и 90 <  < 180 .

Найти: tg .

Решение.

б) tg = ,

sin²  + cos²  = 1;

sin²  = 1 - cos² ;

sin²  = 1 - = 1 - = ,

sin  = ± .

tg = = = .

г) cos²  = 1 - sin² ;

cos²  = 1 - = 1 - =

т.к. 90 <  < 180 , то sin  > 0, sin  = ,

tg = = = .