Конспект урока по математике на тему «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Тема урока: «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Девизом нашего урока будут слова русского математика В.П. Ермакова: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления».

Ход урока

Постановка проблемы

На доске- портрет Гаусса. Учитель или ученик, которому заранее было дано задание подготовить сообщение, рассказывает, что когда Гаусс учился в школе, учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту.

Вопрос. Как Гаусс получил ответ?

Поиск путей решения

Учащиеся высказывают свои предположения, затем подводится итог: сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д. равны, Гаусс умножил 101 на 50, то есть на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

Записать на доске и в тетрадях тему урока. Ученики вместе с учителем записывают вывод формулы:

Пусть а₁;а₂; а₃; а₄;….;а_n-2; а_n-1; а_n- арифметическая прогрессия.

S_n=a₁+a₂+a₃+…a_n-1 + a_n

+

S_n=a_n + a_n-1 + a_n-2 +…+ a₂ + a₁

2S_n=(a₁ + a_n )+ (a₂+ a_n-1)+ (a_n-1 + a₂ )+ (a_n + a₁)

a₂ + a_n-1 + a₁ + d+ a_n-d= a₁ +а_n ,

a₃ + a_n-2 = a₂ + d+ a_n-1 -d= a₂ + a_n-1 = a₁ + a_n ,

…

2S_n= (a₁+a_n)n,

Первичное закрепление

1. Решим, используя формулу (1), задачу Гаусса:

2. Используя формулу (1), устно решить задачи (их условия записаны на доске или кодопозитиве), (а_n)- арифметическая прогрессия:

а) a₁=2, a₁₀ =20. S₁₀ - ? [110]

б) a₁=-5, a₇ =1. S₇ - ? [-14]

в) a₁=2, a₆ =-17. S₆ - ? [-57]

г) a₁=-5, a₁₁ =5. S₁₁ - ? [0]

3. Выполнить задание №603 а)

Дано: (а_n) - арифметическая прогрессия;

a₁=3, a₆₀ =57.

Найти: S₆₀ .

Решение. Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии

Ответ: 1800.

Дополнительный вопрос. Сколько типов различных задач можно решить по этой формуле?

Ответ. Четыре типа задач:

- найти первый член арифметической прогрессии а_n;

- найти количество членов арифметической прогрессии.

4. Выполнить задание №603(б).

Найти сумму шестидесяти первых членов арифметической прогрессии (а_n), если а₁₌ -10,5, а₆₀ = 51,5.

Решение.

Ответ: 1230.

Дополнительный вопрос. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Ответ: a_n = a₁ + d (n-1).

Выполнить № 605 а)

5.Вычислите формулу девяти первых членов арифметической прогрессии ( b_n ) если b₁=-17, d=6.

-Можно ли вычислить сразу, используя формулу?

- Нет, так как неизвестен девятый член.

-Как его найти?

- По формуле n-го члена арифметической прогрессии.

Решение. b₉ = b₁ +8d=-17+86=31;

.

Ответ.63.

Вопрос. А нельзя ли найти сумму, не вычисляя девятого члена прогрессии?

Постановка проблемы

Проблема: получить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, зная ее первый член и разность d.

(Вывод формулы у доски учеником.)

. (2)

Решим №371 (а) по новой формуле (2):

Устно закрепим формулы (2) (условия задач записаны на доске).

(a_n)- арифметическая прогрессия.

а) a₁=3, d =4. S₄ - ? [36]

б) a₁=2, d =-5. S₃ - ? [-9]

Выяснить у учащихся, какие вопросы непонятны.

Самостоятельная работа

Вариант 1

Дано: (a_n)- арифметическая прогрессия.

а) a₁=-3, а₆ =21. S₆ - ? [54]

б) a₁=6, d =-3. S₄ - ? [6]

Вариант 2

Дано: (a_n)- арифметическая прогрессия.

а) a₁=2, а₈ =-23. S₈ - ? [-84]

б) a₁=-7, d =4. S₅ - ? [5]

Ученики меняются тетрадями и проверяют решения друг у друга.

Подвести итог усвоения материала по результатам самостоятельной работы.

Домашнее задание: п.26 №604, 605, 606.