Критические точки и экстремумы функции

Урок № 65

Тема урока: Критические точки и экстремумы функции.

Цель урока: организовать деятельность cтудентов по изучению и первичному закреплению признаков возрастания и убывания функции

Задачи урока:

образовательная - формирование знаний, умений и навыков по данной теме;

воспитательная - воспитывать уважение к окружающим, активной жизненной позиции;

развивающая - развитие логического мышления, умении анализировать, сравнивать и обобщать, и развитие познавательного интереса.

Тип урока: комбинированный

Применение ИКТ: интерактивная доска, компьютер, интерактивный учебник.

Межпредметные связи: математика, информатика, пдд, трактора и автомобили, сельхозмашины

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания:

3. Объяснение нового материала:

1. Определение критических точек функции.

2. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

3. Признак максимума функции, признак минимума функции (достаточное условие существования экстремума в точке).

если в окрестности точки х₀ производная функции меняет знак с плюса на минус, то точка х₀ является точкой максимума функции.

если в окрестности точки х₀ производная функции меняет знак с минуса на плюс, то точка х₀ является точкой минимума функции.

4. Записать алгоритм исследования функции y=f(x) на экстремум:

1) найти производную f '(x);

2) найти точки, в которых выполняется равенство f '(x) =0;

3) с помощью метода интервалов определить знаки производной в окрестностях критических точек;

е) используя достаточное условие существования экстремумов, найти точки максимума и минимума.

Пример: y = 3x⁴ − 16x³ + 24x² - 11

1. Производная функции y' = 12x³ − 48x² + 48x.

2. Производная функции y' существует при любом x. Далее решим уравнение y' = 0.

y' = 12x³ − 48x² + 48x = 0,

12x(x² − 4x + 4) = 0,

12x(x − 2)² = 0.

x₁ = 0 и x₂ = 2.

4. X_min = 0

4. Закрепление: №267 (устно )

№268 Найти экстремумы функции

а) f(x)=2x²-3x+1

1) f'(x)=(2x²-3x+1)'=4x-3

2) f'(x)=0 ;

4x-3=0

4x=3

x=3/4

- +

3)

4. Жауабы: x_min=.

б) f(x)=x²-2x+.

1. f'(x)=(x²-2x+)'=2х-3 ;

2. 2x-2=0

2x=2

X=1 - +

3) 1

4) Жауабы: X_min=1

№269

а) f(x)=-3x²+13x-12

f'(x)=(-3x²+13x-12)'=-6x+13

-6x+13=0

-6x=-13

X=

+ -

Жауабы: Xmax=

б) f(x)=4-8х-5x²

f'(x)=(4-8х-5x²)'=-8-10x

-8-10x=0

+ -

-10x=8 -

X=-;

Жауабы: X_max=-

5. Подведение итогов урока.

Задание на дом: №270. 136 бет.